时2412垂直于弦的直径.pptx

第第32时时 24.1.2垂直于圆的直径垂直于圆的直径由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴所在直线都是它的对称轴不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?如图，如图，AB是是 O的一条弦的一条弦,直径直径CDAB，垂足为垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么为什么?OABCDE线段线段:AE=BE弧弧:AC=BCAD=BD垂径定理垂径定理垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧OABCDECDAB AE=BE,CD是直径是直径，AC=BC.AD=BD，OABDCEOABCD下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？是是否否EOABCEOABCD下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？是是否否EOOOO垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CD过圆心过圆心CDAB于于EAE=BEAC=BCAD=BDAB ABCDEECABEABCE 1.如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，CD为弦，为弦，CDAB于于E，则下列结论中不成立的是，则下列结论中不成立的是()A.COE=DOEB.CE=DEC.OE=AEOABECDD.BC=BDC2.如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到 AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径。的半径。OABE解：过点解：过点O作作OEAB于于E，即即 O的半径为的半径为5cm.连接连接OAAE=AB12=4cm，OE=3cm.在在RtOAE中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，OA2=AE2OE2 =4232=25OA=5cm.如图，如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥，求赵州桥主桥拱的半径（精确到拱的半径（精确到 0.1 m）ABO 解：如图，用弧解：如图，用弧AB表示主桥拱，表示主桥拱，设弧设弧AB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O，半径为，半径为R.R 37m7.23mABOCD 解：如图，解：如图，用弧用弧AB表示表示主桥拱，设弧主桥拱，设弧AB所在的圆所在的圆的圆心为的圆心为O，半径为半径为R.ABOCD 解：如图，用弧解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧表示主桥拱，设弧AB所在的所在的圆的圆心为圆的圆心为O，半径为，半径为R.经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC,垂足为垂足为D，与弧，与弧AB交于交于点点C，则，则D是是AB的中点，的中点，C是弧是弧AB的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.AD=AB=18.5m，OA2=AD2OD2解得解得R=27.3(m).即主桥拱半径约为即主桥拱半径约为27.3m.OD=OCCD=R7.23R2=18.52(R7.23)212ABOC关于弦的问题，常常关于弦的问题，常常需要需要过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线段段，这是一条非常重要，这是一条非常重要的的辅助线辅助线。圆心到弦的距离、半圆心到弦的距离、半径、半弦径、半弦构成构成直角三角直角三角形形，便将问题转化为直，便将问题转化为直角三角形的问题。角三角形的问题。如图，已知在两同心圆如图，已知在两同心圆 O 中，大圆弦中，大圆弦 AB 交小圆交小圆于于 C，D，则，则 AC 与与 BD 间可能存在什么关系？间可能存在什么关系？DOCAB答：答：AC 与与 BD 相等。相等。过点过点O作作OEAB于于E，E理由如下：理由如下：则有：则有：AE=BE，CE=DE.AECE=BEDE，AC=BD.变式变式1 如图，连接如图，连接 OA，OB，设，设 AO=BO，求证，求证:AC=BDDOCAB过点过点O作作OEAB于于E，则有：则有：CE=DE，EAO=BO，OEAB，AE=BE，AECE=BEDE，AC=BD.证明：证明：变式变式2连接连接 OC，OD，设，设 OC=OD，求证，求证:AC=BDDOCABE过点过点O作作OEAB于于E，则有：则有：AE=BE，OC=OD，OECD，CE=DE，AECE=BEDE，AC=BD.证明：证明：2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，AC=AB，AE=AD，四边形四边形ADOE为正方形为正方形.内容：内容：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧对的两条弧构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线重要思路：（由）垂径定理重要思路：（由）垂径定理构造直角三角形构造直角三角形 （结合）勾股定理（结合）勾股定理建立方程建立方程小结小结今天作业今天作业课本课本P89页第页第2题题课本课本P83页第页第2题题本课是在学生已经学习了圆的有关概念的基础上开始本课是在学生已经学习了圆的有关概念的基础上开始研究圆的性质，包括圆的轴对称性以及垂径定理，并研究圆的性质，包括圆的轴对称性以及垂径定理，并应用垂径定理及其推论解决问题应用垂径定理及其推论解决问题课件说课件说明明学习目标：学习目标：1理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 证明、计算和作图问题证明、计算和作图问题；2感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和 方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理 的过程中发展逻辑思维能力和识图能力的过程中发展逻辑思维能力和识图能力学习重点：学习重点：垂径定理及其推论垂径定理及其推论课件说课件说明明