高等数学的总结.pptx

性质（闭区间上连续函数）性质（闭区间上连续函数）函数函数 极限（数列极限、函数极限）极限（数列极限、函数极限）连续（或间断）连续（或间断）内容内容一、函数一、函数：:函数的分类函数的分类函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等有无穷多项等函数函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函分式函数数)邻域邻域:绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:函数的特性：M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:数列的有界性数列的有界性：补充内容补充内容：1.单调递增且有上界数列必有极限。单调递增且有上界数列必有极限。2.单调递减且有下界数列必有极限单调递减且有下界数列必有极限。2函数的单调性函数的单调性:xyoxyo3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.典型例题典型例题例例解解例例解解故故思考题思考题思考题解答思考题解答设设则则故故二、极限函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 思考题思考题思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.补充结论：补充结论：小结小结:解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例解解例例(消去零因子法消去零因子法)例例解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)结论结论:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例解解先变形再求极限先变形再求极限.例例.证明证明证证:利用夹逼准则.且由例：例：1.求极限解：解：原式2.求极限提示提示：原式左边左边=右边故极限存在，例：例：设设,且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处例例解解意义：意义：定理定理:意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;定理定理:注意注意:该该定理是上个定理的特殊情况定理是上个定理的特殊情况.无穷小（量）：无穷小（量）：无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:两个重要极限：两个重要极限：2.1.两个重要极限或注注:代表相同的表达式思考与练习思考与练习填空题填空题 (14)例例.求下列极限：提示提示:无穷小有界令则有复习复习:若则则-2填空题：填空题：1.2.0极限的计算方法：极限的计算方法：1、极限的四则运算法则及其推论；、极限的四则运算法则及其推论；2、多项式与分式函数代入法求极限、多项式与分式函数代入法求极限;3、消去零因子法求极限、消去零因子法求极限;4、无穷小因子分出法、无穷小因子分出法(等价无穷小代换等价无穷小代换)求极限求极限;5、利用无穷小运算性质求极限、利用无穷小运算性质求极限;6、利用左右极限求分段函数极限、利用左右极限求分段函数极限;7、复合函数极限运算法则、复合函数极限运算法则;(尤其利用复合函数连续性尤其利用复合函数连续性)8、利用两边夹逼准则求极限、利用两边夹逼准则求极限;9、利用罗比达法则求极限利用罗比达法则求极限;10、利用泰勒公式求极限、利用泰勒公式求极限;11、利用定积分求极限、利用定积分求极限;12、利用无穷级数的性质求极限、利用无穷级数的性质求极限;思考题思考题:在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？与与是否有极限？是否有极限？思考题解答思考题解答:没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误思考题思考题:任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？思考题解答思考题解答:不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时例例解解例：例：例：例：思考题思考题：（如何做（如何做？）？）说明说明:对于形如对于形如:的函数，通常称为幂指函数幂指函数如果如果那么有那么有思考题思考题:例例.解解:原式例例.求求例例解解 解法讨论解法讨论典型例题典型例题例：例：例：例：三、连续与间断连续与间断1.函数连续的等价形式有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点小结：1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:（左右极限都存在的间断点）左右极限都存在的间断点）.第二类间断点第二类间断点:（左右极限至少有一个不存在的间断点）左右极限至少有一个不存在的间断点）.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx闭区间连续函数的性质小结：闭区间连续函数的性质小结：在上有最大值与最小值;上可取最大值与最小值之间的任何值;3.若使至少存在一个上有界;在在思考题思考题思考题解答思考题解答且且但反之不成立但反之不成立.例例但但例例解解例例证明证明讨论讨论:由零点定理知由零点定理知,综上综上,例例 设设f(x)在在(a,b)内连续，内连续，x1,x2,xn是是(a,b)内任意值，内任意值，证明存在证明存在(a,b)使使例：例：