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课时训练(二十) 等腰三角形
(限时:40分钟)
|夯实基础|
1.如图K20-1,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为 ( )
图K20-1
A.5 B.6 C.8 D.10
2.[2017·荆州]如图K20-2,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为 ( )
图K20-2
A.30° B.45°
C.50° D.75°
3.已知实数x,y满足|x-3|+y-6=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ( )
A.12或15 B.12
C.15 D.以上答案均不对
4.已知等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形的顶角为 ( )
A.50° B.80°
C.50°或80° D.40°或65°
5.[2019·长沙雨花区校级三模]如图K20-3,△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,点E在AD上,那么下列结论不一定正确的是 ( )
图K20-3
A.AD⊥BC B.∠EBC=∠ECB
C.∠ABE=∠ACE D.AE=BE
6.如图K20-4,在边长为3的等边三角形ABC中,过点C作垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P,则点P到边AB所在直线的距离为( )
图K20-4
A.33 B.32 C.3 D.1
7.[2019春·抚州期末]如图K20-5,在Rt△ABC中,∠B=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠BAE=16°,则∠C的度数为 度.
图K20-5
8.[2018·绍兴]数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
|能力提升|
9.[2019春·龙岩新罗区期末]若等腰三角形ABC的周长是50 cm,一腰长为x cm,底边长为y cm,则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是 ( )
A.y=50-2x(0<x<50)
B.y=12(50-2x)(0<x<50)
C.y=50-2x252<x<25
D.y=12(50-2x)252<x<25
10.[2019·泉州永春县校级自主招生]已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2-6x+5=0的两根,则此三角形的周长是 ( )
A.11 B.7
C.8 D.11或7
11.[2019·厦门思明区校级模拟]如图K20-6,已知点A(-2,0)和点B(1,1),在坐标轴上确定点C,使得△ABC是等腰三角形,则满足条件的点C共有 ( )
图K20-6
A.6个 B.7个
C.8个 D.9个
12.[2019·龙岩一模]三个等边三角形的摆放位置如图K20-7所示,若∠3=60°,则∠1+∠2的度数为 ( )
图K20-7
A.90° B.120°
C.270° D.360°
13.[2018·青海]如图K20-8,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△DEC,连接AD,若∠BAC=25°,则∠BAD= .
图K20-8
|思维拓展|
14.[2017秋·盘锦双台子区期末]如图K20-9,在第1个△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得A1A2=A1C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A3=A2D;…,按此做法进行下去,第n个三角形中以An为顶点的内角的度数为 .
图K20-9
15.[2018·厦门质检]在△ABC中,AB=AC.将△ABC沿∠B的平分线折叠,使点A落在BC边上的点D处,设折痕交AC边于点E,继续沿直线DE折叠,若折叠后,BE与线段DC相交,且交点不与点C重合,则∠BAC的度数应满足的条件是 .
16.[2017秋·莆田期末](1)操作实践:如图K20-10,△ABC中,∠A=90°,∠B=22.5°,请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形,并标出分割成两个等腰三角形底角的度数;(要求用两种不同的分割方法)
(2)分类探究:△ABC中,最小内角∠B=24°,若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形,请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值;
(3)猜想发现:若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形,需满足什么条件?(请你至少写出两个条件,无需证明)
图K20-10
【参考答案】
1.C
2.B [解析]根据三角形的内角和定理,求出∠ABC,再根据线段垂直平分线的性质,推得∠ABD=∠A=30°,从而得出∠CBD=45°.
3.C 4.C 5.D 6.D
7.37 [解析]∵ED是AC的垂直平分线,
∴EA=EC,∴∠1=∠C,
又∵∠BAE=16°,∠B=90°,
∠1+∠C+∠BAE+∠B=180°,
∴2∠C+16°+90°=180°,
解得∠C=37°.
8.解:(1)当∠A为顶角时,∠B=50°,
当∠A为底角时,若∠B为顶角,则∠B=20°,
若∠B为底角,则∠B=80°,
∴∠B=50°或20°或80°.
(2)分两种情况:
①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,
∴∠B的度数只有一个.
②当0<x<90时,
若∠A为顶角,则∠B=180-x2°,
若∠A为底角,则∠B=x°或∠B=(180-2x)°,
当180-x2≠180-2x且180-x2≠x且180-2x≠x,
即x≠60时,∠B有三个不同的度数.
综上①②,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.
9.C [解析]依题意y=50-2x.
根据三角形的三边关系得,
x+x>y=50-2x,得x>252,
x-x<y=50-2x,得x<25,
∴252<x<25.
故y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是:y=50-2x252<x<25.
故选:C.
10.A [解析]解方程x2-6x+5=0,得x1=5,x2=1;
∵当底为5,腰为1时,由于5-1>1,不符合三角形三边关系,不能构成三角形,
∴等腰三角形的底为1,腰为5,
∴三角形的周长为1+5+5=11.
故选:A.
11.D [解析]如图所示:
以A为圆心,AB长为半径作圆,C点有4个;
以B为圆心,AB长为半径作圆,C点有3个;
作线段AB的垂直平分线交坐标轴于点C,C点有2个.
故C点有9个.
12.B [解析]∵图中是三个等边三角形,∠3=60°,
∴∠ABC=180°-60°-60°=60°,∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2,
∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1,
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴60°+(120°-∠2)+(120°-∠1)=180°,
∴∠1+∠2=120°.
故选:B.
13.70° [解析]∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC,
∴AC=CD,
∴△ACD是等腰直角三角形,∴∠CAD=45°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°.
14.12n-1·80° [解析]∵在△ABA1中,∠B=20°,AB=A1B,
∴∠BA1A=180°-∠B2=180°-20°2=80°.
∵A1A2=A1C,∠BA1A是△A1A2C的外角,
∴∠CA2A1=∠BA1A2=80°2=40°.
同理可得,∠DA3A2=20°,∠EA4A3=10°,
∴∠An=12n-1·80°.
故答案为12n-1·80°.
15.100°<∠BAC<180°
16.解:(1)如图所示:
(2)设分割线为AD,相应的角度如图所示:
图①的最大角=39°+78°=117°,
图②的最大角=24°+180°-2×48°=108°,
图③的最大角=24°+66°=90°,
图④的最大角=84°,
故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°.
(3)若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形,应满足下列条件之一:
①该三角形是直角三角形;
②该三角形有一个角是另一个角的2倍;
③该三角形有一个角是另一个角的3倍.
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