第6章1机械振动.pptx

1 1第第6章章 机械振动机械振动u机机机机械械械械振振振振动动动动：物物物物体体体体在在在在平平平平衡衡衡衡位位位位置置置置附附附附近近近近作作作作往往往往返返返返的的的的周周周周期期期期性性性性位移。位移。位移。位移。例例例例如如如如，钟钟钟钟摆摆摆摆的的的的摆摆摆摆动动动动、气气气气缸缸缸缸中中中中活活活活塞塞塞塞的的的的运运运运动动动动、人人人人的的的的心心心心脏脏脏脏跳跳跳跳动动动动、机机机机器器器器运运运运转转转转时时时时的的的的振振振振动动动动和和和和一一一一切切切切发发发发声声声声物物物物体体体体(声声声声源源源源，如音叉如音叉如音叉如音叉)内部的运动等。内部的运动等。内部的运动等。内部的运动等。若若若若把把把把机机机机械械械械运运运运动动动动范范范范围围围围内内内内的的的的这这这这一一一一概概概概念念念念推推推推广广广广到到到到分分分分子子子子热热热热运运运运动动动动、电电电电磁磁磁磁运运运运动动动动物物物物质质质质运运运运动动动动形形形形式式式式，则则则则广广广广义义义义而而而而言言言言，对对对对于于于于任任任任一一一一物物物物理理理理量量量量，当当当当它它它它们们们们围围围围绕绕绕绕一一一一定定定定的的的的平平平平衡衡衡衡值值值值作作作作周周周周期期期期性性性性的的的的变变变变化时，都可称该物理量在振动。化时，都可称该物理量在振动。化时，都可称该物理量在振动。化时，都可称该物理量在振动。概概 述述2 2第第6章章 机械振动机械振动u振动：物理量振动：物理量(位移、电量、电压、电流、电场强度位移、电量、电压、电流、电场强度和磁感应强度等和磁感应强度等)围绕一定的平衡值作周期性的变化。围绕一定的平衡值作周期性的变化。物理量在振动，就具有共同的物理特征。物理量在振动，就具有共同的物理特征。广义：广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。物理量在某一定值附近反复变化即为振动。u简谐振动：简谐振动：物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述。数描述。u复杂振动复杂振动 =若干个简谐振动的合成。若干个简谐振动的合成。研究目的研究目的 利用、减弱利用、减弱 或或 消除消除u周期振动：周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次3 3第第6章章 机械振动机械振动u波波：振振动动在在空空间间的的传传播播。声声波波、水水波波、地地震震波波、电电磁磁波波和和光波等都是波，各种各样信息的传播几乎都要借助于波。光波等都是波，各种各样信息的传播几乎都要借助于波。尽尽管管各各类类波波又又各各自自的的特特性性，但但它它们们大大都都具具有有类类似似的的波波动动方方程程，具具有有干干涉涉和和衍衍射射等等波波所所特特有有的的普普遍遍的的共共性性，通通常常把把它它们称为们称为波动性波动性。u振振动动和和波波动动是是紧紧密密联联系系着着的的，都都是是物物质质的的运运动动形形式式。振振动动是是波波动动产产生生的的根根源源，波波动动是是振振动动传传播播的的过过程程，也也是是能能量量传传播播的的过过程程。在在科科学学技技术术领领域域，振振动动和和波波动动理理论论是是声声学学、地地震震学学、光学、无线电技术及原子物理学等学科的基础。光学、无线电技术及原子物理学等学科的基础。u本本章章以以机机械械振振动动和和机机械械波波为为具具体体内内容容，讨讨论论振振动动和和波波动动的的共共同同特特征征、现现象象和和规规律律，这这些些基基本本规规律律对对各各种种振振动动和和波波一一般般都是适用的。都是适用的。4 4第第6章章 机械振动机械振动6-6-1 1 简谐振动简谐振动6-6-2 2 弹性系统的振动弹性系统的振动6-3 6-3 机械波的产生和传播机械波的产生和传播6-4 6-4 驻波驻波6-5 6-5 多普勒效应多普勒效应本章习题本章习题本章习题本章习题：6-1，2，4，5，7，8，10，11，14，17215 5第第6章章 机械振动机械振动右键单击右键单击右键单击右键单击 ,“,“播放播放播放播放”6 6第第6章章 机械振动机械振动一、描述简谐振动的特征量一、描述简谐振动的特征量X0 x令令6.1 简谐振动简谐振动质质量量可可忽忽略略的的弹弹簧簧，一一端端固固定定，一一端端系系一一有有质质量量的的物物体体，称此系统为称此系统为弹簧振子弹簧振子。建建 立立 如如 图图的的 坐坐 标标系系，物物体体 质质 量量 m，坐坐 标标 x，所所 受受 回回 复复 力力 为为 F.此方程的通解为：此方程的通解为：(1)(1)简谐运动或简谐振动简谐运动或简谐振动简谐运动或简谐振动简谐运动或简谐振动7 7第第6章章 机械振动机械振动v物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述，物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述，称之为称之为简谐振动简谐振动。上式称之为上式称之为 简谐简谐 振振 动表动表 达式（简谐函数或振动方程）达式（简谐函数或振动方程）简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学条件简谐振动的动力学条件8 8第第6章章 机械振动机械振动2)周期周期T：物体作一次完全振动所需的时间。物体作一次完全振动所需的时间。频率频率：在单位时间内物体所作的完全振动的次数，它是周在单位时间内物体所作的完全振动的次数，它是周期的倒数。期的倒数。角频率角频率或或圆频率圆频率：频率频率 的的2 倍。倍。物体离开平衡位置的最大位移或角位移。物体离开平衡位置的最大位移或角位移。(2)描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量 0：初相位初相位1)振幅振幅A：3)相位相位 =：确定振动系统的瞬时运动状态。：确定振动系统的瞬时运动状态。简谐振动可由振幅简谐振动可由振幅A、角频率、角频率 (或频率或频率、周期、周期T)和相位和相位 这三个特征量完全确定下来。这三个特征量完全确定下来。简简谐谐振振动动的的振振幅幅给给出出了了振振动动的的范范围围或或幅幅度度，简简谐谐振振动动的的角频率、频率或周期则给出了振动往复的快慢。角频率、频率或周期则给出了振动往复的快慢。9 9第第6章章 机械振动机械振动简谐振动的各阶导数简谐振动的各阶导数也都作简谐振动。也都作简谐振动。(4)简谐运动的速度和加速度简谐运动的速度和加速度(3)简谐振动的位移时间曲线简谐振动的位移时间曲线 振振幅幅A的的大大小小决决定定曲曲线线的的高高低低，角角频频率率 或或周周期期T决决定定曲曲线线的的密密集集和和疏疏散散，而而相相位位 决决定曲线在横轴上的位置。定曲线在横轴上的位置。xtOA-ATxtOA-A1010第第6章章 机械振动机械振动(5)简谐振动的旋转矢量表示简谐振动的旋转矢量表示设设有有一一矢矢量量 (大大小小等等于于振振幅幅A)，在在平平面面内内绕绕原原点点O以以角角速速度度(大大小小等等于于角角频频率率)逆逆时时针针旋旋转转。称称 为为旋转矢量旋转矢量。简简谐谐量量x对对应应于于旋旋转转矢矢量量 在在x轴上的投影。轴上的投影。xxOA-AA AAA参考圆参考圆1111第第6章章 机械振动机械振动例例已知简谐振动表达式：已知简谐振动表达式：xA(0)A试画出振动曲线试画出振动曲线.Otx-A解：先画出旋转矢量图，然后再画出振动曲线解：先画出旋转矢量图，然后再画出振动曲线.xO1212第第6章章 机械振动机械振动(6)描述简谐振动瞬时运动状态的特征量描述简谐振动瞬时运动状态的特征量相位相位 振振幅幅和和频频率率不不能能完完全全确确定定振振动动系系统统在在任任意意瞬瞬时时的的运运动动状状态态(位位移移、速速度度和和加加速速度度)。当当振振幅幅A和和角角频频率率 一一定定时时，简谐振动的瞬时位移、速度和加速度都决定于简谐振动的瞬时位移、速度和加速度都决定于 两两个个同同频频率率的的简简谐谐振振动动在在同同一一时时刻刻的的相相位位差差，恒恒等等于于它它们们的的初相位之差，即当初相位之差，即当 当当t=0时，物体的初始位移和速度分别为：时，物体的初始位移和速度分别为：则则相位的相对性：相位的相对性：对对于于单单个个简简谐谐振振动动来来说说，总总可可以以选选择择适适当当的的计计时时零零点点，使使初初相相位位 0=0；对对于于多多个个简简谐谐振振动动来来说说，它它们们之之间间的的相相位位差差 则则起了重要的作用。起了重要的作用。时，有时，有 相位相位 =1313第第6章章 机械振动机械振动相位差相位差 有以下几种情况有以下几种情况(n=0,1,2,3,)：=2n，两振动步调一致，同相位两振动步调一致，同相位。=(2n+1)，两振动步调相反，反相位两振动步调相反，反相位。0 ，2 超前超前 1，x2(t)振动步调领先。振动步调领先。0，2落后落后 1，x2(t)振动步调落后振动步调落后。实际上，实际上，“x2比比x1领先领先 ”与与“x2比比x1落后落后(2 )”这两种说法是等价的。这两种说法是等价的。xOA1x1 A2x21616第第6章章 机械振动机械振动解：解：(1)A/2 0?例例 一一质质点点沿沿x 轴轴作作简简谐谐运运动动，A=0.12 m，T=2s，当当t=0时时，质质点点离离开开平平衡衡位位置置的的位位移移 x0=0.06m，且且向向 x 轴轴正向运动。求：正向运动。求：(1)简谐运动表达式，并画出振动曲线；简谐运动表达式，并画出振动曲线；(2)t=T/4 时，质点的位置、速度、加速度时，质点的位置、速度、加速度；(3)第一次通过平衡位置的时刻第一次通过平衡位置的时刻。A=0.12 m,1717第第6章章 机械振动机械振动（2）t=T/4 时，质点的位置、速度、加速度：时，质点的位置、速度、加速度：1818第第6章章 机械振动机械振动（3）第一次通过平衡位置的时刻：）第一次通过平衡位置的时刻：振幅矢量旋转角度振幅矢量旋转角度问问题题转转化化为为：已已知知旋旋转转角角速速度度=，问问旋旋转转 5 /6 需需要要多多少少时间？时间？还可以求还可以求“第二次第二次”旋转角度旋转角度11 /6平衡平衡位置位置1919第第6章章 机械振动机械振动1)代数方法代数方法(解析法或解析法或三角函数法三角函数法)：二、二、二、二、简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成1.同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成 设两个振动有不同的振幅和初相位设两个振动有不同的振幅和初相位:2020第第6章章 机械振动机械振动其中其中令令2)几何方法几何方法(矢量图解法或旋转矢量法矢量图解法或旋转矢量法)结论结论结论结论：仍仍然然是是同同频频率率的的简简谐谐振振动动。2121第第6章章 机械振动机械振动xO2222第第6章章 机械振动机械振动上面得到：上面得到：讨论：讨论：讨论：讨论：同相，合振幅最大。同相，合振幅最大。当当 ,1)2)当当 ，反相，合振幅最小。反相，合振幅最小。3)一般情况：一般情况：2626第第6章章 机械振动机械振动2727第第6章章 机械振动机械振动2828第第6章章 机械振动机械振动3 3.相互垂直的相互垂直的同频率的同频率的简谐振动的合成简谐振动的合成xy0 这是一个椭圆方程，质点合振动这是一个椭圆方程，质点合振动的轨迹一般是个的轨迹一般是个斜椭圆斜椭圆。具体形状。具体形状取决于相位差：取决于相位差：变形处理变形处理消去消去t2929第第6章章 机械振动机械振动xy0 xy03030第第6章章 机械振动机械振动xy0 y 超前超前 x /2，轨迹顺时针轨迹顺时针右旋右旋 y 落后落后 x /2，轨迹逆时针轨迹逆时针左旋左旋xy03131第第6章章 机械振动机械振动几种特殊情况：几种特殊情况：3232第第6章章 机械振动机械振动3333第第6章章 机械振动机械振动 如如果果两两个个互互相相垂垂直直的的振振动动频频率率成成整整数数比比，合合成成运运动动的的轨轨道道是是封封闭闭曲曲线线，运运动动也也具具有有周周期期。这这种种运运动动轨轨迹迹的的图图形称为形称为李萨如图形李萨如图形(Lissajous figures)。反反过过来来，在在无无线线电电技技术术中中，利利用用李李萨萨如如图形图形可以测量频率：可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。图形去比较，就可得知另一个未知的频率。*4 4.相互垂直的不相互垂直的不同频率的同频率的简谐振动的合成简谐振动的合成3434第第6章章 机械振动机械振动1:21:32:3几幅典型的李萨如图形几幅典型的李萨如图形3535第第6章章 机械振动机械振动3737第第6章章 机械振动机械振动X0 x令令建建 立立 如如 图图的的 坐坐 标标系系，物物体体 质质 量量 m，坐坐 标标 x，所所 受受 回回 复复 力力 为为 F.此方程的通解为：此方程的通解为：此即简谐振动的动力学方程。此即简谐振动的动力学方程。1)弹簧质量不计弹簧质量不计2)物体大小不计物体大小不计约约定定3)阻力阻力(摩擦力摩擦力)不计不计3838第第6章章 机械振动机械振动2)2)单摆单摆单摆单摆(数学摆数学摆数学摆数学摆)1、细线质量不计，阻力不计、细线质量不计，阻力不计3、逆时针转动为正、逆时针转动为正约约定定摆角摆角 在作简谐振动在作简谐振动mgTO 质点质点 m在重力和拉力作用下绕在重力和拉力作用下绕O点在竖直平面点在竖直平面内作定轴转动，根据定轴转动定理内作定轴转动，根据定轴转动定理设初始条件设初始条件 振幅和振幅和初相初相=？3939第第6章章 机械振动机械振动3)3)复摆复摆复摆复摆(物理摆物理摆物理摆物理摆)当当当当复复复复摆摆摆摆(转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量为为为为I I)离离离离开开开开平平平平衡衡衡衡位位位位置置置置转转转转过过过过 角角角角时时时时，受受受受到到到到一一一一个个个个使使使使其其其其转转转转向向向向平平平平衡衡衡衡位位位位置的净力矩置的净力矩置的净力矩置的净力矩1、转轴摩擦不计、转轴摩擦不计3、空气阻力不计、空气阻力不计约约定定4、逆时针转动为正、逆时针转动为正则则则则或或或或方程及其解与单摆形式相同，可认为单摆是复摆的特例。方程及其解与单摆形式相同，可认为单摆是复摆的特例。4141第第6章章 机械振动机械振动X0 x动能动能势能势能m惯性质量惯性质量单摆的能量单摆的能量?(4)(4)谐振子的机械能谐振子的机械能谐振子的机械能谐振子的机械能自由振动谐振子的线性恢复力是保守力，系统机械能守恒。自由振动谐振子的线性恢复力是保守力，系统机械能守恒。以水平弹簧振子为例：以水平弹簧振子为例：4444第第6章章 机械振动机械振动(5)物体在平衡位置附近的运动物体在平衡位置附近的运动 考考虑虑一一维维情情况况下下物物体体的的振振动动。取取稳稳定定平平衡衡位位置置为为坐坐标原点标原点O，则在，则在x=0处势能取极小值，即处势能取极小值，即与势能相应的作用力与势能相应的作用力 在在x=0附近对附近对F(x)作泰勒级数展开，有作泰勒级数展开，有 而而在在x=0附近，如果略去附近，如果略去x的二阶和更高阶小量，则有的二阶和更高阶小量，则有可见，在没有受到阻力的情况下，物体在稳定平衡位置附近的可见，在没有受到阻力的情况下，物体在稳定平衡位置附近的小振动均可以看作简谐振动。小振动均可以看作简谐振动。k为一正常量为一正常量4545第第6章章 机械振动机械振动例例 两个气体分子之间的相互作用势能可以近似地表示为两个气体分子之间的相互作用势能可以近似地表示为称称为为伦伦纳纳德德 琼琼斯斯势势，式式中中r是是分分子子间间的的距距离离，r0是是分分子子间间的的平平衡衡距距离离，Ep0是是正正的的常常量量。试试求求气气体体分分子子在在该该势势能能作作用用下下的振动角频率的振动角频率 .解解先求出等效劲度系数先求出等效劲度系数k,再求角频率再求角频率。其中其中 表示相对运动的两个分子的约化质量表示相对运动的两个分子的约化质量.4747第第6章章 机械振动机械振动则运动微分方程则运动微分方程引入阻尼系子引入阻尼系子，固有圆频率，固有圆频率将形如将形如 的解代入上式，得到特征方程的解代入上式，得到特征方程 按阻尼度按阻尼度*两个共轭复根，两个共轭复根，两个不同的实根，两个不同的实根，只有一个重根，微只有一个重根，微分方程有代表振动物体分方程有代表振动物体三种运动方式三种运动方式的解：的解：(或或=1)的不同，特征方程有：的不同，特征方程有：其特征根是其特征根是4848第第6章章 机械振动机械振动1)1)欠阻尼：欠阻尼：欠阻尼：欠阻尼：*1,3)3)临界阻尼：临界阻尼：临界阻尼：临界阻尼：*=1,特征方程有两个共轭复根特征方程有两个共轭复根 则微分方程解为则微分方程解为 或或 *越大，振幅越大，振幅 随时间衰减得越快，随时间衰减得越快，“周期周期”越长。越长。特征方程有两个不同实根，则特征方程有两个不同实根，则 特征方程只有一个重根特征方程只有一个重根 弛豫时间弛豫时间 通过控制阻尼的大小，以满足不通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。同实际需要。4949第第6章章 机械振动机械振动mgFVO则在切线方向则在切线方向在在 很小时变为很小时变为 则则铅球密度铅球密度:空气粘度空气粘度(20 C):T振幅按振幅按 衰减，在衰减，在 内振幅减小内振幅减小10%.可见，空气粘性对单摆的振幅的确有显著的影响。而对单摆的频可见，空气粘性对单摆的振幅的确有显著的影响。而对单摆的频率率,空气粘性几乎没有影响。空气粘性几乎没有影响。和周期和周期 例例例例 单摆由长度单摆由长度1.0m的细绳和半径的细绳和半径5.0103 m的铅球构成。的铅球构成。试说明空气的粘性对单摆的振幅和周期的影响。试说明空气的粘性对单摆的振幅和周期的影响。解解解解 利用斯托克斯粘滞公式，空气作用在铅球上的粘力为利用斯托克斯粘滞公式，空气作用在铅球上的粘力为5252第第6章章 机械振动机械振动BO O较小较小较大较大5353第第6章章 机械振动机械振动由由共振角频率共振角频率 可得：可得：共振振幅共振振幅 在阻尼很小，但在阻尼很小，但 时，时，但但 时，时，振动系统在未达到稳定状态以前，振动系统在未达到稳定状态以前，就可能因振动过于激烈而最破坏。就可能因振动过于激烈而最破坏。BOBr4.共振共振(1)当当 或或 时时，受迫振动的定态振幅，受迫振动的定态振幅B都很小，都很小，都与都与 无关；当无关；当时，振幅时，振幅B达到极大值达到极大值Br。(位移位移位移位移)共振共振共振共振：在受迫振动中位移振幅出现极大值的现象。在受迫振动中位移振幅出现极大值的现象。5454第第6章章 机械振动机械振动塔科马桥倒塌事件塔科马桥倒塌事件塔科马桥倒塌事件塔科马桥倒塌事件 19401940年发生於美国华盛顿州塔科马年发生於美国华盛顿州塔科马年发生於美国华盛顿州塔科马年发生於美国华盛顿州塔科马 被小号波共振碎的灯泡被小号波共振碎的灯泡被小号波共振碎的灯泡被小号波共振碎的灯泡5555第第6章章 机械振动机械振动另外，另外，表示振动位移的相位比驱动力表示振动位移的相位比驱动力的相位落后的相位落后 /2，此时，此时，振动速度与驱动力同相位，振动速度与驱动力同相位，这就能时刻对振动系统作正功，这就能时刻对振动系统作正功，对增大速度有最高的效益，从对增大速度有最高的效益，从而振幅急剧增大。而振幅急剧增大。即发生即发生速度共振速度共振和和能量共振能量共振。时时