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第第6章章 灰色系统基本方法灰色系统基本方法 灰色系统理论是我国华中理工大学邓聚龙教授提出的一种处理动态系统的数学方法，它可以对系统做出分析，建模，预测，决策，控制等这里将介绍给大家的只有四的部分 概述 关联度分析 生成数 （，）模型 概述概述概述概述一、灰色系统一、灰色系统一、灰色系统一、灰色系统 定义：定义：部分信息已知，部分信息未知的系统统称灰色系统。部分信息已知，部分信息未知的系统统称灰色系统。部分信息已知，部分信息未知的系统统称灰色系统。部分信息已知，部分信息未知的系统统称灰色系统。黑箱信息缺乏黑箱信息缺乏 白箱信息充足白箱信息充足 例：人体是个灰色系统，人体某些外形参数：身高，体重，以例：人体是个灰色系统，人体某些外形参数：身高，体重，以及某些内部参数：血压，脉搏，但有更多的信息的：如人体穴位及某些内部参数：血压，脉搏，但有更多的信息的：如人体穴位的多少及作用，人体体温场，人体的信息网络等此外，社会系统，经的多少及作用，人体体温场，人体的信息网络等此外，社会系统，经济系统，生态系统，农业系统，商业系统等抽象系统没有物理原型，又济系统，生态系统，农业系统，商业系统等抽象系统没有物理原型，又不清楚系统的作用机理，很难判断信息的完备性，难以对系统关系，结不清楚系统的作用机理，很难判断信息的完备性，难以对系统关系，结构做精确地描述人们只能凭逻辑推理，凭某些观念意识，凭某种准则构做精确地描述人们只能凭逻辑推理，凭某些观念意识，凭某种准则对系统的结构，关系进行论证，然后再建立某种模型这累抽象系统我对系统的结构，关系进行论证，然后再建立某种模型这累抽象系统我们称为特征性灰色系统们称为特征性灰色系统 严格说来，灰色系统是绝对的，而白色与黑色系统是相对的。严格说来，灰色系统是绝对的，而白色与黑色系统是相对的。社会，经济，农业等系统的预测，都属于特征性灰色系统的预测。社会，经济，农业等系统的预测，都属于特征性灰色系统的预测。灰色系统的应用情况灰色系统的应用情况灰色系统的应用情况灰色系统的应用情况例年，邓聚龙接受了我国粮食发展决策中的一个课例年，邓聚龙接受了我国粮食发展决策中的一个课 题，即粮食发展预测与粮食发展的长期规划建立（，题，即粮食发展预测与粮食发展的长期规划建立（，）模型，预测年粮食产量，年）模型，预测年粮食产量，年预测值与统计值误差仅为预测值与统计值误差仅为。例对湖北省年宏观经济的发展趋势进行预测，提出例对湖北省年宏观经济的发展趋势进行预测，提出自己的结论和建议，受到湖北省科协的奖励。自己的结论和建议，受到湖北省科协的奖励。例河南省人民胜利渠利用灰色系统理论制定最佳灌溉方案，例河南省人民胜利渠利用灰色系统理论制定最佳灌溉方案，使全流区农田得到大丰收。使全流区农田得到大丰收。二、灰色系统的研究内容二、灰色系统的研究内容二、灰色系统的研究内容二、灰色系统的研究内容 灰色系统的分析，建模，预测，决策，控制等多个内容。灰色系统的分析，建模，预测，决策，控制等多个内容。（一）系统分析（一）系统分析（一）系统分析（一）系统分析 现有系统分析的量化方法，大都是数理统计方法，如：回归现有系统分析的量化方法，大都是数理统计方法，如：回归分析，主成分分析，方差分析分析，主成分分析，方差分析 不足：不足：要求大样本要求大样本 要求样本有较大的分布规律要求样本有较大的分布规律 计算工作量大计算工作量大.可能出现量化的结果与定性分析的结果不符可能出现量化的结果与定性分析的结果不符.说明回归分析有较大的局限性，特别是对我国的经济分析局说明回归分析有较大的局限性，特别是对我国的经济分析局限性就更大限性就更大 灰色系统理论提出了一种新的分析方法，称为系统的关联度灰色系统理论提出了一种新的分析方法，称为系统的关联度分析方法这是根据因素之间发展态势的相似或相异程度，来衡分析方法这是根据因素之间发展态势的相似或相异程度，来衡量因素间关联程度的方法。量因素间关联程度的方法。由于关联度的分析方法是按发展趋势作分析，因此对样本由于关联度的分析方法是按发展趋势作分析，因此对样本量的多少没有过分要求，也不需要典型的分布规律，计算量小，量的多少没有过分要求，也不需要典型的分布规律，计算量小，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一至的现象。且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一至的现象。关联度分析的应用情况：农业经济，水利，材料科学，宏关联度分析的应用情况：农业经济，水利，材料科学，宏观经济等对抽象系统，社会现象等进行关联度分析，首先要观经济等对抽象系统，社会现象等进行关联度分析，首先要找准数据序列，而用什么数据才能反映系统的行为特征，是首找准数据序列，而用什么数据才能反映系统的行为特征，是首先要研究的用某种数据来间接地表征系统行为，称为找映射先要研究的用某种数据来间接地表征系统行为，称为找映射量即找系统行为的映射量。量即找系统行为的映射量。如：如：.法国人口学家曾统计和研究过中国的宋朝，元朝，法国人口学家曾统计和研究过中国的宋朝，元朝，明朝，清朝的人口这些人口数字都不是直接统计的，而是根明朝，清朝的人口这些人口数字都不是直接统计的，而是根据中国食盐的销售量折算得到的。（食盐作为人口的映射量是据中国食盐的销售量折算得到的。（食盐作为人口的映射量是恰当的）。恰当的）。.照相行业的收入反映社会精神面貌的变化。照相行业的收入反映社会精神面貌的变化。.用学生人数来反映教育的发达程度，用大专以上文化程度用学生人数来反映教育的发达程度，用大专以上文化程度的人数来反映教育水平的高低。的人数来反映教育水平的高低。以上这些是各种社会现象的一些可能的映射量当有了系统以上这些是各种社会现象的一些可能的映射量当有了系统行为的数据列（即各时刻的数据）后，根据关联度计算公式便可行为的数据列（即各时刻的数据）后，根据关联度计算公式便可算出关联程度。算出关联程度。关联度不仅是一种系统分析方法，而且进一步可拓广为关联关联度不仅是一种系统分析方法，而且进一步可拓广为关联空间这将为离散数学的分析学奠定基础。空间这将为离散数学的分析学奠定基础。（二）系统模型的建立（二）系统模型的建立（二）系统模型的建立（二）系统模型的建立 微分方程模型的不足：微分方程中的系统数据的出现是输入微分方程模型的不足：微分方程中的系统数据的出现是输入输出的导数，他们一般是不能量测得到的；实际上，由于导数信输出的导数，他们一般是不能量测得到的；实际上，由于导数信号难获得，所以解不存在。号难获得，所以解不存在。灰色系统解决了这个一向认为不能解决的连续微分方程的建模问题灰色系统解决了这个一向认为不能解决的连续微分方程的建模问题.为什为什么灰色系统理论能解决这个问题呢么灰色系统理论能解决这个问题呢?其重点是灰色系统有一种新观点其重点是灰色系统有一种新观点,即即 1.1.任何随机过程都是在一定幅值范围任何随机过程都是在一定幅值范围,一定时区内变化的灰色量一定时区内变化的灰色量,我们称随我们称随机过程为灰色过程。机过程为灰色过程。2.2.在处理手法上在处理手法上,灰色过程是通过原始数据的整理来寻找数的规律的灰色过程是通过原始数据的整理来寻找数的规律的,叫数叫数的生成的生成,这就是一种就数找数的现实规律的途径。这就是一种就数找数的现实规律的途径。概率统计的随机过程概率统计的随机过程,则是按统计规律则是按统计规律,按先验规律来处理问题按先验规律来处理问题,作这种处理作这种处理,要求数据越多越好要求数据越多越好(大样本大样本).).事实上事实上,即使有了大样本也不一定能够找到统计规即使有了大样本也不一定能够找到统计规律律,即使有统计规律也不一定典型即使有统计规律也不一定典型,而非典型的过程而非典型的过程(如非平稳如非平稳,非高斯分布非高斯分布,非白非白噪音等噪音等)是难处理的。是难处理的。而灰色过程则无此限制而灰色过程则无此限制.事实上事实上,将许多原始数据累加处理后便出现了明将许多原始数据累加处理后便出现了明显的指数规律显的指数规律.为什么能做到这一点呢为什么能做到这一点呢?灰色系统认为灰色系统认为:尽管客观系统表象复杂尽管客观系统表象复杂,数据离散数据离散,但它们总是有整体功能但它们总是有整体功能的的,总是有序的总是有序的.因此因此,它必然潜藏着某种内在规律它必然潜藏着某种内在规律.关键在于要用适当方式去挖关键在于要用适当方式去挖掘它掘它,然后利用它。然后利用它。由于生成数据列有了较强的规律由于生成数据列有了较强的规律,有可能对变化过程做较有可能对变化过程做较长时间的描述长时间的描述,因此因此,有可能建立微分方程有可能建立微分方程.建立微分方程模型建立微分方程模型,还要利用到灰色理论的其他成果还要利用到灰色理论的其他成果,如如:关联空间的知识关联空间的知识,离散函离散函数的收敛数的收敛,根据根据,离散函数的光滑度离散函数的光滑度,灰导数灰导数,灰微分方程灰微分方程,平蛇等平蛇等概念。概念。以例说明灰色过程如何通过生成数来寻找规律以例说明灰色过程如何通过生成数来寻找规律 例例:记记x x(0)(0)(1),x(1),x(0)(0)(2),x(2),x(0)(0)(3),x(3),x(0)(0)(4)(4)其值如下：其值如下：序号序号数据数据.x x(0)(0)(1)(1)x x(0)(0)(2)(2)x x(0)(0)(3)(3)x x(0)(0)(4)(4)无规律，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，已将个累加生成数为x(1)(k),并且X(1)(1)=X(0)(1)=1X(1)(2)=X(0)(1)+X(0)(2)=1+2=3X(1)(3)=X(0(1)+X(0)(2)+X(0)(3)=1+2+1.5=4.5X(1)(4)=X(0)(1)+X(0)(2)+X(0)(3)+X(0)(4)=7.5序号序号生成数生成数.x x()(1)(1)x x()()x x()()x x()()无规律的原始数据生成后，得到较规律的数据，即无无规律的原始数据生成后，得到较规律的数据，即无摆动的递增规律数据。摆动的递增规律数据。在建立系统各要素的关联模型时，灰色理论是五步建在建立系统各要素的关联模型时，灰色理论是五步建立的，分别是：立的，分别是：语言模型语言模型 网络模型网络模型 量化模型量化模型 动态量化模型动态量化模型 优化模型优化模型 五步建立模型的思路与模型的特点如下：五步建立模型的思路与模型的特点如下：.定性分析是建立模型的前提定性分析是建立模型的前提.定量模型是定性分析的具体化，规格化，关系化，定量模型是定性分析的具体化，规格化，关系化，数量化数量化.定性与定量紧密结合定性与定量紧密结合.明确系统潜在的显露的因素，弄清要素间的因果关明确系统潜在的显露的因素，弄清要素间的因果关系，是系统研究的基本任务，建模的基础系，是系统研究的基本任务，建模的基础.要素间的关系：要素间的关系：事理系统中，是“前因、后果”关系 技术系统中，是“输入、输出”关系 经济系统中，是“投入、投出”关系要素间的关系是相对的、多重的要素分析，系统行为研究，不应该停留在一种关系上，而应 该考虑其发展变化，即动态变化。为了将控制理论中卓有成效的方法、成果推广到社会、经济等系统，模型应控制化。要通过模型了解系统的基本控制性能，如是否可控，变化过程是否可以观测。应从模型获得尽可能多的信息，特别是发展变化的信息。建立模型要为使用先进的实验科学手段，使用自然科学方法研究社会、经济等系统提供基础，特别要为电子计算机对抽象系统进行数字仿真模拟提供条件。建立模型常用的数据：科学实验数据、统计数据、经验数据、生产数据（实验室化验分析）、决策数据。前三种数据有较大局限性；生产数据较易获得，包涵难以用语言文字描述的全部因素，有丰实的内涵。建模的目的不仅仅是为了认识世界，更重要的是为了改造世界。五步建模的基本任务，是沟通社会科学与自然科学，使社会科学研究做到数学化、计算机化、自然科学化。五步建模的灰色建模思路（如下图说明），用原始数据，经生成得到 ，对 按GM建模，得模型计算值 ，将与 进行比较，得到残差 ，用残差对模型GM作修正。残差 =-，min，通过；max，修正GM。所建立的模型是多要素的、关联的、整体的，决定系统发展态势，不是某个因素，而是所有因素协调发展的结果。（三）灰色预测（三）灰色预测 预测方法有300种，通常用回归分析法、德尔菲法、趋势外推法、最小方差预测法、马尔克夫预测法、模型法、指数平滑法、残差辨识方法等。三种类型：回归马尔可夫称统计型 灰色预测与模型法属连续型 指数平滑与残差辨识则属递推型灰色系统模型的预测，称灰色预测。灰色预测可分为五类：数列预测 对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，称为系统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如粮食产量的预测商品销售量发展变化的预测年平均降水量发展变化的预测人口的预测货运量的预测外贸额发展变化的预测 这种预测的特点是：对行为特征量等时距地观测。预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多大。灾变预测 对系统行为特征量超出某个阈值（界限值）的异常值将在何时出现的预测称为灾变预测。所以说，灾变预测即对异常值出现时刻的预测。由于异常值往往会使人们的生活、生态环境、农业生产等的正常活动带来异常结果，造成灾害，所以也称为这种预测为灾变预测。如年平均降水量大于某个阈值（可容许值）便是涝灾年平均降水量小于某个阈值是旱灾年产量大于某个指定值，是丰年年产量小于某个指定值，是欠年环境中某种物质含量超出某个阈值，是污染人体中某个参数（如体温、血压、血中成分）超出一定范围就发生病变银行存款超出某个值是经济跃变 灾变预测的特点是：对异常值出现的时间进行预测。预测的任务不是确定异常值的大小（因为异常值的大小是指定的灰数），而是确定异常值出现的时间。灾变预测建模所用数据已不是行为特征量本身，而是异常行为特征值发生的时间，这是对时间来说不是等间距的，或者说建模数据的序列，是按序号给出的时间间隔。季节灾变预测 若行为特征量异常值的出现，或者某种事件的发生是在一年中个特定时区，则这种预测称为季节灾变预测。云南春雨是在春天出现临西早霜是在秋末冬初的9、10、11月出现洪水是在汛期出现 季节灾变预测，是一种特定时区内的灾变预测。其特点是：灾变一般仅仅发生在一年的某个特定时段。拓扑预测（亦称波形预测、整体预测）拓扑预测（亦称波形预测、整体预测）拓扑预测是对一段时间内行为特征数据波形的预测。拓拓扑预测是对一段时间内行为特征数据波形的预测。拓扑预测在不同的场合有不同的意义。扑预测在不同的场合有不同的意义。n n对水利方面年径流量曲线来说，拓扑预测意味着在对未来对水利方面年径流量曲线来说，拓扑预测意味着在对未来某段时间内总径流量的预测。某段时间内总径流量的预测。n n对气象方面年平均降水量曲线来说，拓扑预测是对某几年对气象方面年平均降水量曲线来说，拓扑预测是对某几年总降水量的预测。总降水量的预测。n n对生产系统来说，拓扑预测可以是对几年内生产总产值、对生产系统来说，拓扑预测可以是对几年内生产总产值、总产量的预测。总产量的预测。而从本质来看，拓扑预测则是对一个变化不规则的行为而从本质来看，拓扑预测则是对一个变化不规则的行为数据数列的整体发展进行预测。数据数列的整体发展进行预测。系统综合预测系统综合预测 将某一系统各种因素的动态关系找出，建立系统动态框图。系统将某一系统各种因素的动态关系找出，建立系统动态框图。系统的行为特征量是系统的输出。总系统行为特征量是系统总输出，系统的行为特征量是系统的输出。总系统行为特征量是系统总输出，系统中各环节的行为特征量是系统的中间输出。中各环节的行为特征量是系统的中间输出。系统综合预测，是控制系统动态研究的内容。其预测模型与前述系统综合预测，是控制系统动态研究的内容。其预测模型与前述数列预测、灾变预测的不同。它不是一个孤立的数列预测、灾变预测的不同。它不是一个孤立的GMGM（1 1，1 1）模型，）模型，而是一串相互关联的而是一串相互关联的GMGM（1 1，N N）模型，即控制理论中的状态模型，）模型，即控制理论中的状态模型，或者传递函数模型，这是一种输出输入关系，不是单一数列的变化关或者传递函数模型，这是一种输出输入关系，不是单一数列的变化关系；它不但可以了解整个系统的变化，还可以了解系统中各个环节的系；它不但可以了解整个系统的变化，还可以了解系统中各个环节的发展变化，一般属于系统的综合研究，因此称为系统综合预测。作系发展变化，一般属于系统的综合研究，因此称为系统综合预测。作系统综合预测时，必须有某些量是自主的，是可以用统综合预测时，必须有某些量是自主的，是可以用GM（1，1）表征的。（四）灰色决策（四）灰色决策 所谓决策，是指选定一个合适的对策，去对付某个事所谓决策，是指选定一个合适的对策，去对付某个事件的发生，以取得最佳效果。事件与对策的配合称为局势。件的发生，以取得最佳效果。事件与对策的配合称为局势。例：作物的合理布局问题、农业中的区划问题，运筹学中例：作物的合理布局问题、农业中的区划问题，运筹学中的整数规划问题。又例：区域劳动力、资金、资源如何调的整数规划问题。又例：区域劳动力、资金、资源如何调配，使劳动力、资金、资源得到有效利用，得到最大效益，配，使劳动力、资金、资源得到有效利用，得到最大效益，这也是局势。在农业上是产业结构调整的问题，在数学上这也是局势。在农业上是产业结构调整的问题，在数学上是线性规划的问题，这些称灰色决策，是因为规划模型都是线性规划的问题，这些称灰色决策，是因为规划模型都是按是按GMGM得到的。得到的。例：对局势决策作简要介绍：下雨是一个事件，为了对付下雨，可以带雨伞、穿雨衣、戴斗笠。三个目标：经济、美观、方便。（五）灰色控制（五）灰色控制 决策的执行称为控制。所谓灰色控制是指本征性灰色系统的控制，或系统中含灰参数的控制，或用GM（1，1）模型构成的预测控制。第二节关联分析一、关联分析一、关联分析 关联分析是动态过程发展态势的量化分析。关联分析是动态过程发展态势的量化分析。说的确切一点，是动态发展态势的量化比较分析。说的确切一点，是动态发展态势的量化比较分析。灰色关联分析，从其思想方法上来看，属于灰色关联分析，从其思想方法上来看，属于几何处理的范畴，其实质是对反映各因素变化特几何处理的范畴，其实质是对反映各因素变化特征的数据序列所进行的集合比较。用于度量因素征的数据序列所进行的集合比较。用于度量因素之间关联程度的灰色关联度，就是通过对因素之之间关联程度的灰色关联度，就是通过对因素之间的关联曲线的比较而得到的。间的关联曲线的比较而得到的。例：某地区19982004年总收入，工业收入，农业收入 （单位：亿元）年份年份19981998 19991999 20002000 20012001 20022002 20032003 20042004总收总收入入1818202022224040444448486060工业工业收入收入1010151516162424282840405050农业农业收入收入3 32 25 5101012128 81010将表反映在图上分析上图的基本思想：根据曲线间相似程度来判断关联程度n n曲线曲线2 2的形状与曲线的形状与曲线1 1的形状相近，而曲线的形状相近，而曲线3 3与曲线与曲线1 1相差较大。因此，该地区对收入影响较直接的可相差较大。因此，该地区对收入影响较直接的可以说是工业，而不是农业。在制定该地区经济发以说是工业，而不是农业。在制定该地区经济发展规划时，显然应着重发展工业。展规划时，显然应着重发展工业。n n这种因素分析的比较，实质上是几种曲线间几何这种因素分析的比较，实质上是几种曲线间几何形状的分析比较，即认为几何形状越接近，则发形状的分析比较，即认为几何形状越接近，则发展变化态势越接近，关联程度越大。因此按这种展变化态势越接近，关联程度越大。因此按这种观点作因素分析，至少不会出现异常的。此外，观点作因素分析，至少不会出现异常的。此外，对数据量也没有太高的要求。不过直观分析并不对数据量也没有太高的要求。不过直观分析并不能算作是一种方法，只能说是一种观点。能算作是一种方法，只能说是一种观点。具体存在的问题：1.1.如果好几条曲线形状相差不大，有些虽有差别，然而各区段情况不一，难以用直接观察方法来判断个曲线间的关联程度。2.2.这种直观的几何形状的判断比较，是不能量化的。因此，应寻找一种衡量因素间关联程度大小的量化方法。二、关联系数与关联度二、关联系数与关联度1.1.数据列的表示方式 作关联分析首先要指定参考数据列，参考数据列常用x0表示。不同时刻数据表示为：xo=x0（1），x02，x0n 序序号号1 12 23 34 45 56 6数数据据1 11.11.12 22.252.253 34 4符符号号x x0 0 x x0 01 1x x0 02 2x x0 03 3 x x0 04 4 x x0 05 5x x0 06 6表中的数据：第一个时刻x0的值x01=1第二个时刻x0的值x02=1.1第六个时刻x0的值x06=4将x01到x06集合起来，得序列：Xo=x01，xo2，x03，xo4，x05，x06 =1，1.1，2，2.25，3，4关联分析中的被比较数列常记为x1，x2，xn，若给定第个被比较数列X1=1，1.166，1.834，2，2.34，3再给出其它两个数列x2与x3，分别为：X2=1，1.125，1.075，1.375，1.625，1.75X3=1，1，0.7，0.8，0.9，1.2有了这样几个数列，就为关联度分析准备了条件。2.关联系数计算公式 关联性实质上是曲线间几何形状的差别，因此将以曲线间差值的大小，作为关联程度的衡量尺度。对于一个参考数列x0，有好几个比较数列x1，x2，xn的情况，可以用下述关系表示各比较曲线与参考曲线在各点（时刻）的差。(1)(1)式中，式中，ij ij(t)(t)为因素为因素x xj j对对x xi i在在t t时刻的关联系数；时刻的关联系数；ij ij(t)=(t)=x xi i(t)-x(t)-xj j(t)(t)，maxmax=maxmax=maxmax ij ij(t)(t)，称两级最大差，称两级最大差，minmin=minmin=minmin ij ij(t)(t)，称两级最小差；，称两级最小差；k k为介于为介于0 0，1 1区区间上的灰数。不难看出，间上的灰数。不难看出，ij ij(t)(t)的最小值是的最小值是minmin，当它取，当它取最小值时，关联系数最小值时，关联系数 ij ij(t)(t)取最大值取最大值maxmaxij ij(t)=1(t)=1；ij ij(t)(t)的的最大值最大值 n n在实际计算时，取min=0，这时有n n0.5ij(t)1(3)n n作出函数ij=ij(t)随时间变化的曲线，它就被称之为关联曲线。图中的水平线，说明任何时刻的关联系数为1，它代表xi与xi本身的关联曲线ij1，因为自己与自己总可以认为是密切关联的。例1.给出下列数列x0=20，22，40X1=30，35，55X2=40，45，43试求两级最小差与两级最大差。解：先求两级最小差对于i=1时t=1，x0(1)-x1(1)=20-30=10t=2，x0(2)-x1(2)=22-35=13t=3t=3，x x0 0(3)-x(3)-x1 1(3)(3)=40-5540-55=15=15min min x x0 0(k)-x(k)-x1 1(k)(k)=min=min（1010，1313，1515）=10=10对于对于i=2i=2时，时，t=1t=1，x x0 0(1)-x(1)-x2 2(1)(1)=20-4020-40=20=20t=2t=2，x x0 0(2)-x(2)-x2 2(2)(2)=22-4522-45=23=23t=3t=3，x x0 0(3)-x(3)-x2 2(3)(3)=40-4340-43=3=3min min x x0 0(k)-x(k)-x2 2(k)(k)=min=min（2020，2323，3 3）=3=3minmin minmin x x0 0(k)-x(k)-xi i(k)(k)=min=min（1010，3 3）=3=3求两级最大差求两级最大差对于对于i=1i=1maxmaxx x0 0(k)-x(k)-x1 1(k)(k)=max=max（x x0 0(1)-x(1)-x1 1(1)(1)，x x0 0(2)-x(2)-x1 1(2)(2)，x x0 0(3)-x(3)-x1 1(3)(3)）=max=max（1010，1313，1515）=15=15对于对于i=2i=2maxmaxx x0 0(k)-x(k)-x2 2(k)(k)=max=max（x x0 0(1)-x(1)-x2 2(1)(1)，x x0 0(2)-x(2)-x2 2(2)(2)，x x0 0(3)-x(3)-x2 2(3)(3)）=max=max（2020，2525，3 3）=25=25maxmaxmaxmax（x x0 0(k)-x(k)-xi i(k)(k)）=max=max（1515，2525）=25=253.关联系数计算 从以上分析可以看出，显然，xi与xj的量纲不同，作图比例尺就会不同，因而关联曲线的空间相对位置也会不同，这就会影响计算结果。为了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，就需要在进行关联系数计算之前，首先对各要素的原始数据作初值变换或均值变换，然后利用变换后所得到的新数据作关联系数计算。初值变换的计算公式为 例2 计算关联系数给出初值化的序列如下:xo=(1,1.1,2,2.25,3,4)X1=(1,1.166,1.834,2,2.314,3)X2=(1,1.125,1.075,1.375,1.625,1.75)x3=(1,1,0.7,0.8,0.9,1.2)分三步计算:(1)求差序列各个时刻x1与x0的绝对差序号序号1 12 23 34 45 56 6绝对绝对差差1 10 00.0660.0660.1660.1660.250.250.6860.6861 1各个时刻x2与x0的绝对差序号序号1 12 23 34 45 56 6绝对绝对差差2 20 00.0250.0250.9250.9250.8750.8751.3751.3752.252.25各个时刻x3与x0的绝对差序号序号1 12 23 34 45 56 6绝对绝对差差3 30 00.10.11.31.31.451.452.12.12.82.8(2)求两级最小差与两级最大差minmin minmin x x0 0(k)-x(k)-xi i(k)(k)=0=0maxmax maxmax x x0 0(k)-x(k)-xi i(k)(k)=2.8=2.8(3)(3)计算关联系数得计算关联系数得 1 1(1)=1(1)=1 1 1(2)=0.955(2)=0.955 1 1(3)=0.894(3)=0.894 1 1(4)=0.848(4)=0.848 1 1(5)=0.679(5)=0.679 1 1(6)=0.583(6)=0.583 1 1=(=(1 1(1)(1)，1 1(2)(2)，1 1(3)(3)，1 1(4)(4)，1 1(5)(5)，1 1(6)(6)=(1=(1，0.9550.955，0.8940.894，0.8480.848，0.6790.679，0.583)0.583)同理得2=(2(1)，2(2)，2(3)，2(4)，2(5)，2(6)=(1，0.982，0.602，0.615，0.797，0.383)3=(3(1)，3(2)，3(3)，3(4)，3(5)，3(6)=(1，0.933，0.52，0.49，0.4，0.34)4.关联度 关联系数的数很多，信息过于分散，不便于比较，为此有必要将各个时刻关联系数集中为一个值，求平均值便是这种信息集中处理的一种方法。在实际计算中，常用近似公式 或者说或者说r rij ij是曲线是曲线x xi i对参考曲线对参考曲线x xj j的关联度的关联度.从以上关联度的定义可以看出，它主要取决于各时从以上关联度的定义可以看出，它主要取决于各时刻的关联系数刻的关联系数 ij ij(t)(t)的值，而的值，而 ij ij(t)(t)又取决于各时刻又取决于各时刻x xi i与与x xj j观测值之差观测值之差 ij ij(t)(t)。显然，显然，x xi i与与x xj j的量纲不同，作图比例尺就会不同，的量纲不同，作图比例尺就会不同，因而关联曲线的空间相对位置也会不同，这就会影因而关联曲线的空间相对位置也会不同，这就会影响关联度响关联度(r(rij ij)的计算结果。为了消除量纲的影响，的计算结果。为了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，就需要在进行增强不同量纲的因素之间的可比性，就需要在进行关联度计算之前，首先对各要素的原始数据作初值关联度计算之前，首先对各要素的原始数据作初值变换或均值变换，然后利用变换后所得到的新数据变换或均值变换，然后利用变换后所得到的新数据作关联度计算。作关联度计算。5.数列的增值性有两个数列：有两个数列：X X1 1=（2 2，3 3，2 2，4 4，5 5）X X2 2=（1 1，2 2，1 1，3 3，4 4）由图可以看出曲线形状是一致的，几何关系是平行的，由图可以看出曲线形状是一致的，几何关系是平行的，理应关联度是理应关联度是1 1，可是初值化后却不是这样。，可是初值化后却不是这样。初值后初值后X X1 1=（1 1，1.51.5，1 1，2 2，2.52.5）X X2 2=（1 1，2 2，1 1，3 3，4 4）初值化后，初值大的发展态势变慢；初值小的发展态初值化后，初值大的发展态势变慢；初值小的发展态势相对大拉。这种情况称为增值性，所谓增值性是：势相对大拉。这种情况称为增值性，所谓增值性是：（1 1）作为经济序列，增值性指）作为经济序列，增值性指“初值初值”放在银行里，放在银行里，经过一段时间后，由利息引起的增值。经过一段时间后，由利息引起的增值。（2 2）作为资金序列，指在正常经营下，资金）作为资金序列，指在正常经营下，资金周转一定时间后带来的利益。周转一定时间后带来的利益。（3 3）作为价格上涨的情况，指初值的折算货）作为价格上涨的情况，指初值的折算货物经一定时间后价格上涨所带来的增值。物经一定时间后价格上涨所带来的增值。（4 4）作为其它序列，增值性指不同初值经一）作为其它序列，增值性指不同初值经一定时间后引起的不同效果。定时间后引起的不同效果。比如微分方程的解，在相同指数下，初始值比如微分方程的解，在相同指数下，初始值大的，曲线可能衰减而初始值小的，则曲线是上大的，曲线可能衰减而初始值小的，则曲线是上升的。因此增值性大的数列，要保持相对的发展升的。因此增值性大的数列，要保持相对的发展速率，则应有更大的绝对发展速率。速率，则应有更大的绝对发展速率。例例1.1.山西省汾河上游输沙量与降水径流的灰色关联山西省汾河上游输沙量与降水径流的灰色关联分析分析 x xo o-1954-1954年以来每年的输沙量年以来每年的输沙量 x x1 1-年径流量年径流量 x x2 2-平均年降水量平均年降水量 x x3 3-平均汛期降水量平均汛期降水量 r r1 1=0.41 =0.41 r r2 2=0.21 =0.21 r r3 3=0.23=0.23 数据，过程（省）数据，过程（省）例2.粮食单产xo X1-田间管理技术 X2-农肥 X3-浇水 x4-农药 r1=0.818 r2=0.832 r3=0.706 r4=0.855 结果分析（省）6.优势分析 当参考数列不止一个，被比较因素也不止一个时，当参考数列不止一个，被比较因素也不止一个时，可进行优势分析。可进行优势分析。例例.某地区有某地区有5 5个母因素个母因素y yi i（i=1i=1，2 2，5 5）。）。又有又有6 6个子因素个子因素X Xi i （i=1i=1，2 2，6 6）。分别为）。分别为 y yi i 参考数列（母数列）参考数列（母数列）X Xi i 被比较数列（子数列）被比较数列（子数列）y y1 1 固定资产投资固定资产投资 X X1 1 国民收入国民收入 y y2 2 工业投资工业投资 X X2 2 工业收入工业收入 y y3 3 农业投资农业投资 X X3 3 农业收入农业收入 y y4 4 科技投资科技投资 X X4 4 商业收入商业收入 y y5 5 交通投资交通投资 X X5 5 交通收入交通收入 X X6 6 建筑业收入建筑业收入其数据列如下表 （单位：万元）1980198019811981198219821983198319841984y y1 1308.58308.58316316295295346346367367y y2 2195.4195.4189.9189.9187.2187.2205205222.7222.7y y3 324.624.6212112.212.215.115.114.5714.57y y4 4202025.625.623.323.329.229.23030y y5 518.9818.98191922.322.323.523.527.65527.655x x1 1170170174174197197216.4216.4235.8235.8X X2 257.5557.5570.7470.7476.876.880.780.789.8589.85X X3 383.5683.56707085.3885.3899.8399.83103.4103.4X X4 411.1911.1913.2813.2816.8216.8218.918.922.822.8X X5 54.034.034.264.264.344.345.065.065.785.78x x6 613.713.715.615.613.7713.7711.9811.9813.9513.95初值化的序列如下（无量纲处理）：y1=（1，1.02，0.96，1.12，1.19）y2=（1，0.97，0.96，1.05，1.14）y3=（1，0.85，0.50，0.61，0.59）y4=（1，1.28，1.17，1.46，1.50）y5=（1，1.00，1.17，1.24，1.46）X1=（1，1.02，1.16，1.27，1.39）X2=（1，1.23，1.33，1.40，1.56）X3=（1，0.84，1.02，1.19，1.24）X4=（1，1.19，1.50，1.69，2.04）X5=（1，1.06，1.08，1.26，1.43）X6=（1，1.14，1.01，0.87，1.02）（1 1）求差数列，两极最小差与两极最大差）求差数列，两极最小差与两极最大差minmin minmin y yi i(k)-x(k)-xi i(k)(k)=0=0maxmax maxmax y yi i(k)-x(k)-xi i(k)(k)=0.85=0.85（2 2）计算关联度）计算关联度r r11 11=0.8198 r=0.8198 r12 12=0.641 =0.641 r r16 16=0.7949=0.7949 ：r r51 51=0.92 r=0.92 r52 52=0.6799 =0.6799 r r56 56=0.613=0.613得关联系数矩阵（省）得关联系数矩阵（省）（3）结果分析（将矩阵写成表格的形式）x x1 1x x2 2x x3 3x x4 4x x5 5x x6 6y y1 10.81980.81980.6410.6410.83860.83860.5630.5630.8190.8190.79490.7949y y2 20.76980.76980.6240.6240.82790.82790.55170.55170.77960.77960.81250.8125y y3 30.64820.64820.5780.5780.71940.71940.54220.54220.64880.648