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工程图学基础第三课 点、线的投影课件制作：单斌2009年2月17日修订：修订：2010年年10月月9日日第二章 点、直线、平面的投影n第一节 投影法基础n第二节 点的投影n第三节 直线的投影n第四节 平面的投影n第五节 线面相对位置 平行投影法中心投影法投影法投射线物体投影面投影 投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法投影法。投射中心斜投影法正投影法第一节 投影法基础投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图不同投影法的用途b正投影法的基本性质？正投影法投影面PABa真实性类似性积聚性正投影的性质e(a)AEAFaf第二节第二节 点的投影点的投影n一、投影面体系一、投影面体系n二、点的投影规律二、点的投影规律n三、投影面和投影轴上的点三、投影面和投影轴上的点n四、两点的相对位置四、两点的相对位置n五、重影点五、重影点一、投影面体系ABCa(b,c)1、点在投影面上的投影是唯一的（过面外一点的面垂线是唯一的）；2、只用一个投影面不能确定投影面外的点在空间的位置。IIIIIIIVVVI（VII）VIII八个分角，我国采用第一分角的投影。二、点的投影规律XYZHVWAA的坐标为(Xa,Ya,Za)aaaaxayazWZVHYHXYWOOaaaaxazayHayW1、过A分别对V，H，W面做垂线，垂足即为在各面的投影点a、a、a2、过a、a、a对投影轴作垂线得三个交点ax、ay、az；45展开可知：1）A到H面的距离Aa=aax=aay=Za2）A到V面的距离Aa=aax=aaz=Ya3）A到H面的距离Aa=aaz=aay=Xa点的投影规律：1）aa OX；2）aa OZ;3）aax=OayH=OayW=aaZ推论：过a的水平线与过a的垂线必然相交于过点O的45斜线上。aa三、投影面和投影轴上的点WVHXYHYWZO45a 已知空间点A在水平投影面上（ZA0），且其在水平面的投影为a，如图所示：axazayH 根据投影规律，首先作出过点O作出三视图的投影辅助线；根据aa OZ和推论（过a的水平线与过a的垂线必然相交于过点O的45斜线上。），作出点A在W面的投影a；根据aaOX和ZA0，作出点A在V面的投影a；ayW结论：投影面上的点有一个坐标为0（如ZA=0），则此面上的投影（如H面上的a点）与该点（A）重合；A 其它投影在相应的投影轴上。（如V面上的a点和W面上的a点）已知空间点B在投影轴X上（YBZB0），且其在水平面的投影为b，如图所示：Bbb 根据投影规律，可以作出其在V面的投影b和在W面的投影b；b结论：投影轴上的点，在此轴上的两面投影都其本身；在另一面的投影落在原点O处。两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：x 坐标大的在左 y 坐标大的在前 z 坐标大的在上B点在A点之前、之右、之下。baa abbXYYZo四、两点的相对位置五、重影点XZHVWAaaaOCcc（c）前右 图中C点在A点的正后方，两点既无左右距离差，也无上下距离差，因此两点在正平面V上的投影重合为一点，则称A点与C点为对正面投影（对正面）的重影点。WZVYHXYWOaaa（c）cc投影重影点的可见性原则：1、“前遮后”（a遮c），“左遮右”，“上遮下”；2、在投影图可见的点标在前（如a），不可见的点标在后，并加注括号（如（c）。上重影点的投影特征：1、无重影的投影面上的投影点与重影的投影面上的投影点的连线重合；2、无重影的投影面上的投影点彼此间的距离与另一无重影的投影面上的投影点的距离相等，且都等于空间两点间的距离。第三节 直线的投影n一、直线对投影面的相对位置和投影特征n二、一般直线实长和对投影面倾角n三、直线上点的投影n四、两直线的相对位置一、直线对投影面的相对位置和投影特征n1、投影面垂直线 指垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行的直线；分为正垂线（V面，H面，W面），铅垂线（H 面，V面，W面），侧垂线（W 面，H面，V面）；n2、投影面平行线 指平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线；分为正平线（V面，H面，W面，真实反映和），水平线（H 面，V面，W面，真实反映和），侧垂线（H 面，V面，W面，真实反映和）。n3、一般位置直线 同时倾斜于三个投影面的直线H 面，V面，W面。（b）1、投影面垂直线例：正垂线空间直线AB与V面垂直，H面，W面。HVWAaaaOBbb（b）WVXOaaabbYHYW投影特性：1、在直线所垂直的投影面上，其投影积聚为一点；2、其余的投影平行于相应的轴线，且反映了直线的实长。Z投影2、投影面平行线例：正平线空间直线AB与V面平行，H面，W面。HVWAaaaOBbbbbXOaaabbYHYWZ投影特性：1、在直线所平行的投影面上，其投影反映了直线的实长；2、其余的投影为缩短的直线，且平行于相应的轴线。投影3、一般位置直线例：空间直线AB是同时倾斜于三个投影面的直线，H 面，V面，W面。HVWAaaaOBbbbbXOaaabbYHYWZ投影特性：在三个投影面上，其投影都为缩短的直线（类似性）。投影二、一般直线实长和对投影面倾角HVAaaOBbb投影bXOaaB0XbAB实长ZB-ZAZB-ZA例：AB为一般位置直线，ab水平投影，ab为正面投影。在平面AabB内，作AB0ab，则构成直角ABB0，其中AB0ab，即：BB0BbAaZB-ZA，ZB-ZA斜边AB即为实长，其与ab的夹角即为直线与H面的倾角。因此，如已知直线AB的水平投影ab和正面投影ab。则可在H面上作出此直角三角形，从而求出实长和倾角：过a作水平线交bb于点k，则bk=ZB-ZA；k 过b以bk=ZB-ZA为半径作圆，交经过b的ab的垂线于点l，则a l即为实长，l a l与ab的夹角即为直线与H面的倾角。按同理，理解掌握课本中图2-16中直角三角形法求实长和倾角的四要素！axbxaxbx 从左图（立体图）上所作出点C在V面和H面上的投影，可知点C的投影在直线AB的同面投影上；c三、直线上点的投影n1、如果点在直线上，则点的投影在直线的同面投影上；n2、定比定理：不垂直于投影面的直线上的点，分割直线之比投影前后不变；n3、定比定理的应用。HVAaaOBbbXbXOaab投影Ccc例：点C在直线AB上，已知直线AB的V面和H面投影如图所示，求点C在V面和H面上的投影。c 也可知ac:cb=ac:cb=AC:CB3、定比定理的应用1）已知直线上的点分直线的比例即可在投影图中作出该点；例1、已知点C分直线AB的比例为23和直线的两面投影，求C点的两面投影。cbXOaacb作图：首先在H面，过a点作任意一条直线aB0；B0自a点，按一定长度在直线aB0上取5等分，得五个等分点：1、2、3、4、5；12534连接b5，自2作直线平行于b5，此直线与ab上的交点即为c点；由c点作c；2）已知直线的两面投影时,可用于判断重影点是否在此直线上。例2、如图所示，试判断点K是否在直线AB上XOkbaakbA0k0k0作图：首先在H面，过b点作任意一条直线，在直线上取bA0ab；连接aA0，过k点作kk0平行于aA0交bA0于k0；在直线bA0上作bk0 k0A0 bkka；由k0点作k0不重合，可知K点不在直线AB上。四、两直线的相对位置4、直角投影定理空间中相互垂直的两直线，只要其中一条平行于某一投影面，两直线在此面的投影仍相互垂直。2、相交两直线空间中相交的两直线，其三面投影都相交，反之，如果两直线的三面投影都相交并且交点符合点的投影规律，那么此空间两直线一定相交；3、交叉两直线两直线在三组同面投影面中，如果出现一组或两组同面投影线相互平行的情况，则此两直线一定交叉；如果三组同面投影线都相交，但相交点不符合点的投影规律，则此两直线交叉。（自学）1、平行两直线空间中相互平行的两直线，其三面投影都相互平行，反之亦然；akb2、相交两直线例1、如图所示，已知AB，CD为相交两直线，求AB的正面投影。OXabcdcdk作图：ab、cd的交点即为AB、CD交点K的水平投影k；过k作OX轴的垂线，交cd 于k点，即为K点的正面投影；连接bk并延长；过a作OX的垂线与bk的延长线相交得到a；连接ab即为所求的直线AB的正面投影。4、直角投影定理1、证明OBAXHabCc 因ABBC，所以AB平面BbcC，所以AB于平面BbcC中的任何一条直线，由此AB bc；又因为ABH面，ab为AB在H面上的投影，所以ABab；故ab bc。2、应用例：如图，过点C作直线CDAB，D为垂足。OXabbcc 因ABCD，且AB为正平线，因此CD在V面的投影cd ab。a作图：过c点作cd ab 于d。d 由d 求出d。d 连接cd。两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。bcdH HAdaCcV VaDbBacdbcdabO OX X例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。a b c d cbadd b a c b d c a abcdc a b d 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点acV VX XbH HDacdkCAkKdbO OBcabd b a c d kk cd k kd例例1 1：过：过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 例例2 2：判断直线：判断直线ABAB、CDCD的相对位置。的相对位置。c abdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？交点不符交点不符合空间一个点合空间一个点的投影特性。的投影特性。判断方法？判断方法？应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影 两直线交叉两直线交叉为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！交点不符合一个交点不符合一个点的投影规律！点的投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBbaccAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)1(2)2 21 1投影特性投影特性：同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个不符合空间一个 点的投影规律点的投影规律。“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其，用其 可帮助判断两直线的空间位置。可帮助判断两直线的空间位置。2 21 11(2)1(2)4 43(4)3(4)3 33(4)3(4)3 34 4 作业：1、用上次的作业画练习册中吊钩的图2、练习册P6-2-1-1和P9-2-2-1,11-6-2下周一上课前交谢谢！