43矩阵可相似对角化的条件.pptx

第四章 矩阵的特征值和特征向量 4.34.3 矩矩阵阵可可相相似似对对角角化化的的条条件件 定理定理4.1.n 阶方阵阶方阵 A 可相似对角化可相似对角化 存在存在 n 个线性无关的向量个线性无关的向量 1,2,n,以及以及 n 个数个数 1,2,n,使得使得A i=i i,i=1,2,n.定理定理4.3.An n相似于对角矩阵相似于对角矩阵 A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.如何判断如何判断？一一.矩阵矩阵可可相似相似对角化的判别对角化的判别第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件 1 1 1,s s 1 1,r r 2 线性无关线性无关线性无关线性无关 线性无关线性无关线性无关线性无关 1,s,1,r线性无关线性无关 A 1 2 第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件 定理定理4.4.定理定理4.5.1,2,s A 11,1t ,1 1 线性无关线性无关线性无关线性无关 11,1t,21,2t ,s1,st 线性无关线性无关 1 1 2 2 s s 2 2 线性无关线性无关线性无关线性无关 21,2t ,s s 线性无关线性无关线性无关线性无关 s1,st 互异互异第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件 推论推论1.n阶方阵阶方阵A相似于对角矩阵相似于对角矩阵 t1+t2+ts=n.推论推论2.若若n阶方阵阶方阵A有有n个互异的特征值个互异的特征值 A相似于对角矩阵相似于对角矩阵.推论推论3.A的属于不同特征值的特征向量的属于不同特征值的特征向量 线性无关线性无关.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件 例例1.A=1 2 3 1 4 3 1 a 5有一个有一个2重特征值重特征值.(1)a=?(2)A 是否可以相似对角化是否可以相似对角化?解解:|E A|=1 2 3 1 4 3 1 a 5=(2)(2 8 +18+3a).第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件 因此因此 A 可以相似对角化可以相似对角化.(1)若若=2 是二重根是二重根,则则 a=2.对应于对应于 1=2=2,(2EA)x=0的基础解系为的基础解系为:1=(2,1,0)T,2=(3,0,1)T.对应于对应于 3=6,(6EA)x=0的基础解系为的基础解系为:3=(1,1,1)T.A的特征值的特征值 1=2=2,3=6第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件 因此因此 A 可以相似对角化可以相似对角化.(1)若若=2 是二重根是二重根,则则 a=2.对应于对应于 1=2=2,(2EA)x=0的基础解系为的基础解系为:1=(2,1,0)T,2=(3,0,1)T.对应于对应于 3=6,(6EA)x=0的基础解系为的基础解系为:3=(1,1,1)T.A的特征值的特征值 1=2=2,3=6第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件 令令P=,则则P 1AP=.2 1 0-3 0 1-1-1 1 2 2 6 因此因此 A 不可以相似对角化不可以相似对角化.(2)若若=2 是单根是单根,则则 a=2/3.A的特征值的特征值 1=2,2=3=4.对应于对应于 1=2,(2EA)x=0的基础解系为的基础解系为:1=(3,0,1)T.对应于对应于 2=3=4,考虑考虑(4EA)x=0.由于由于r(4EA)=2,故故 2=3=4仅有一个线性无关的特征向量仅有一个线性无关的特征向量.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件 1 的重数的重数 观察观察.属于属于 的线性无关的的线性无关的特征向量的个数特征向量的个数12,123,2,13kk,k-1,k-2,1 代数重数代数重数 几何重数几何重数结论结论.的代数重数的代数重数 的几何重数的几何重数第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件 结论结论.的代数重数的代数重数 的几何重数的几何重数 考虑矩阵是否可以相似对角化考虑矩阵是否可以相似对角化,优先优先计算计算重根重根的线性无关特征向量的个数的线性无关特征向量的个数.(1)存在存在某个某个特征值特征值 ,的代数重数的代数重数 的几何重数的几何重数 则则A一定不能相似对角化一定不能相似对角化.(2)对对所有所有特征值特征值 ,的代数重数的代数重数 =的几何重数的几何重数 则则A一定可以相似对角化一定可以相似对角化.第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件 二二.Jordan标准形简介标准形简介 若不考虑若不考虑Jordan块的次序块的次序,J由由A唯一决定唯一决定.定理定理4.6.设设A为为n阶复方阵阶复方阵,则则A相似于相似于 J1 J2 Js Jordan形矩阵形矩阵 J=Jordan块块 i i i 1 1 i 其中其中Ji=第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件 课后课后思考思考题题设设 n 阶方阵阶方阵 A 满足满足 A2=A,(2)设设 r(A)=r,求求|A+E|.(1)证明证明 A 一定可以相似对角化；一定可以相似对角化；第四章第四章第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件