福建专版2020中考数学复习方案提分专练03一次函数反比例函数综合问题.docx

提分专练(三)　一次函数、反比例函数综合问题

|类型1|　一次函数、反比例函数与线段、三角形
1.[2016·泉州]如图T3-1,已知点A(-8,0),B(2,0),点C在直线y=-34x+4上,则使△ABC是直角三角形的点C的个数为 (　　)

图T3-1
A.1 B.2
C.3 D.4
2.[2019·福建名校联合模拟]如图T3-2,线段AB是两个端点在y=2x(x>0)图象上的一条动线段,且AB=1.若A,B的横坐标分别为a,b,则[1-(b-a)2](a2b2+4)的值是 (　　)

图T3-2
A.1 B.2
C.3 D.4
3.[2019·厦门质检]在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=kx(k>0,x>0)交于点A.过点A作AC⊥x轴于点C,过双曲线上另一点B作BD⊥x轴于点D,作BE⊥AC于点E,连接AB.若OD=3OC,则tan∠ABE=　　　　. 
4.[2019·莆田仙游东屏中学二模]如图T3-3是反比例函数y=9x(x>0)的图象,点C的坐标为(0,2).若点A是函数y=9x图象上一点,点B是x轴正半轴上一点,当△ABC是等腰直角三角形时,点B的坐标为　　　　. 

图T3-3
5.[2019·南平适应性检测]如图T3-4,已知反比例函数y=mx的图象经过第一象限内的一点A(n,4),过点A作AB⊥x轴于点B,且△AOB的面积为2.
(1)求m和n的值;
(2)若一次函数y=kx+2的图象经过点A,并且与x轴相交于点C,求线段AC的长.

图T3-4

6.[2019·泉州质检]在平面直角坐标系中,已知反比例函数y=kx(x>0,k>0),图象上的两点(n,3n),(n+1,2n).
(1)求n的值;
(2)如图T3-5,直线l为正比例函数y=x的图象,点A在反比例函数y=kx(x>0,k>0)的图象上,过点A作AB⊥l于点B,过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥BC于点D.记△BOC的面积为S1,△ABD的面积为S2,求S1-S2的值.

图T3-5

|类型2|　一次函数、反比例函数与四边形
7.[2018·泉州质检]如图T3-6,反比例函数y=kx的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E,若点D的坐标为(-1,0),则k的值为 (　　)

图T3-6
A.2 B.-2 C.12 D.-12
8.[2019·眉山]如图T3-7,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别交AB,BC于点D,E.若四边形ODBE的面积为12,则k的值为　　　　. 

图T3-7
9.[2019·广州]如图T3-8,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1,2),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=n-3x的图象相交于A,P两点.

图T3-8
(1)求m,n的值与点A的坐标;
(2)求证:△CPD∽△AEO;
(3)求sin∠CDB的值.

10.[2016·莆田]如图T3-9,反比例函数y=kx(x>0)的图象与直线y=x交于点M,∠AMB=90°,其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A,B,四边形OAMB的面积为6.
(1)求k的值.
(2)点P在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,若点P的横坐标为3,∠EPF=90°,其两边分别与x轴的正半轴,直线y=x交于点E,F,问是否存在点E,使得PE=PF?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

图T3-9

【参考答案】
1.C　[解析]如图,

①当∠A为直角时,过点A作垂直于x轴的直线与直线y=-34x+4的交点为W(-8,10);
②当∠B为直角时,过点B作垂直于x轴的直线与直线y=-34x+4的交点为S(2,2.5);
③若∠C为直角,则点C在以线段AB为直径的圆与直线y=-34x+4的交点处.
设E为AB的中点,过点E作垂直于x轴的直线与直线y=-34x+4的交点为F-3,254,则EF=254,
∵直线y=-34x+4与x轴的交点M为163,0,
∴EM=253,MF=(253) 2+(254) 2=12512.
∵E到直线y=-34x+4的距离d=253×25412512=5,以AB为直径的圆的半径为5,
∴圆与直线y=-34x+4恰好有一个交点.
∴直线y=-34x+4上有一点C满足∠ACB=90°.
综上所述,使△ABC是直角三角形的点C的个数为3.故选C.
2.D　[解析]∵Aa,2a,Bb,2b,∴(a-b)2+2a-2b2=1,
整理得:a2b2(a-b)2+4(a-b)2-a2b2=0,∴[1-(b-a)2](a2b2+4)=4.故选D.
3.13　[解析]∵直线y=x过点A,
∴可设A(a,a),
∵AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,OD=3OC,
∴B点横坐标为3a.
∵双曲线y=kx(k>0,x>0)过点A,点B,
∴B点纵坐标为a·a3a=13a,
∴B3a,13a.
在Rt△ABE中,∵∠AEB=90°,BE=3a-a=2a,AE=a-13a=23a,
∴tan∠ABE=AEBE=23a2a=13.
故答案为:13.

4.(4,0)或52,0或(-1+10,0)　[解析](1)当∠CAB=90°时,如图①,作AE⊥x轴于E点,作AD⊥y轴于D点,则∠DAE=90°.

∵∠DAE=∠CAB=90°,∴∠DAC=∠EAB,
在△ADC和△AEB中:
∵∠ADC=∠AEB=90°,∠DAC=∠EAB,AC=AB,
∴△ADC≌△AEB,
∴AD=AE,BE=CD,
则A的横坐标与纵坐标相等,设A的坐标是(a,a),代入函数解析式得:a=9a,解得:a=3或-3(舍去).
则A的坐标是(3,3).
∴OD=3,CD=OD-OC=3-2=1,
∴BE=CD=1,OB=OE+BE=3+1=4,
则B的坐标是(4,0);
(2)当∠ACB=90°时,如图②,作AD⊥y轴于D.

∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCO=90°,
又∵∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠BCO.
在△ACD和△CBO中,
∵∠CAD=∠BCO,∠ADC=∠BOC,AC=CB,
∴△ACD≌△CBO,
∴AD=OC=2,
则点A的横坐标是2,把x=2代入y=9x得:y=92,
∴OD=92,CD=OD-OC=92-2=52,
∴OB=CD=52,则B的坐标是52,0;
(3)当∠ABC=90°时,如图③,作AD⊥x轴,

同(2)可以证得:△OBC≌△DAB,
∴BD=OC=2,OB=AD,
设OB=AD=x,
则OD=x+2,
则A的坐标是(x+2,x),代入y=9x,得:x=9x+2,解得:x=-1+10或-1-10(舍去),
则B的坐标是(-1+10,0).
故B的坐标是(4,0)或52,0或(-1+10,0).
5.解:(1)由点A(n,4),AB⊥x轴于点B,且点A在第一象限内,得AB=4,OB=n,
所以S△AOB=12AB·OB=12×4n=2n,
由S△AOB=2,得n=1,
所以A(1,4),
把A(1,4)的坐标代入y=mx中,得m=4;
(2)由直线y=kx+2过点A(1,4),得k=2,
所以一次函数的解析式为y=2x+2.
令y=0,得x=-1.
所以点C的坐标为(-1,0),
由(1)可知OB=1,所以BC=2,
在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=42+22=25.
6.解:(1)∵反比例函数y=kx(x>0,k>0)图象上的两点(n,3n),(n+1,2n),
∴n·3n=(n+1)·2n,解得n=2或n=0(舍去),
∴n的值为2;
(2)易求反比例函数解析式为y=12x,
设B(m,m),
∵OC=BC=m,
∴△OBC为等腰直角三角形.
∴∠OBC=45°,
∵AB⊥OB,
∴∠ABO=90°,
∴∠ABC=45°,
∴△ABD为等腰直角三角形,
设BD=AD=t,则A(m+t,m-t).
∵A(m+t,m-t)在反比例函数y=12x的图象上,
∴(m+t)(m-t)=12,
即m2-t2=12,
∴S1-S2=12m2-12t2=12×12=6.
7.B
8.4　[解析]由题意得:E,M,D位于反比例函数图象上,则S△OCE=12|k|,S△OAD=12|k|,
过点M作MG⊥y轴于点G,作MN⊥x轴于点N,则S矩形ONMG=|k|,
又∵M为矩形OABC对角线的交点,∴S矩形OABC=4S矩形ONMG=4|k|,
∵函数图象在第一象限,∴k>0,则k2+k2+12=4k,
∴k=4.
9.解:(1)将点P(-1,2)的坐标代入y=mx,
得:2=-m,
解得m=-2,
∴正比例函数解析式为y=-2x;
将点P(-1,2)的坐标代入y=n-3x,
得:2=-(n-3),解得:n=1,
∴反比例函数解析式为y=-2x.
解方程组y=-2x,y=-2x,
得x1=-1,y1=2,x2=1,y2=-2,
∴点A的坐标为(1,-2).
(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AB∥CD,
∴∠CPD=90°,∠DCP=∠BAP,
即∠DCP=∠OAE.
∵AB⊥x轴,
∴∠AEO=∠CPD=90°,
∴△CPD∽△AEO.
(3)∵点A的坐标为(1,-2),
∴AE=2,OE=1,
AO=AE2+OE2=5.
∵△CPD∽△AEO,
∴∠CDP=∠AOE,
∴sin∠CDB=sin∠AOE=AEAO=25=255.
10.解:(1)如图①,过点M作MC⊥x轴于点C,MD⊥y轴于点D,

则∠MCA=∠MDB=90°,∠AMC=∠BMD,MC=MD,
∴△AMC≌△BMD,
∴S四边形OCMD=S四边形OAMB=6,
∴k=6.
(2)存在点E,使得PE=PF.
由题意,得点P的坐标为(3,2).
①如图②,过点P作PG⊥x轴于点G,过点F作FH⊥PG于点H,交y轴于点K.

∵∠PGE=∠FHP=90°,∠EPG=∠PFH,PE=PF,
∴△PGE≌△FHP,
∴FH=PG=2.则FK=OK=3-2=1,GE=HP=2-1=1,
∴OE=OG+GE=3+1=4,
∴E(4,0);
②如图③,过点P作PG0⊥x轴于点G0,过点F作FH0⊥PG0于点H0,交y轴于点K0.

∵∠PG0E=∠FH0P=90°,∠EPG0=∠PFH0,PE=PF,
∴△PG0E≌△FH0P,
∴FH0=PG0=2.则FK0=OK0=3+2=5,G0E=H0P=5-2=3,
∴OE=OG0+G0E=3+3=6,
∴E(6,0).
综上所述,存在点E(4,0)或(6,0),使得PE=PF.

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