重积分——三重积分的应用.pptx

1 重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用 3 3、求空间物体的质量、求空间物体的质量2 2、求空间立体的体积、求空间立体的体积曲顶柱体曲顶柱体任意空间立体任意空间立体4 4、求平面薄片的质量、求平面薄片的质量1 1、求平面区域的面积、求平面区域的面积2例例1 求半径为求半径为a的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的内接锥的内接锥面所围成的立体（如图）的体积。面所围成的立体（如图）的体积。解解 设球面通过原点设球面通过原点O，球心在球心在 z 轴上，又内接锥轴上，又内接锥面的顶点在原点面的顶点在原点O，其轴，其轴与与 z 轴重合，轴重合，立体所占有的空间闭区域立体所占有的空间闭区域 可用不等式表示可用不等式表示:Oxyz球面方程为球面方程为 r=2acos，锥面方程为锥面方程为 =。3所以所以Oxyz4柱坐标变换柱坐标变换5重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用1 1、求物体的质心、求物体的质心2 2、求物体的转动惯量、求物体的转动惯量3 3、求引力、求引力公式的推导利用积分的思想：公式的推导利用积分的思想：微元法微元法61 质心质心 先讨论平面薄片的质心。先讨论平面薄片的质心。设设在在xoy平平面面有有n个个质质点点分分别别位位于于(x1,y1)、(x2,y2)、(xn,yn)处处，质质量量分分别别为为m1、m2、mn,由力学知道由力学知道:My、Mx叫质点系对于坐标轴的静力距。叫质点系对于坐标轴的静力距。7DxOyyx 先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分个部分d，它的质量元素为，它的质量元素为 这个部分这个部分d 对于对于x轴以及对于轴以及对于y轴轴的的静力距静力距元元素为素为 8 以这些元素为被积表达式，以这些元素为被积表达式，在闭区域在闭区域D上积分，可得上积分，可得DxOyyx9 如如果果薄薄片片是是均均匀匀的的，即即当当(x,y)为为常常量量时时，可可得到如下的质心坐标：得到如下的质心坐标：DxOyyx 这时薄片的质心完全由闭区域这时薄片的质心完全由闭区域D的形状决定，的形状决定，这样求得的质心又称为平面薄片的这样求得的质心又称为平面薄片的形心形心。10例例6 求位于两圆求位于两圆r=2sin 和和r=4sin 之间的均之间的均匀薄片的质心匀薄片的质心(如图如图)。DD的的面面积积等等于于这这两两个个圆圆的的面面积积之之差差，即即A=3。4o2xy11 再利用极坐标计算积分再利用极坐标计算积分D4o2xy1213例例7 求均匀半球体的重心。求均匀半球体的重心。解解 取取半半球球体体的的对对称称轴轴为为 z 轴轴，原点取在球心上。原点取在球心上。：x2+y2+z2 a2，z 0zxyoa14先讨论平面薄片的转动惯量。先讨论平面薄片的转动惯量。设设在在xoy平平面面有有n个个质质点点分分别别位位于于(x1,y1)、(x2,y2)、(xn,yn)处处，质质量量分分别别为为m1、m2、mn,由力学知道由力学知道:Ix、Iy是该质点系对于坐标轴是该质点系对于坐标轴x轴以及轴以及y轴轴的转的转动动惯量惯量。2 转动惯量转动惯量 15 设设有有一一平平面面薄薄片片占占有有平平面面闭闭区区域域D,在在点点(x,y)处处 具具 有有 连连 续续 面面 密密 度度=(x,y)，下下面面利利用用元元素素法法求求该该平平面面薄薄片片对对两两坐坐标轴的转动惯量。标轴的转动惯量。DxOyyx 先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分个部分d，它的质量元素为，它的质量元素为 这个部分这个部分d 对于对于x轴以及对于轴以及对于y轴轴的转动惯量的转动惯量元素为元素为 16DxOyyx 以这些元素为被积表达以这些元素为被积表达式，在闭区域式，在闭区域D上积分，上积分，可得可得1718例例8 求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片的均匀半圆薄片(面密度为常量面密度为常量)对于其直径边的转动惯量。对于其直径边的转动惯量。解解 取取坐坐标标系系如如图图所所示示，则则薄薄片片所所占占闭闭区区域域D可可表表示示为为x2+y2 a2，y 0；yxa-ao 而所求转动惯量即半圆薄片而所求转动惯量即半圆薄片对于对于x轴的转动惯量轴的转动惯量Ix。19xyzoa203 引力引力 设有一平面薄片，占设有一平面薄片，占有有xoy平面上的闭区域平面上的闭区域D，在点，在点(x,y)处的面密度处的面密度为为(x,y)，假定，假定(x,y)在在D上连续。上连续。现在要计算该薄片对现在要计算该薄片对位于位于z轴上点轴上点M0(0,0,a)(a0)处的单位质量的质处的单位质量的质点的引力。点的引力。P(x,y,0)xyozxyM(0,0,a)21xyozxy(0,0,a)P(x,y,0)2223例例10 求半径为求半径为R的匀质球：的匀质球：x2+y2+z2 R2对于位对于位于点于点M0(0,0,a)(a R)处的单位质量的质点的引力。处的单位质量的质点的引力。zxyoa24zxyoa25由对称性易知由对称性易知Fx=Fy=0zxyoa26分部积分分部积分+变量替换变量替换