方阵的特征值与特征向量.pptx

1第第5.15.1节节 矩阵的特征值矩阵的特征值 与特征向量与特征向量2主要内容主要内容:一、方阵的特征值与特征向量一、方阵的特征值与特征向量二、特征向量的性质二、特征向量的性质三、小结三、小结 思考与练习思考与练习3问题的引入问题的引入:从从前前面面的的学学习习我我们们了了解解到到,一一个个矩矩阵阵乘乘以以一一个个非非零零向向量量,相相当当于于将将此此向向量量做做一一些些平平移移、旋旋转转、伸伸缩缩、推推移移之之后后的的结结果果。因因此此，我我们们想想知知道道是是否否能能找找到到一一个个向向量量，经经过过相相同同的的平平移移、旋旋转转、伸伸缩缩、推推移移之之后后，仍仍保保持持原原来来的的方方向向？在在本本章章中中我我们们将将寻寻找找此此种种向向量量，并并探探讨讨其其所所具具有有的的性性质。质。由一个矩阵由一个矩阵A乘以一个向量乘以一个向量 后，所得到后，所得到的向量仍保持原来的方向，表示存在一个数的向量仍保持原来的方向，表示存在一个数 使得使得 。对于此特殊的向量和这个数，。对于此特殊的向量和这个数，我们给出如下之定义。我们给出如下之定义。4一一.方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义定义定义1:注：注：设设 是是 阶方阵，阶方阵，若数若数 和和 维非零列向量维非零列向量 ，使得，使得成立，则称成立，则称 是方阵是方阵 的一个的一个特征值，特征值，为方阵为方阵 的对应于特征值的对应于特征值 的一个的一个特征向量。特征向量。是方阵是方阵 (2)特征向量特征向量 是非零列向量是非零列向量(Eigenvectors and Eigenvalues)52.特征向量的几何意义：特征向量的几何意义：特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上上 ,这时或者方向不变这时或者方向不变 或者方向相反或者方向相反 ,至于至于 时，特征向量就被线性变换变成时，特征向量就被线性变换变成 0.x6 注注:(1)特特征征值值与与特特征征向向量量在在物物理理、力力学学、工工程程技技术术中中有有着着广广泛泛的的应应用用。如如：机机械械、结结构构或或电电磁磁振振动动中中的的固固有有值值问问题题；物物理理学学中中的的各各种种临临界界值值问问题题;方方阵阵的的对对角角化化及及解解微微分分方方程程组组的的问问题题等等。这这些些问问题题中中特特征征值值的的计计算算往往往往意意义义重大。重大。(2)如果如果 是一个不可逆的方阵是一个不可逆的方阵,则线性方程组则线性方程组 有非零解有非零解,即即 故不可逆方阵必有零特征值故不可逆方阵必有零特征值 .(3)一些实际问题中一些实际问题中,常常会涉及到一系列的运算常常会涉及到一系列的运算由特征值和特征向量的关系由特征值和特征向量的关系可以化简这些运算可以化简这些运算.73.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法或或已知已知所以齐次线性方程组有非零解所以齐次线性方程组有非零解或或定义定义2：数数是关于是关于 的一个多项式，称为矩阵的一个多项式，称为矩阵 的的特征多项式。特征多项式。89 设设 阶方阵阶方阵 的的 个特征值为个特征值为 则则称为矩阵称为矩阵A的的迹。迹。（主对角元素之和）（主对角元素之和）定理定理1：10另一方面另一方面,由多项式相等由多项式相等,系数相等系数相等,即即(1)得证得证.11求求A A的特征值与特征向量的步骤的特征值与特征向量的步骤:12解：解：第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.例例1：求矩阵求矩阵的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.特征值为特征值为第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组求非零解。求非零解。13齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，系数矩阵系数矩阵自由未知量自由未知量:令令 得基础解系得基础解系:常数常数)是对应于是对应于的全部特征向量。的全部特征向量。14齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，常数常数)是对应于是对应于的全部特征向量。的全部特征向量。得基础解系得基础解系15证明证明:因为因为n n阶矩阵的特征值由它的特征多项式阶矩阵的特征值由它的特征多项式唯一决定唯一决定.例例2:而而16若若 的特征值是的特征值是 ，是是 的对应于的对应于 的特征向量，则的特征向量，则的特征值是的特征值是是任意常数是任意常数)的特征值是的特征值是是正整数是正整数)若若 可逆，则可逆，则 的特征值是的特征值是的特征值是的特征值是且且 仍然是矩阵仍然是矩阵 分别对应于分别对应于 的特征向量。的特征向量。例例3：1718练习题练习题1:已知三阶矩阵已知三阶矩阵A的三个特征值为的三个特征值为1，2，3,则则A的的行列式等于行列式等于_,A-1的三个特征值为的三个特征值为_,A2+2 A+3E 的三个特征值的三个特征值_，|+2 A+3E|=_.练习题练习题2:已知已知 =2 是非奇异矩阵是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵的特征值，则矩阵 有一个特征值为有一个特征值为_ .19练习题练习题3:P143 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确(1)如果如果向量构成的集合向量构成的集合是方阵是方阵的特征值，则的特征值，则对应的特征对应的特征(2)方阵方阵(错错)的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;(对对)(3)由于方阵由于方阵和和有一样的特征值有一样的特征值,故他们也有一样的故他们也有一样的 特征向量特征向量.(错错)(4)如果如果阶方阵阶方阵的的个特征值全为个特征值全为0,则则一定是一定是零矩阵零矩阵.(错错)20二、特征向量的性质二、特征向量的性质结论结论:定理定理定理定理2:2:21定理定理3:定理定理定理定理4:4:结论结论结论结论:22三、小结三、小结 思考与练习思考与练习 (2)求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：(1)矩阵特征值与特征向量的概念矩阵特征值与特征向量的概念 (3)矩阵特征值与特征向量一些结论：矩阵特征值与特征向量一些结论：23(4)特征向量的性质特征向量的性质24思考题思考题解答解答:25课后练习题课后练习题:2：设设设设 为矩阵为矩阵 的特征值，求的特征值，求 的特征值；的特征值；若若 可逆，求可逆，求 的特征值。的特征值。求求的特征值与特征向量的特征值与特征向量.1: