圆知识点复习教学.pptx

圆知识点三种位置关系垂径定理圆心角定理圆周角定理切线的性质与判定定理切线长定理弧长、扇形面积公式侧面展开图三种位置关系点与圆直线与圆圆与圆点与圆的位置关系点在圆内 dr 点A在圆外直线与圆的位置关系l直线与圆相离 dr 无交点 l直线与圆相切 d=r 有一个交点 l直线与圆相交 dR+rl外切（图2）有一个交点 d=R+rl相交（图3）有两个交点 R-rdR+rl内切（图4）有一个交点 d=R-rl内含（图5）无交点 dR-r垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧；平分弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦。以上定理和推论，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：AB是直径 ABCD CE=DE 或 或 AC=AD,BC=BD.圆心角定理l圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等。此定理也称1推2定理，即上述三个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的2个结论 即：AOB=DOE AB=DE 或 AB=DE.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。即：AOB和ACB是 所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB或：在O中，C、D都是 所对的圆周角 C=D 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）。即：在O中，AB是直径 C=90 90的圆周角所对的弦是圆的直径 即：C=90AB是直径 AB AB切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心 过切点 垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 MN是切线，A在O上 MNOA小结小结要判定一条直线是圆的切线，我们已学过三种方法，如下表所示：要判定一条直线是圆的切线，我们已学过三种方法，如下表所示：判定方法判定方法根据根据方法方法1和圆有唯一公共和圆有唯一公共点的直线是圆的点的直线是圆的切线切线切线定义切线定义方法方法2和圆心距离和圆心距离d等于等于圆的半径圆的半径r的直线的直线是圆的切线是圆的切线dr方法方法3过半径外端且和过半径外端且和半径垂直的直线半径垂直的直线是圆的切线是圆的切线切线判定定理切线判定定理有切点，连半径，证垂直有切点，连半径，证垂直无切点，作垂直，证半径无切点，作垂直，证半径切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PA=PB PO平分BPA弧长、扇形面积公式（1）弧长公式：（2）扇形面积公式：侧面展开图（1）圆柱侧面展开图 =（2）圆锥侧面展开图 =如图，已知如图，已知O O1 1与与O O2 2相交于点相交于点A A、B B，过点过点B B作作CDCDABAB，分别交，分别交O O1 1和和O O2 2于于C C、D D，过点，过点B B任作一直线分别交任作一直线分别交O O1 1和和O O2 2于于E E、F F，试说明：，试说明：（1 1）ACAC、ADAD分别是分别是O O1 1和和O O2 2的直径；的直径；（2 2）AEAE与与AFAF的比值的比值是一个常数是一个常数.拓展提高拓展提高例2、如右图所示，已知OC平分AOB，D是OC上任意一点，D与OA相切于点E。那么，OB是D的切线吗？请说明理由。例题欣赏例题欣赏ECD解：OB是D的切线。理由如下：又 OC平分AOB，DFOB DF DE又 DFOB，OB是D的切线。DEOA OA 与D 相切于点E 连结DE，过D点作DFOB，垂足为F。ABOF即 d r由此可得，要证明某直线是圆的切线，如果直线与由此可得，要证明某直线是圆的切线，如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作到直线的垂线圆的公共点没有确定，则应过圆心作到直线的垂线段，证明这个垂线段等于段，证明这个垂线段等于 。圆的半径圆的半径4、定圆、定圆O的半径是的半径是4厘米，动圆厘米，动圆P的半径是的半径是1厘米。厘米。（1）设）设 P和和 O相外切，那么点相外切，那么点P与点与点O的距的距离是多少？点离是多少？点P可以在什么样的线上移动？可以在什么样的线上移动？（2）设）设 P和和 O相内切，情况怎样？相内切，情况怎样？答：答：（1）0P=5，点，点P在以在以O为圆心为圆心 半径为半径为5的圆上移动的圆上移动 （2）0P=3，点，点P在以在以O为圆心为圆心 半径为半径为3的圆上移动的圆上移动 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱的桥拱是圆弧形是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).例题解析例题解析RD7.237.4赵州石拱桥赵州石拱桥 赵州石拱桥赵州石拱桥解：由题设得解：由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2 在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示截面如图所示.若油面宽若油面宽AB=600mm，求油的最，求油的最大深度大深度.做一做做一做ED 600ED A组组 在圆中某弦长为在圆中某弦长为8cm，圆的直径是，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是则圆心到弦的距离是()cmB组组 在圆在圆o中弦中弦CD24，圆心到弦，圆心到弦CD的距离的距离为为5,则圆则圆o的直径是的直径是()C组组 若若AB为圆为圆O的直径，弦的直径，弦CD AB于于E，AE16，BE=4,则则CD()你来试一下你来试一下!ABDCEO oCDECDOE答案：答案：3答案：答案：26答案：答案：16你强你强,我更强我更强!1.1.如果直角三角形的两条直角边分别是如果直角三角形的两条直角边分别是6,8,6,8,你能求出这个直角三角形的外接圆你能求出这个直角三角形的外接圆的半径吗的半径吗?是多少是多少?2.2.在在ABCABC中中,AB=AC=13,BC=10,AB=AC=13,BC=10,试求这个三试求这个三角形的外接圆的面积角形的外接圆的面积.思考思考：圆心圆心A A到到X X轴、轴、Y Y轴的距离各是多少轴的距离各是多少?5.5.已知已知A A的直径为的直径为6 6，点，点A A的的坐标为（坐标为（-3-3，-4-4），则），则A A与与X X轴的位置关系是轴的位置关系是_,A_,A与与Y Y轴的位置关系是轴的位置关系是_。.AOXYBC43相离相离相切相切(三三)课堂练习课堂练习:1.如图，直线如图，直线l切切 O于点于点P，弦，弦ABl，AB交交OP于点于点C，求证：求证：AC=BCOCABPl圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径2 2、如图，以、如图，以O O为圆心的两个同心圆中，大圆的为圆心的两个同心圆中，大圆的弦弦ABAB是小圆的切线，点是小圆的切线，点P P为切点，求证为切点，求证AP=BP.AP=BP.3.求证：经过直径的两端点的圆的切线互相平行求证：经过直径的两端点的圆的切线互相平行.BOl l1 1 l l2 2A已已知知：如如图图，AB是是 O的的直直径径，l l1 1，l l2 2分分别别是是过过点点A，点点B的的 O的切线的切线.求证：求证：l l1 1 l l2 2证明：证明：AB是是 O的直径的直径,又又l l1 1，l l2 2，分别是过点分别是过点A，点，点B的的 O的切线的切线.l l1 1 AB，l l2 2 AB.l l1 1 l l2 2，练习练习4，点点A A是一个半径为是一个半径为300m300m的圆形森林公园的中心，在森的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有林公园附近有B B，C C两村庄，现要在两村庄，现要在B B，C C两村庄之间修一条长两村庄之间修一条长为为1000m1000m的笔直公路将两村连通的笔直公路将两村连通,现测得现测得ABC=45,ABC=45,ACB=30ACB=30问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明算进行说明D45ABC305、如图如图,AB是是 O的直径，的直径，BC是和是和 O相切于相切于点点B的切线，的切线，O的弦的弦AD平行于平行于OC.求证：求证：DC是是 O的切线的切线.ABCDO证明：连结证明：连结OD 3=4.又又OD=OB，OC=OCODC OBC.又又BC切切 O于于B,OBC=Rt OBC=ODC.OA=OD1=2又又ADOC 1=3，2=4,OBC=ODC=Rt,ODCD,DC是是 O的切线的切线.4123课后拓展：如 图,公 路 MN和 直 线 PQ在 P处 交 汇,且QPN=300,点A处有一所中学,AP=160米,假设拖拉机在公路上行驶时,周围100米以内会受到噪音的影响,已知拖拉机的速度为18千米时在公路MN驶上,那么学校会受到影响吗?如果会,受到影响的时间多长?MNPQA1.如图，如图，ABC的内切圆分别和的内切圆分别和BC，AC，AB切于切于D，E，F；如果如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则则BC=,AC=AB=2.如图，如图，PA、PB、DE分别切分别切 O于于A、B、C，DE分别交分别交PA，PB于于D、E，已知，已知P到到 O的切线长为的切线长为8CM，则，则 PDE的周长为（的周长为（）A 16cmD 8cmC12cmB 14cmAPDCBE11cm6cm9cmABDACFE274巩固练习：巩固练习：巩固练习：巩固练习：旁切圆巩固练习：A AB BC CI I3 3、如图，、如图，、如图，、如图，ABCABC中，中，中，中，A=55A=55度，度，度，度，I I是内心是内心是内心是内心 则，则，则，则，BICBIC度。度。度。度。A AB BC CD DE EF F4 4、如图，、如图，、如图，、如图，ABCABC中，中，中，中，A=55A=55度，其内切圆切度，其内切圆切度，其内切圆切度，其内切圆切ABC ABC 于于于于D D、E E、F F，则，则，则，则FDEFDE度。度。度。度。112.5112.567.567.590+12A90-12A5.在在ABC中中,ABC=500,ACB=700,点点I是内心是内心,求求BIC的度数的度数.AOCB21436 6、如图，、如图，、如图，、如图，ABCABC中，中，中，中，A=55A=55度，度，度，度，I I是内心，是内心，是内心，是内心，BICBIC度。度。度。度。120三、综合练习三、综合练习已知：如图已知：如图PA、PB是是 O的两条切的两条切线，线，A、B为切点。直线为切点。直线OP交交 O于于D、E，交，交AB于于C。OPABCDE（1）图中互相垂直的关系有）图中互相垂直的关系有 对，对，分别是分别是（2）图中的直角三角形有）图中的直角三角形有 个，分别是个，分别是等腰三角形有等腰三角形有 个，分别是个，分别是（3）如果半径为）如果半径为3cm，PO=6cm，则点，则点P到到 O的切线长为的切线长为 cm，两切线的夹角等于，两切线的夹角等于 度度36260Rt OAP,Rt OAP,Rt ACORt ACP,Rt BCO,Rt BCP AOB,APBOPABCDE（4）如果）如果PA=4cm，PD=2cm，试求半径试求半径OA的长。的长。x解：设解：设OA=x cm，则，则PO=+=cm在在Rt OAP中，中，PA=4cm，由勾股定理得，由勾股定理得 即：即：解得：解得：x=PDOD(x+2)3cm半径半径OA的长为的长为3cmPBAOC 已知：如图，已知：如图，PA，PB分别切分别切 O于于A、B，AC为直为直径。求证：径。求证：1、两圆的半径分别为、两圆的半径分别为3cm和和8cm,圆心圆心距是方程距是方程 的一个根的一个根,则则两圆的位置关系两圆的位置关系 是是 .2、O1与与 O2 相交，相交，P为为 O1上的一点，上的一点，过过P点分别作两圆的切线，则切线的条点分别作两圆的切线，则切线的条数可能有数可能有 条。条。O2O1内含0或13 3、已知、已知O O的半径为的半径为1010厘米，根据下列点厘米，根据下列点P P到圆心的距离，判定点到圆心的距离，判定点P P与圆的位置关系，与圆的位置关系，并说明理由。并说明理由。（1 1）8 8厘米厘米 （2 2）1010厘米厘米 （3 3）1212厘米厘米 4 4、ABCABC中中,C=90,C=90，AC=BC=10 AC=BC=10,若若C C切切ABAB于于D D点点,则则C C的半径为的半径为 .5、两圆半径分别是、两圆半径分别是5cm和和12cm，圆心，圆心距为距为13cm，则两圆的位置关系，则两圆的位置关系 是是 。6 6、已知，两圆相切且半径分别、已知，两圆相切且半径分别为为3 3、5 5，则两圆的圆心距的，则两圆的圆心距的长为长为_7 7、下列说法：、下列说法：垂直于半径的直线是垂直于半径的直线是圆的切线；圆的切线；过半径外端的直线是圆的过半径外端的直线是圆的切线；切线；和圆有唯一公共点的直线是圆和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；的切线；和圆心距等于圆的半径的直和圆心距等于圆的半径的直线是圆的切线；线是圆的切线；经过半径一端且垂直经过半径一端且垂直于半径的直线是圆的切线。其中正确的于半径的直线是圆的切线。其中正确的个数是（个数是（）A A、1 B1 B、2 C2 C、3 D3 D、4 4 8、如图，两个等圆、如图，两个等圆 O1与与 O2外切，过外切，过点点O1向向 O2作切线作切线O1A、O1B，切点为，切点为A、B，则，则A O1B=_应用应用 某一个城市在一块空地新建了三个某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为居民小区，它们分别为A、B、C，且三，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？你怎么确定这个位置呢？BACP为为 O内一点，内一点，OP=3cm，O半径为半径为5cm，则经过，则经过P点的点的最短弦长为最短弦长为_；最长弦长为最长弦长为_8cm10cm例例5:5:设设DD是线段是线段BCBC的中点的中点,画以画以BCBC为直径的为直径的D,D,再以再以BCBC为底边画等腰三角形为底边画等腰三角形ABC.ABC.(1)(1)当点当点A A在在DD上时上时,求等腰三角形求等腰三角形ABCABC顶角顶角的大小的大小.(3)(3)当点当点A A在在DD外时外时,求等腰三角形求等腰三角形ABCABC顶角的顶角的 取值范围取值范围 .(2)(2)当点当点A A在在DD内时内时,求等腰三角形求等腰三角形ABCABC顶角的顶角的取值范围取值范围.1.两圆的圆心都是两圆的圆心都是O,半径分别是半径分别是 ,若若rOMr ,则有则有()A.点点M在大圆外在大圆外,小圆外小圆外 B.点点M在大圆内在大圆内,小圆外小圆外 C.点点M在大圆外在大圆外,小圆内小圆内 D.点点M在大圆内在大圆内,小圆内小圆内2.下列语句中下列语句中,正确的是正确的是()A.三点确定一个圆三点确定一个圆 B.任何一个三角形有且仅有任何一个三角形有且仅有一个外接圆一个外接圆 C.任何一个四边形都有一个外接圆任何一个四边形都有一个外接圆D.等腰三角形的外心一定在它的外部等腰三角形的外心一定在它的外部3.已知已知 O的最大的弦是的最大的弦是8cm,点点A,B,C与圆心与圆心O的的距离分别为距离分别为4cm,3cm,5cm,则点则点A在在 O_,点点B在在 O_,点点C在在 O_.2 r1r12BB上上内内外外4.在在Rt ABC中，中，C=90，AC=5cm，BC=12cm，则，则Rt ABC其外接圆半径为其外接圆半径为_ cm.5.在在Rt ABC中，中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，以，以C为圆心，为圆心，2.4cm为半径的为半径的圆与斜边中点圆与斜边中点E的位置关系是的位置关系是_.6.5 点点E在在 C外外