鄂尔多斯专版2020中考数学复习方案提分专练05四边形的有关计算与证明试题.docx

提分专练(五)　四边形的有关计算与证明

1.[2019·新疆生产建设兵团] 如图T5-1,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD中点,连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F,连接DF.
求证:(1)△ODE≌△FCE;
(2)四边形OCFD是矩形.

图T5-1

2.已知:如图T5-2,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.
(1)若CE=1,求BC的长;
(2)求证:AM=DF+ME.

图T5-2

3.[2019·海南] 如图T5-3,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.
(1)求证:△PDE≌△QCE.
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.

图T5-3

4.[2019·青岛] 如图T5-4,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.

图T5-4

5.如图T5-5,在边长为1的正方形ABCD中,点E是射线BC上一动点,AE与BD相交于点M,AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F,G是EF的中点,连接CG.
(1)如图①,当点E在BC边上时,
求证:①△ABM≌△CBM;②CG⊥CM.
(2)如图②,当点E在BC的延长线上时,(1)中的结论②是否成立?请写出结论,不用证明.
(3)试问当点E运动到什么位置时,△MCE是等腰三角形?请说明理由.

图T5-5

6.如图T5-6,已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图①,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图②,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B,C重合),求证:BE=CF;
(3)如图③,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.

图T5-6

【参考答案】
1.证明:(1)∵CF∥BD,
∴∠ODC=∠DCF.
∵E是CD中点,
∴ED=EC.
∵∠DEO=∠CEF,
∴△ODE≌△FCE.
(2)∵△ODE≌△FCE,
∴OE=EF.
又∵DE=EC,
∴四边形OCFD是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC.∴∠DOC=90°.
∴四边形OCFD是矩形.
2.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,BC=CD.∴∠1=∠ACD.
又∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2.
∴MC=MD.又∵ME⊥CD,
∴CE=ED=12CD.∴BC=CD=2CE=2.
(2)证明:如图,延长DF,AB交于点N.

∵四边形ABCD是菱形,
∴∠FCM=∠ECM.
又∵F为边BC的中点,
∴CF=BF.
由(1)可知CE=ED=12CD,
∴△CMF≌△CME.∴MF=ME.
∵AB∥CD,
∴∠2=∠N,∠NBF=∠DCF.
又∵BF=CF,∴△CDF≌△BNF.∴NF=DF.
又∵∠1=∠2,∴∠N=∠1.
∴AM=MN=NF+MF=DF+ME.
3.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=∠BCD=90°,
∴∠ECQ=90°=∠D.
∵E是CD的中点,∴DE=CE,
又∵∠DEP=∠CEQ,∴△PDE≌△QCE.
(2)①证明:如图,由(1)得△PDE≌△QCE,

∴PE=QE=12PQ,
又∵EF∥BC,∴PF=FB=12PB,
∵PB=PQ,∴PF=PE,∴∠1=∠2,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,
在Rt△ABP中,F是PB的中点,
∴AF=12BP=FP,∴∠3=∠4,
∵AD∥BC,EF∥BC,∴AD∥EF,
∴∠1=∠4,∴∠2=∠3,
又∵PF=FP,∴△APF≌△EFP,∴AP=EF,
又∵AP∥EF,∴四边形AFEP是平行四边形.
②四边形AFEP不是菱形,理由如下:设PD=x,则AP=1-x,
由(1)知△PDE≌△QCE,
∴CQ=PD=x,∴BQ=BC+CQ=1+x,
∵点E,F分别是PQ,PB的中点,
∴EF是△PBQ的中位线,
∴EF=12BQ=1+x2.
由①可知AP=EF,即1-x=1+x2,解得x=13,
∴PD=13,AP=23.
在Rt△PDE中,DE=12,
∴PE=PD2+DE2=136,
∴AP≠PE,
∴四边形AFEP不是菱形.
4.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC,
∴∠ABE=∠CDF.
∵点E,F分别为OB,OD的中点,
∴BE=12OB,DF=12OD,
∴BE=DF,
在△ABE和△CDF中,AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:
∵AC=2OA,AC=2AB,
∴AB=OA.
∵E是OB的中点,
∴AG⊥OB,
∴∠OEG=90°,
同理:CF⊥OD,
∴AG∥CF,
∴EG∥CF,
∵EG=AE,OA=OC,
∴OE是△ACG的中位线,
∴OE∥CG,
∴EF∥CG,
∴四边形EGCF是平行四边形,
∵∠OEG=90°,
∴四边形EGCF是矩形.
5.解:(1)证明:①∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABM=∠CBM.
在△ABM和△CBM中,AB=CB,∠ABM=∠CBM,BM=BM,
∴△ABM≌△CBM(SAS).
②∵△ABM≌△CBM,∴∠BAM=∠BCM.
又∵∠ECF=90°,G是EF的中点,∴GC=12EF=GF.
∴∠GCF=∠GFC.
又∵AB∥DF,
∴∠BAM=∠GFC.
∴∠BCM=∠GCF.
∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°.
∴GC⊥CM.
(2)成立.
[解析]∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABM=∠CBM,
在△ABM和△CBM中,AB=CB,∠ABM=∠CBM,BM=BM,
∴△ABM≌△CBM(SAS).
∴∠BAM=∠BCM.
又∵∠ECF=90°,G是EF的中点,∴GC=GF.
∴∠GCF=∠GFC.
又∵AB∥DF,∴∠BAM=∠GFC.
∴∠BCM=∠GCF.
∴∠GCF+∠MCF=∠BCM+∠MCF=90°.
∴GC⊥CM.
(3)分两种情况:①当点E在BC边上时,
∵∠MEC>90°,要使△MCE是等腰三角形,必须EM=EC,
∴∠EMC=∠ECM.∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE.
∴2∠BAE+∠BAE=90°,∴∠BAE=30°.
∴BE=33AB=33.
②当点E在BC的延长线上时,同①知BE=3.
综上①②,当BE=33戓3时,△MCE是等腰三角形.
6.解:(1)结论:AE=EF=AF.
提示:如图①,连接AC,

∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°.
∴△ABC,△ADC是等边三角形.
∴∠BAC=∠DAC=60°.
∵BE=EC,∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC.
∵∠EAF=60°,∴∠CAF=∠DAF=30°.∴AF⊥CD.
∴AE=AF(菱形的高相等).
∴△AEF是等边三角形.
∴AE=EF=AF.
(2)证明:如图②,连接AC.

∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
在△BAE和△CAF中,
∠BAE=∠CAF,BA=AC,∠B=∠ACF,
∴△BAE≌△CAF.∴BE=CF.
(3)如图③,过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H.

∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,
∴∠AEB=45°.
在Rt△AGB中,
∵∠ABC=60°,AB=4,
∴BG=2,AG=23.
在Rt△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴AG=GE=23.∴EB=EG-BG=23-2.
易证△AEB≌△AFC,∴AE=AF,CF=EB=23-2,∠AEB=∠AFC=45°.
∵∠EAF=60°,AE=AF,∴△AEF是等边三角形.
∴∠AEF=∠AFE=60°.
∵∠AEB=45°,∠AEF=60°,
∴∠CEF=∠AEF-∠AEB=15°.
在Rt△EFH中,∠CEF=15°,∴∠EFH=75°.
∵∠AFE=60°,∴∠AFH=∠EFH-∠AFE=15°.
∵∠AFC=45°,∴∠CFH=∠AFC-∠AFH=30°.
在Rt△CHF中,∵∠CFH=30°,CF=23-2,
∴FH=CF·cos30°=(23-2)×32=3-3.
∴点F到BC的距离为3-3.

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