复习-一秩二满秩阵三解方程组.pptx

复习复习一、秩一、秩二、满秩阵二、满秩阵三、解方程组三、解方程组 线性方程组有解线性方程组有解 r=n 唯一解唯一解(齐次齐次唯一零解唯一零解)r n 无穷多解无穷多解(齐次齐次非零解非零解)求出解求出解 行最简形行最简形 判别有解否判别有解否阶梯形阶梯形 B1.解的判定解的判定2.求解求解 的阶数的阶数最高解非零最高解非零子式子式初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩求秩求秩化为梯形阵化为梯形阵四、初等阵四、初等阵4 初等矩阵初等矩阵单位阵交换单位阵交换1、2两行两行交换交换1、2 两行两行将初等变换用矩阵的乘法表示出来将初等变换用矩阵的乘法表示出来意义意义定义定义3 对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵为对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵为初等矩阵初等矩阵。三种初等行变换得到的三种初等矩阵分别：三种初等行变换得到的三种初等矩阵分别：1、对调两行或两列、对调两行或两列 E(i,j)对调对调 i、j 两行两行一、概念一、概念2、以数以数 k 乘某行或列乘某行或列 E(i(k)i j以数以数 k 乘第乘第 i 行行2、以数以数 k 乘某行或列乘某行或列 E(i(k)3、某行或列的某行或列的k 倍加到另一行或列上去倍加到另一行或列上去 E(i j(k)对单位阵作一次列变换所得矩阵对单位阵作一次列变换所得矩阵就包括在上面的三类矩阵之中就包括在上面的三类矩阵之中初等初等变换变换 初等初等矩阵矩阵i 二、初等矩阵的性质二、初等矩阵的性质(1)初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵(2)初等矩阵都是可逆的且逆阵仍为同类型的初等矩阵初等矩阵都是可逆的且逆阵仍为同类型的初等矩阵定理定理4 对对 实施一次初等行实施一次初等行(列列)变换变换,相当于在相当于在 A 的左的左(右右)边乘相应的边乘相应的 m(n)阶初等矩阵；阶初等矩阵；行变换行变换 左乘初等矩阵左乘初等矩阵;列变换列变换 右乘初等矩阵右乘初等矩阵E(3,1(1)E(2,3(-2)例例1例例2可以验证可以验证?例例3 求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。A 可逆可逆定理定理5证证即即 E 经有限次初等变换可变为经有限次初等变换可变为 A推论推论5个个?自证自证等价矩阵的等价矩阵的等式等式表达式表达式例例4若若P、Q 为满秩阵，则为满秩阵，则 =R(AQ)=R(PAQ)R(A)R(PA)推论推论=P1 PS=三、用初等变换求逆阵三、用初等变换求逆阵求逆阵的方法三求逆阵的方法三逆阵的求法逆阵的求法用伴随阵求用伴随阵求用定义求用定义求用初等变换求用初等变换求 A 可逆，且可逆，且解解例例4(P.90例例8)P.91 例例9逆阵的应用逆阵的应用求解矩阵方程求解矩阵方程即即 将将 A 变成变成 E 的初等变换的初等变换就是将就是将 B 变为变为 X 的初等变换的初等变换求解矩阵方程时求解矩阵方程时,一定要一定要先整理化简先整理化简,再求解再求解.例例2解解1 n 维向量及其线性运算维向量及其线性运算一、一、n 维向量的概念维向量的概念 定义定义1行向量行向量 实数实数第第 i 个分量个分量 n 维向量维向量，简称简称向量向量。列列向向量量第四章第四章 n 维向量维向量实向量实向量O=(0,0,0)零向量零向量负向量负向量(-1,0,)三维向量三维向量三维向量空间三维向量空间n 维向量空间维向量空间 中的平面中的平面 中中n 1 维维超平面超平面第第i 个坐标是个坐标是1其余均为零其余均为零单位向量组单位向量组设向量设向量1.加法加法(减法减法):2.数乘数乘:线性运算线性运算满足运算规律满足运算规律?同于矩阵的相应运算同于矩阵的相应运算二二、n 维向量的线性运算维向量的线性运算一、线性表示一、线性表示1、向量组向量组由若干个同维数的列由若干个同维数的列(行行)向量构成的集合向量构成的集合 n 个个m 维列向量维列向量m 个个 n 维行向量维行向量矩阵矩阵A的列向量组的列向量组矩阵矩阵A的行向量组的行向量组2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性(I)有解有解 (I)均构成一一对应均构成一一对应向量组向量组 A:的一个线性组合的一个线性组合 组合系数组合系数线性组合。线性组合。线性表示线性表示(出出)。12三个向量？三个向量？共面共面四个四个定义定义12、线性表示、线性表示k11 k22向量向量 b 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示例例1解法解法I无穷多种表达式无穷多种表达式由向量组的线性表示与方程组的关系知由向量组的线性表示与方程组的关系知 R(A)=R(B)定理定理1矩阵的初等矩阵的初等(行行)变换变换 向量的线性运算向量的线性运算 方程间的线性运算方程间的线性运算一个向量可由其他向量线性表示一个向量可由其他向量线性表示这个方程是其他方程的线性组合这个方程是其他方程的线性组合多余方程多余方程解法解法II定义定义3设有两个设有两个 n 维向量组维向量组 若向量组（若向量组（I）中每个向量都可由向量组（）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，）线性表示，则称向量组（则称向量组（I）可由向量组（）可由向量组（II）线性表示线性表示；若向量组（若向量组（I）与向量组（）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向）可以互相线性表示，则称向量组（量组（I）与向量组（）与向量组（II）等价等价。向量组的等价关系具有向量组的等价关系具有:自反性、对称性、传递性自反性、对称性、传递性向量组向量组 A与与B 等价等价 方程组方程组 AX=O 与与 BX=O 同解同解3 向量组的等价向量组的等价证证例例2