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课时训练(二十九) 菱形
(限时:40分钟)
|夯实基础|
1.[2019·大庆]下列说法中不正确的是 ( )
A.四边相等的四边形是菱形
B.对角线垂直的平行四边形是菱形
C.菱形的对角线互相垂直且相等
D.菱形的邻边相等
2.如图K29-1,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1= ( )
图K29-1
A.30° B.25° C.20° D.15°
3.[2019·赤峰]如图K29-2,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是 ( )
图K29-2
A.2.5 B.3 C.4 D.5
4.[2019·泸州]一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的两条对角线的长度之和为 ( )
A.8
B.12
C.16
D.32
5.[2019·苏州]如图K29-3,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为 ( )
图K29-3
A.6 B.8
C.10 D.12
6.如图K29-4,在菱形ABCO中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,3),则点C的坐标为 .
图K29-4
7.如图K29-5所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=8,AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为 .
图K29-5
8.如图K29-6,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的中点,则MP+PN的最小值是 .
图K29-6
9.[2019·兰州]如图K29-7,AC=8,分别以A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D.依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)求BD的长.
图K29-7
|能力提升|
10.如图K29-8,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=23,DE=2,则四边形OCED的面积为 ( )
图K29-8
A.23 B.4 C.43 D.8
11.如图K29-9,P是正方形对角线上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥DC于点F.若PE=2,PF=4,则AP= .
图K29-9
12.[2019·滨州]如图K29-10,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G,连接CG.
(1)求证:四边形CEFG是菱形;
(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.
图K29-10
|思维拓展|
13.[2019·深圳]已知菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,E,F分别为AB,AD上的点,且BE=AF,则下列结论正确的有 ( )
①△BEC≌△AFC;②△ECF为等边三角形;
③∠AGE=∠AFC;④若AF=1,则GFEG=13.
图K29-11
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
14.[2019·南京]如图K29-12①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.求作菱形DEFG,使点D在边AC上,点E,F在边AB上,点G在边BC上.
小明的作法
1.如图K29-12②,在边AC上取一点D,过点D作DG∥AB交BC于点G.
2.以点D为圆心,DG长为半径画弧,交AB于点E.
3.在EB上截取EF=ED,连接FG,则四边形DEFG为所求作的菱形.
(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形.
(2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化,…,请你继续探索,直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.
①
②
图K29-12
【参考答案】
1.C [解析]菱形的对角线互相垂直且互相平分,不一定相等,故选C.
2.D [解析]∵四边形ABCD是菱形,∴DC∥AB,∴∠DAB=180°-∠D=180°-150°=30°,
∴∠1=12∠BAD=12×30°=15°.
3.A [解析]∵四边形ABCD为菱形,
∴CD=BC=204=5,且O为BD的中点,
∵E为CD的中点,
∴OE为△BCD的中位线,
∴OE=12CB=2.5,
故选A.
4.C [解析]如图所示,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO=12AC,DO=BO=12BD,AC⊥BD,
∵菱形的面积为28,
∴12AC·BD=2OD·AO=28.①
∵菱形的边长为6,
∴OD2+OA2=36,②
由①②两式可得:(OD+AO)2=OD2+OA2+2OD·AO=36+28=64.
∴OD+AO=8,
∴2(OD+AO)=16,即该菱形的两条对角线的长度之和为16.
故选C.
5.C [解析]∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC=12AC=2,OB=OD=12BD=8,∵△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O',点A'与点C重合,∴O'C=OA=2,O'B'=OB=8,∠CO'B'=90°,
∴AO'=AC+O'C=6,∴AB'=O'B'2+AO'2=82+62=10,故选C.
6.(2,-3) [解析]关于x轴对称的两个点的坐标特征:横坐标相同,纵坐标互为相反数,点A与点C关于x轴对称,点A的坐标为(2,3),故点C的坐标为(2,-3).
7.245 [解析]∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD,AO=12AC=3,BO=12BD=4.
在Rt△ABO中,由勾股定理得AB=5,
∴BC=5.
∵S菱形ABCD=12AC·BD=12BC·AE,∴AE=245.
8.1 [解析]如图,取AD的中点M',连接M'N交AC于点P,
则由菱形的对称性可知M,M'关于直线AC对称,
从而PM'=PM,此时MP+PN的值最小,而易知四边形CDM'N是平行四边形,
故M'N=CD=1,于是,MP+PN的最小值是1.
9.解:(1)四边形ABCD是菱形,
理由:由作法得,AB=BC=CD=DA=5,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,
∴OA=12AC=4,BD=2BO.
∵AB=5,
∴在Rt△AOB中,BO=52-42=3,
∴BD=6.
10.A
11.25
12.解:(1)证明:由题意可得,△BCE≌△BFE,
∴∠BEC=∠BEF,FE=CE.
∵FG∥CE,
∴∠FGE=∠CEB,
∴∠FGE=∠FEG,
∴FG=FE,∴FG=EC,
∴四边形CEFG是平行四边形.
又∵CE=FE,
∴四边形CEFG是菱形.
(2)∵矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF,∴∠BAF=90°,AD=BC=BF=10,
∴AF=8,∴DF=2.
设EF=x,则CE=x,DE=6-x,
∵∠FDE=90°,
∴22+(6-x)2=x2,
解得x=103,∴CE=103,
∴四边形CEFG的面积是:CE·DF=103×2=203.
13.D [解析]∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,
∴∠B=∠BAC=60°,
∴AC=BC,
又∵BE=AF,
∴△BEC≌△AFC,故①正确;
∵△BEC≌△AFC,
∴FC=EC,∠FCA=∠ECB,
∴∠ECF=∠ACB=60°,
∴△ECF为等边三角形,故②正确;
∵∠AGE=∠FAC+∠AFG=60°+∠AFG,∠AFC=∠EFC+∠AFG=60°+∠AFG,
∴∠AGE=∠AFC,故③正确;
∵BE=AF=1,
∴AE=3,易得△CFG∽△CBE,
∴GFBE=CFBC,易得△CEG∽△CAE,
∴EGAE=CEAC,
∵CE=CF,AC=BC,
∴GFBE=EGAE,
∴GFEG=BEAE=13,故④正确.故选D.
14.[分析](1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.
(2)求出几种特殊位置的CD的值判断即可.
解:(1)证明:∵DE=DG,EF=DE,
∴DG=EF,
又∵DG∥EF,
∴四边形DEFG是平行四边形.
又∵DG=DE,
∴四边形DEFG是菱形.
(2)当0≤CD<3637或43<CD≤3时,菱形的个数为0;
当CD=3637或98<CD≤43时,菱形的个数为1;
当3637<CD≤98时,菱形的个数为2.
[解析]以点D为圆心,DG长为半径作☉D.
以☉D与线段AB的位置关系、交点个数为依据进行分类.
如图①中,当四边形DEFG是正方形时,设正方形的边长为x.
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=32+42=5,
易得CD=35x,AD=54x.
∵AD+CD=AC,∴35x+54x=3,
∴x=6037,∴CD=35x=3637.
如图②中,当四边形DAEG是菱形时,设菱形的边长为m.
∵DG∥AB,
∴CDCA=DGAB,
∴3-m3=m5,解得m=158,
∴CD=3-158=98.
如图③中,当四边形DEBG是菱形时,设菱形的边长为n.
∵DG∥AB,∴CGCB=DGAB,
∴4-n4=n5,∴n=209,
∴CG=4-209=169,
∴CD=(209) 2-(169) 2=43.
综上,观察图形可知:当0≤CD<3637或43<CD≤3时,菱形的个数为0;当CD=3637或98<CD≤43时,菱形的个数为1;当3637<CD≤98时,菱形的个数为2.
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