河北省中考等腰三角形与直角三角形随堂演练含真题分类汇编解析.pptx

第三节等腰三角形与直角三角形知识点一知识点一 等腰三角形等腰三角形 1 1等腰三角形：有等腰三角形：有 _ _ 相等的三角形是等腰三角形相等的三角形是等腰三角形2 2等腰三角形的性质等腰三角形的性质(1)(1)等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角 _(_(简写成简写成“等边对等等边对等角角”)两边两边相等相等(2)(2)等腰三角形的顶角等腰三角形的顶角 _、底边上的、底边上的 _ _、底边上的高相互重合底边上的高相互重合(简写成简写成“三线合一三线合一”)(3)(3)等腰三角形是轴对称图形，有等腰三角形是轴对称图形，有 _ _ 条对称轴条对称轴平分线平分线中线中线1 13 3等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形(2)(2)如果一个三角形有两个如果一个三角形有两个 _ _ 相等，那么这两个角所相等，那么这两个角所对的边也相等对的边也相等(简写成简写成“等角对等边等角对等边”)角角逆向运用等腰三角形逆向运用等腰三角形“三线合一三线合一”的性质也可以判定三的性质也可以判定三角形是等腰三角形角形是等腰三角形(1)(1)一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形角形(2)(2)一边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是一边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(3)(3)一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形等腰三角形知识点二知识点二 等边三角形等边三角形 1 1等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形2 2等边三角形的性质等边三角形的性质(1)(1)等边三角形的三条边等边三角形的三条边 _，三个角都等于，三个角都等于 _(2)(2)等边三角形是轴对称图形，有等边三角形是轴对称图形，有 _ _ 条对称轴条对称轴都相等都相等60603 33 3等边三角形的判定等边三角形的判定(1)(1)三条边都相等的三角形是等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形(2)(2)三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形(3)(3)有一个角等于有一个角等于6060的的 _ _ 是等边三角形是等边三角形(4)(4)有两个角等于有两个角等于 _的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形等腰三角形等腰三角形6060知识点三知识点三 直角三角形直角三角形 1 1勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理(1)(1)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方如果用边的平方如果用a a，b b和和c c分别表示直角三角形的两直角分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么边和斜边，那么a a2 2b b2 2c c2 2.(2)(2)逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形方，那么这个三角形是直角三角形勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的重要依据证明线段垂直的重要依据2 2直角三角形的性质直角三角形的性质(1)(1)直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角 _(2)(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的直角三角形斜边上的中线等于斜边的 _ _(3)(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于3030，那么它，那么它所对的直角边等于所对的直角边等于 _(4)(4)直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于那么这条直角边所对的角等于 _互余互余一半一半斜边的一半斜边的一半30303 3直角三角形的判定直角三角形的判定(1)(1)有一个角是有一个角是 _的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(2)(2)有两个角有两个角 _的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(3)(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a a，b b，c c满足满足a a2 2b b2 2c c2 2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形(4)(4)如果三角形一边上的如果三角形一边上的 _ _ 等于这边的一半，那么等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形9090互余互余中线中线知识点四知识点四 角平分线与线段的垂直平分线角平分线与线段的垂直平分线1 1角平分线角平分线(1)(1)性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离 _ _(2)(2)判定定理：角的内部到角的两边的距离判定定理：角的内部到角的两边的距离 _的的点在角的平分线上点在角的平分线上相等相等相等相等2 2线段的垂直平分线线段的垂直平分线(1)(1)线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(2)(2)性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离端点的距离 _ _(3)(3)判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的这条线段的 _ _ 上上相等相等垂直平分线垂直平分线知识点五知识点五 尺规作图尺规作图 1 1尺规作图：我们把只能使用尺规作图：我们把只能使用 _ _ 和和 _的的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图圆规圆规没有刻度没有刻度2 2常见的五种基本作图：常见的五种基本作图：(1)(1)作一条线段等于已知线段；作一条线段等于已知线段；(2)(2)作一个角等于已知角；作一个角等于已知角；(3)(3)作角平分线；作角平分线；(4)(4)过一点作已知直线的垂线；过一点作已知直线的垂线；(5)(5)作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线考点一考点一 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 (5(5年年2 2考考)命题角度命题角度等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 在正方形网格中，网格线的交点称为在正方形网格中，网格线的交点称为格点如图是格点如图是3333的正方形网格，已知的正方形网格，已知A A，B B是两格点，在网格中找一点是两格点，在网格中找一点C C，使得，使得ABCABC为为等腰直角三角形，则这样的点等腰直角三角形，则这样的点C C有有()A A6 6个个 B B7 7个个 C C8 8个个 D D9 9个个【分析分析】根据已知条件，分情况进行讨论根据已知条件，分情况进行讨论【自主解答自主解答】如图，如图，ABAB是腰长时，有是腰长时，有4 4个点可以作为点个点可以作为点C C；ABAB是底边时，有是底边时，有2 2个点可以作为点个点可以作为点C.C.所以满足条件的点所以满足条件的点C C的个数是的个数是4 42 26.6.故选故选A.A.讲：分类讨论解等腰三角形问题讲：分类讨论解等腰三角形问题在求解与等腰三角形有关的问题时，如果腰或者顶角不在求解与等腰三角形有关的问题时，如果腰或者顶角不确定，那么需要分类讨论进行求解，最易犯错的地方就确定，那么需要分类讨论进行求解，最易犯错的地方就是忽略分类讨论，导致漏解是忽略分类讨论，导致漏解练：链接变式训练练：链接变式训练1 11 1(2017(2017石家庄二模石家庄二模)若等腰三角形中有一个角等于若等腰三角形中有一个角等于7070，则这个等腰三角形的顶角的度数是，则这个等腰三角形的顶角的度数是()()A A70 B70 B4040C C7070或或40 D40 D7070或或5555C C2 2(2013(2013河北河北)如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P P的南偏东的南偏东7070方向的方向的M M处，它以每小时处，它以每小时4040海里的速度向正北方向航行，海里的速度向正北方向航行，2 2小时后到达位于灯塔小时后到达位于灯塔P P的北偏东的北偏东4040的的N N处，则处，则N N处与灯处与灯塔塔P P的距离为的距离为()()A A4040海里海里 B B6060海里海里 C C7070海里海里 D D8080海里海里D D3 3已知等腰三角形的底边长为已知等腰三角形的底边长为10 10 cmcm，一腰上的中线把三，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5 5 cmcm，那么这个三角形的腰长为那么这个三角形的腰长为 _cmcm.命题角度命题角度 1515命题角度命题角度等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定 (2016(2016河北河北)如图，如图，AOBAOB120120，OPOP平分平分AOBAOB，且且OPOP2.2.若点若点M M，N N分别在分别在OAOA，OBOB上，且上，且PMNPMN为等边三角为等边三角形，则满足上述条件的形，则满足上述条件的PMNPMN有有()()A A1 1个个 B B2 2个个C C3 3个个 D D3 3个以上个以上【分析分析】在在OAOA，OBOB上截取上截取OEOEOFOFOPOP，作，作MPNMPN6060，只要证明只要证明PEMPONPEMPON即可推出即可推出PMNPMN是等边三角形，是等边三角形，由此即可得出结论由此即可得出结论4 4(2017(2017河北模拟河北模拟)如图，如图，ABCABC是等边三角形，点是等边三角形，点P P是是三角形内的任意一点，三角形内的任意一点，PDABPDAB，PEBCPEBC，PFACPFAC，若，若ABCABC的周长为的周长为1212，则，则PDPDPEPEPFPF()()A A12 B12 B8 C8 C4 D4 D3 3C C考点二考点二 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理 (5(5年年0 0考考)【分析分析】BC BC边上的高边上的高ADAD可能在可能在ABCABC内部，也可能在内部，也可能在ABCABC外部，故需分情况讨论外部，故需分情况讨论讲：应用勾股定理的误区讲：应用勾股定理的误区在应用勾股定理时，注意以下两个问题：在应用勾股定理时，注意以下两个问题：(1)(1)使用勾股定使用勾股定理的前提必须是在直角三角形中；理的前提必须是在直角三角形中；(2)(2)当直角三角形的斜当直角三角形的斜边不确定时，要注意分类讨论边不确定时，要注意分类讨论练：链接变式训练练：链接变式训练5 5考点三考点三 直角三角形的性质直角三角形的性质 (5(5年年0 0考考)如图，已知如图，已知AOBAOB6060，点点P P在边在边OAOA上，上，OPOP1010，点，点M M，N N在边在边OBOB上，上，PMPMPN.PN.若若MNMN2 2，则则OMOM()()A A3 B3 B4 C4 C5 D5 D6 6【分析分析】过点过点P P作作PHPHMNMN于于H H，根据等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质求出求出MHMH，根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出OHOH，计算即可，计算即可直角三角形的性质：直角三角形的性质：(1)(1)两锐角互余；两锐角互余；(2)(2)勾股定理；勾股定理；(3)(3)斜边的中线等于斜边的一半；斜边的中线等于斜边的一半；(4)30(4)30角所对的直角所对的直角边等于斜边的一半角边等于斜边的一半8 8如图，如图，RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，A A5555，将其折叠，使点将其折叠，使点A A落在边落在边CBCB上上AA处，折痕为处，折痕为CDCD，则则ADBADB()()A A40 B40 B30 C30 C20 D20 D1010C C考点四考点四 角平分线与线段的垂直平分线角平分线与线段的垂直平分线 (5(5年年3 3考考)如图，如图，ABCABC中，中，BACBAC6060，BACBAC的平分线的平分线ADAD与边与边BCBC的垂直平分线的垂直平分线MDMD相交于相交于D D，DEABDEAB交交ABAB的延长的延长线于线于E E，DFACDFAC于于F F，现有下列结论：，现有下列结论：DEDEDFDF；DEDEDFDFADAD；DMDM平分平分EDFEDF；ABABACAC2AE.2AE.其中正确的有其中正确的有()()A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个【分析分析】利用角平分线和垂直平分线的性质进行解答，利用角平分线和垂直平分线的性质进行解答，同时注意与全等三角形知识的综合应用同时注意与全等三角形知识的综合应用1010(2017(2017石家庄模拟石家庄模拟)如图，如图，ABCABC的三边的三边ABAB，BCBC，ACAC的长分别为的长分别为1212，1818，2424，O O是是ABCABC三条角平分线的三条角平分线的交点，则交点，则S SOABOABSSOBCOBCSSOACOAC()()A A111 B111 B123 123 C C234 D234 D345345C C1111如图，如图，ABCABC中，中，BDBD平分平分ABCABC，BCBC的中垂线交的中垂线交BCBC于于点点E E，交，交BDBD于点于点F F，连接，连接CF.CF.若若A A6060，ACFACF4848，则则ABCABC的度数为的度数为()()A A48 B48 B36 C36 C30 D30 D2424A A考点五考点五 尺规作图尺规作图 (5(5年年5 5考考)(2017 (2017河北河北)如图，依据尺规作图的痕迹，如图，依据尺规作图的痕迹，计算计算 【分析分析】首先根据尺规作图的痕迹进行判断，然后利用首先根据尺规作图的痕迹进行判断，然后利用矩形、平行线、角平分线、垂直平分线的性质求解即可矩形、平行线、角平分线、垂直平分线的性质求解即可讲：不理解尺规作图的依据致错讲：不理解尺规作图的依据致错常见的尺规作图一般有五种，在复习时，要掌握每一种常见的尺规作图一般有五种，在复习时，要掌握每一种尺规作图的基本步骤，并理解其中的作图依据，往往因尺规作图的基本步骤，并理解其中的作图依据，往往因为不理解其中的作图依据而出错为不理解其中的作图依据而出错练：链接变式训练练：链接变式训练12121212(2014(2014河北河北)如图，已知如图，已知ABC(ACABC(ACBC)BC)，用尺规，用尺规在在BCBC上确定一点上确定一点P P，使，使PAPAPCPCBCBC，则符合要求的作图，则符合要求的作图痕迹是痕迹是()()D D1313(2016(2016河北河北)如图，已知钝角如图，已知钝角ABCABC，依，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹步骤步骤1 1：以：以C C为圆心，为圆心，CACA为半径画弧为半径画弧；步骤步骤2 2：以：以B B为圆心，为圆心，BABA为半径画弧为半径画弧，交弧交弧于点于点D D；步骤步骤3 3：连接：连接ADAD，交，交BCBC延长线于点延长线于点H.H.下列叙述正确的是下列叙述正确的是()()A ABHBH垂直平分线段垂直平分线段ADADB BACAC平分平分BADBADC CS SABCABCBCAHBCAHD DABABADADA A