1、2.2 函数的单调性与最值一、选择题1函数f(x)的定义域为R,f(1)2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1,)C(,1) D(,)解析法一由xR,f(1)2,f(x)2,可设f(x)4x6,则由4x62x4,得x1,选B.法二设g(x)f(x)2x4,则g(1)f(1)2(1)40,g(x)f(x)20,g(x)在R上为增函数由g(x)0,即g(x)g(1)x1,选B.答案B2给定函数yx,ylog(x1),y|x1|,y2x1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A BC D解析:yx为增函数,排解A、D;y2x1为增函数,排解C,故选B
2、.答案:B3已知偶函数f(x)在区间0,)单调增加,则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.解析f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,又f(x)在0,)上递增,f(2x1)f|2x1|x.故选A.答案A4函数f(x)(a0且a1)是R上的减函数,则a的取值范围是()A(0,1) B,1)C(0, D(0,解析:据单调性定义,f(x)为减函数应满足:即a0得,函数f(x)的定义域是(1,4),u(x)x23x4(x)2的减区间为,4),e1,函数f(x)的单调减区间为,4)答案:D点评可用筛选法求解,明显x100时,f(x)无意义,排解A、B;f(0)ln4,f(1)ln6,
3、f(0)f(1),排解C,故选D.6设函数yf(x)在(,)内有定义,对于给定的正数K,定义函数fK(x)取函数f(x)2|x|,当K时,函数fK(x)的单调递增区间为()A(,0) B(0,) C(,1) D(1,)解析f(x)f(x)f(x)的图象如上图所示,因此f(x)的单调递增区间为(,1)答案C7.已知偶函数yf(x)对任意实数x都有f(x1)f(x),且在0,1上单调递减,则()AfffBfffCfffDffff,fff.答案:B二、填空题8函数yln 的单调递增区间是_解析本题考查复合函数单调区间的确定;据题意需满足0即函数定义域为(1,1),原函数的递增区间即为函数u(x)在(
4、1,1)上的递增区间,由于u(x)()0.故函数u(x)的递增区间(1,1)即为原函数的递增区间答案(1,1)9假如函数f(x)ax22x3在区间(,4)上单调递增,则实数a的取值范围是_解析:(1)当a0时,f(x)2x3,在定义域R上单调递增,故在(,4)上单调递增;(2)当a0时,二次函数f(x)的对称轴为直线x,由于f(x)在(,4)上单调递增,所以a0,且4,解得af(2x)的x的范围是_解析f(x)的图象如图所示,不等式f(1x2)f(2x)等价于或解得1x1答案(1,1)11已知函数y2sin(x)为偶函数(0),其图象与直线y2某两个交点的横坐标分别为x1、x2,若|x2x1|
5、的最小值为,则该函数的增区间为_解析:y2sin(x)为偶函数,00且f(x)在(1,)内单调递减,求a的取值范围解:(1)证明:任设x1x20,x1x20,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),.f(x)在(,2)内单调递增(2)任设1x10,x2x10,要使f(x1)f(x2)0,只需(x1a)(x2a)0恒成立,a1.综上所述,a的取值范围是(0,114已知函数f(x)a2xb3x,其中常数a,b满足ab0.(1)若ab0,推断函数f(x)的单调性;(2)若ab0,求f(x1)f(x)时的x的取值范围解(1)当a0,b0时,由于a2x,b3x都单调递增,所以函数f(x)单调递增
6、;当a0,b0时,由于a2x,b3x都单调递减,所以函数f(x)单调递减(2)f(x1)f(x)a2x2b3x0.(i)当a0,b0时,x,解得xlog;(ii)当a0,b0时,x,解得xlog.15函数f(x)对任意的a、bR,都有f(ab)f(a)f(b)1,并且当x0时,f(x)1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)5,解不等式f(3m2m2)3.(1)证明设x1,x2R,且x10,f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x2)f(x1)即f(x)是R上的增函数(2)解f(4)f(22
7、)f(2)f(2)15,f(2)3,原不等式可化为f(3m2m2)f(2),f(x)是R上的增函数,3m2m22,解得1m,故解集为.16.设函数f(x)ax2bxc(a,b,c为实数,且a0),F(x).(1)若f(1)0,曲线yf(x)通过点(0,2a3),且在点(1,f(1)处的切线垂直于y轴,求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x1,1时,g(x)kxf(x)是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设mn0,a0,且f(x)为偶函数,证明F(m)F(n)0.解析(1)由于f(x)ax2bxc,所以f (x)2axb.又曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于y轴,故f (1)0,即2ab0,因此b2a.由于f(1)0,所以bac.又由于曲线yf(x)通过点(0,2a3),所以c2a3.解由,组成的方程组得,a3,b6,c3.从而f(x)3x26x3.所以F(x).(2)由(1)知f(x)3x26x3,所以g(x)kxf(x)3x2(k6)x3.由g(x)在1,1上是单调函数知:1或1,得k12或k0.(3)由于f(x)是偶函数,可知b0.因此f(x)ax2c.又由于mn0,可知m,n异号若m0,则n0.若m0.同理可得F(m)F(n)0.综上可知F(m)F(n)0.