呼和浩特专版2020中考数学复习方案提分专练02与二次函数相关的长度面积问题试题.docx

提分专练(二)　与二次函数相关的长度、面积问题

|类型1|　二次函数与线段、周长的有关问题
1.已知:抛物线y=ax2+4ax+m(a>0)与x轴的一个交点为A(-1,0).
(1)求抛物线的对称轴.

(2)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标.

(3)点D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的一个点,且CD∥x轴,若四边形ABCD的面积为9,求D点坐标.

图T2-1①

(4)求此抛物线的解析式.

(5)点E是第二象限内到x轴,y轴的距离比为5∶2的点,如果点E在(4)中的抛物线上,且点E与点A在此抛物线对称轴的同侧,求E点的坐标.

图T2-1②

(6)在此抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

图T2-1③

(7)若点H是抛物线上位于AD下方的一点,过点H作y轴的平行线,交AD于点K,设点H的横坐标为h,线段HK=d.
①求d关于h的函数关系式;
②求d的最大值及此时H点的坐标.

图T2-1④

|类型2|　二次函数与面积的有关问题
2.如图T2-2①,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.
(1)求抛物线的解析式.

图T2-2①

(2)若在抛物线上存在点M,使得△MAB的面积与△ABC的面积相等,求点M的坐标.

(3)设抛物线的顶点为D,求D点的坐标.

(4)在(3)的条件下,连接CD,BD,求四边形ACDB和△CBD的面积.

图T2-2②

(5)在直线BC上方的抛物线上求一点N,使△NBC的面积为1.

图T2-2③

(6)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC的面积最大.

【参考答案】
1.解:(1)抛物线y=ax2+4ax+m的对称轴为直线x=-2.
(2)因为该抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),且对称轴为直线x=-2,
所以抛物线与x轴的另一个交点为B(-3,0).
(3)由题意可知点D的坐标为(0,m),
根据抛物线的对称性,可知点C的坐标为(-4,m),
S四边形ABCD=12(AB+CD)·OD=12×(2+4)m=9,
解得m=3,
所以点D坐标为(0,3).
(4)因为A(-1,0),B(-3,0),所以设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x+1),
因为点D(0,3)在抛物线上,
所以3=3a,解得a=1,
所以抛物线的解析式为y=x2+4x+3.
(5)由点E是第二象限内到x轴,y轴的距离比为5∶2的点,可设点E的坐标为(-2n,5n),
因为点E在抛物线y=x2+4x+3上,
所以5n=4n2-8n+3,解得n=14或n=3.
当n=14时,点E-12,54;
当n=3时,点E(-6,15)(不符合题意,舍去).
故点E的坐标为-12,54.
(6)存在.点A关于对称轴直线x=-2对称的点为点B,△PAE的周长=PE+AP+AE=PE+PB+AE,AE的长为定值,要使△PAE的周长最小,即使PB+PE最小,根据两点之间线段最短,可知连接BE,BE与对称轴的交点即为点P(如图),

设过点B(-3,0)和点E-12,54的直线为y=kx+b,
则54=-12k+b,0=-3k+b,解得k=12,b=32.
所以直线BE的解析式为y=12x+32,
当x=-2时,y=12,所以点P的坐标为-2,12.
(7)①设过点A(-1,0),D(0,3)的直线的解析式为y=k1x+b1,则-k1+b1=0,b1=3,
解得k1=3,b1=3,∴直线AD的解析式为y=3x+3,
当x=h(-1≤h≤0)时,
d=(3h+3)-(h2+4h+3)=-h2-h.
②d=-h2-h=-h2+h+14+14=-h+122+14.
当h=-12时,d有最大值14.
当h=-12时,y=h2+4h+3=54,
所以H-12,54.
2.解:(1)把A(-1,0),B(3,0),C(0,1)分别代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=0,9a+3b+c=0,c=1,解得a=-13,b=23,c=1,
∴抛物线的解析式为y=-13x2+23x+1.
(2)当y=1时,-13x2+23x+1=1,
解得x1=0(舍去),x2=2;
当y=-1时,-13x2+23x+1=-1,
解得x3=1+7,x4=1-7.
∴符合条件的M点坐标是(2,1),(1+7,-1),(1-7,-1).
(3)y=-13x2+23x+1=-13(x-1)2+43,
∴D点坐标为1,43.
(4)设抛物线对称轴与x轴的交点为E.OA=1,OB=3,OC=1,DE=43,OE=1,
S四边形ACDB=S△AOC+S四边形COED+S△BDE=12×1×1+12×1+43×1+12×2×43=12+76+43=3+7+86=3.
S△CBD=S四边形ACDB-S△ABC=3-12×4×1=1.
(5)∵B(3,0),C(0,1),
∴直线BC的解析式为y=-13x+1,
作NF⊥x轴于点F,交直线BC于H,

设Nx,-13x2+23x+1,
易得Hx,-13x+1.
∴NH=-13x2+23x+1--13x+1=-13x2+x.
∴S△NBC=S△NHC+S△NHB=12NH(xB-xC)=12-13x2+x(3-0)=-12x2+32x.
∵S△NBC=1,∴-12x2+32x=1,∴x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.
∴N11,43,N2(2,1).
(6)由题意可知P点横坐标x满足0<x<3.由(5)同理可得S△PBC=-12x2+32x=-12x-322+98,
当x=32时,S△PBC最大,
此时y=-13x2+23x+1=-13×94+23×32+1=54.
∴点P的坐标为32,54.

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