多维随机变量和其分布省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.1 3.1 二维随机变量二维随机变量3.2 3.2 边缘分布边缘分布3.3 3.3 条件分布条件分布3.4 3.4 相互独立随机变量相互独立随机变量3.5(3.5(多维多维)随机变量函数分布随机变量函数分布第1页3.1 二维随机变量引例：炮弹弹着点位 考查某一地域学 实例1实例2组成二维随机变量(H,W).童身高 H 和体重 W 就 前儿童发育情况,机变量.置(X,Y)就是一个二维随 则儿 第2页定义定义:将将n n个随机变量个随机变量X X1 1，X X2 2，.,X.,Xn n组成一个组成一个n n维向量维向量 (X(X1,1,X X2 2,.,X,.,Xn n)称为称为n n维随机变量。维随机变量。说明：说明：1.一维随机变量一维随机变量X：R1上随机点坐标上随机点坐标二维随机变量二维随机变量(X,Y)：R2上随机点坐标上随机点坐标n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)：Rn上随机点坐标上随机点坐标2.二维随机变量二维随机变量(X,Y)性质不但与性质不但与X、Y相关，而且还依赖于相关，而且还依赖于X、Y相互关系。相互关系。3.多维随机变量研究方法也与一维类似，用分布函数、概率多维随机变量研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律密度、或分布律来描述其统计规律一一.n.n维随机变量维随机变量第3页 设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称 F(x,y)=PXx,Yy为(X,Y)分布函数，或X与Y联合分布函数。二.联合分布函数联合分布函数几何意义：几何意义：分布函数分布函数F()表表示随机点示随机点(X,Y)落在区域落在区域 中概率。如图阴影部分：中概率。如图阴影部分：第4页对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),则 Px1X x2，y1yy2 F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)第5页分布函数分布函数F(x,y)含有以下含有以下性质性质：且(1)归一性归一性 对任意(x,y)R2,0 F(x,y)1,第6页 (2)单调不减单调不减 对任意y R,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意x R,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2).(3)右连续右连续 对任意xR,yR,第7页(4)矩形不等式矩形不等式 对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0.反之，任一满足上述四个性质二元函数F(x,y)都能够作为某个二维随机变量(X,Y)分布函数。第8页例1.已知二维随机变量(X,Y)分布函数为1)求常数A，B，C。2)求P0X2,0YY第15页求：求：(1)(1)常数常数A A；(2)F(1,1)(2)F(1,1)；(3)(X,Y)(3)(X,Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0,y0,y 0,2X+3y0,2X+3y 6 6 内概率。内概率。例例4.设解：(1)由归一性第16页(3)(X,Y)(3)(X,Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0,y0,y 0,2X+3y0,2X+3y 6 6 内概率。内概率。解第17页 3.两个惯用二维连续型分布两个惯用二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)密度函数为密度函数为则称则称(X,Y)在区域在区域D上上(内内)服从均匀分布。服从均匀分布。易见，若（易见，若（X，Y）在区域在区域D上上(内内)服从均匀分布，服从均匀分布，对对D内任意区域内任意区域G，有有第18页例例5.5.设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上均匀分布，上均匀分布，(1)(1)求求(X,Y)(X,Y)概率密度概率密度；(2)(2)求求PY2X PY0,20,|1，则称，则称(X,Y)服从参数服从参数 1,2,1,2,二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布二维正态分布N(1,2,1,2,)若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)密度函数为密度函数为第20页分布函数概念可推广到分布函数概念可推广到n维随机变量情形。维随机变量情形。实际上，对实际上，对n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)，F(x1,x2,xn)P(X1 x1,X2 x2,Xn xn)称为称为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)分布函数，或分布函数，或随机变量随机变量X1,X2,Xn联合联合分布函数分布函数。第21页定义定义:若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)全部可能取值为全部可能取值为R Rn n上有限或可列无穷上有限或可列无穷多个点，称多个点，称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)为为n n维离散型，称维离散型，称 PX PX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)联合分布律。联合分布律。则称则称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)为为n n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)为为(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)概率密度。概率密度。定义定义:对于对于n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)，假如存在非负，假如存在非负n n元函元函数数f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)使得对任意使得对任意n n元立方体元立方体有有第22页FY(y)F(+,y)PYy 称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)关于关于Y边缘分布函数边缘分布函数.3.2 边缘分布边缘分布FX(x)F(x,+)PXx称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)关于关于X边缘分布函数边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量某个边缘分布实际上是高维随机变量某个(一些一些)低维低维分量分布分量分布。一、边缘分布函数一、边缘分布函数第23页例例1.已知已知(X,Y)分布函数为分布函数为 求求FX(x)与与FY(y)。第24页二、边缘分布律二、边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y联合分布联合分布律为律为(X,Y)PXxi,Y yj,pij，i,j1,2,则称则称 PXxipi.，i1,2,为为(X,Y)关于关于X边缘分布律边缘分布律；PY yjp.j ，j1,2,为为(X,Y)关于关于Y边缘分布律。边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律性质。边缘分布律自然也满足分布律性质。第25页例例2.已知已知(X,Y)分布律为分布律为xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求求X、Y边缘分布律。边缘分布律。解：解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y分布律分别为：分布律分别为：X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5第26页三、边缘密度函数三、边缘密度函数为为(X,Y)关于关于Y边缘密度函数。边缘密度函数。设设(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,则称则称为为(X,Y)关于关于X边缘密度函数；边缘密度函数；同理，称同理，称易知易知N(1,2,12,22,)边缘密度函数边缘密度函数fX(x)是是N(1,12)密度函数，而密度函数，而fX(x)是是N(2,22)密度函数，故密度函数，故二维二维正态分布边缘分布也是正态分布正态分布边缘分布也是正态分布。第27页例例3.3.设设(X,Y)(X,Y)概率密度为概率密度为（1 1）求常数）求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X边缘概率密度边缘概率密度解解:(1)由归一性由归一性第28页3.4 相互独立随机变量相互独立随机变量定定义义:称称随随机机变变量量X X与与Y Y独独立立，假假如如对对任任意意实实数数ab,cdab,cd，有，有 PaXPaX b,cYb,cY d=PaXd=PaX bPcYbPcY d d 即即事事件件aXaX bb与与事事件件cYcY dd独独立立，则则称称随随机机变变量量X X与与Y Y独立。独立。定理：随机变量定理：随机变量X X与与Y Y独立充分必要条件独立充分必要条件是是F(x,y)=FX(x)FY(y)第29页定定理理:设设(X,Y)(X,Y)是是二二维维连连续续型型随随机机变变量量，X X与与Y Y独独立立充充分分必要条件必要条件是是f(x,y)=ff(x,y)=fX X(x)f(x)fY Y(y)(y)定定理理:设设(X,Y)(X,Y)是是二二维维离离散散型型随随机机变变量量，其其分分布布律律为为P Pi,j i,j=PX=x=PX=xi,i,Y=yY=yj j,i,j=1,2,.,i,j=1,2,.，则则X X与与Y Y独独立立充充分分必必要要条条件件是对任意是对任意i,j i,j，P Pi,j i,j=P=Pi i.P P j j。由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X与与Y Y独立性，独立性，只需求出它们各自边缘分布，再看是否对只需求出它们各自边缘分布，再看是否对(X,Y)(X,Y)每一每一对可能取值点对可能取值点,边缘分布乘积都等于联合分布即可边缘分布乘积都等于联合分布即可第30页例例4.已知随机变量已知随机变量(X,Y)分布律为分布律为且知且知X与与Y独立，求独立，求a、b值。值。例例5.5.甲乙约定甲乙约定8:008:00 9:009:00在某地见在某地见面。设两人都随机地在这期间任面。设两人都随机地在这期间任一时刻抵达，先到者最多等候一时刻抵达，先到者最多等候1515分钟过时不候。求两人能见面概分钟过时不候。求两人能见面概率。率。第31页定义定义.设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,.Xn)分布函数为分布函数为F(x1,x2,.xn),(X1,X2,.Xn)k（1 k0,则称同理，同理，对固定i,pi.0,称为Xxi条件下，Y条件分布律条件分布律;第36页例例1 1.设设某某昆昆虫虫产产卵卵数数X X服服从从参参数数为为5050泊泊松松分分布布，又又设设一一个个虫虫卵卵能能孵孵化化成成虫虫概概率率为为0.8,0.8,且且各各卵卵孵孵化化是是相相互互独独立，求此昆虫产卵数立，求此昆虫产卵数X X与下一代只数与下一代只数Y Y联合分布律联合分布律.第37页二.连续型随机变量条件概率密度定义.给定y，设对任意固定正数0，极限存在，则称此极限为在条件条件下X条件分布函数.记作可证当时第38页若记为在Y=y条件下X条件概率密度，则当时，类似定义，当时第39页例2.已知(X,Y)概率密度为(1)求条件概率密度(2)求条件概率xy1解:=第40页3.5 多维随机变量函数分布多维随机变量函数分布设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X，Y），），(X,Y)P(Xxi,Yyj)pij，i,j1,2,则则 Zg(X,Y)PZzk pk,k1,2,(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或或一、一、二维离散型随机变量函数分布律二维离散型随机变量函数分布律第41页 例例1.1.设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1)求WXY分布律；(2)求Vmax(X,Y)分布律；(3)求Umin(X,Y)分布律；(4)求w与V联合分布律。第42页(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijWXYVmax(X,Y)Umin(X,Y)011201110001VW01012000第43页二、多个随机变量函数密度函数二、多个随机变量函数密度函数1、普通方法：、普通方法：分布函数法分布函数法 若(X1,X2,Xn)f(x1,x2,xn),(x1,x2,xn)Rn,Y=g(X1,X2,Xn),则可先求Y分布函数:然后再求出Y密度函数:第44页2、几个惯用函数密度函数 (1)和分布 已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求ZXY密度。z x+y=z x+y z 若X与Y相互独立，则ZXY密度函数 第45页例例2.2.设随机变量设随机变量X X与与Y Y独立且均服从标准正态分布，独立且均服从标准正态分布，求证：求证：Z=X+YZ=X+Y服从服从N N（0 0，2 2）分布。）分布。普通地，设随机变量X1,X2，.,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,.,n,则第46页例例3.3.卡车装运水泥卡车装运水泥,设每袋水泥重量设每袋水泥重量X(kg)X(kg)服从服从N(50,2.5N(50,2.52 2)分布分布,该卡车额定载重量为该卡车额定载重量为kg,kg,问最多装多问最多装多少袋水泥少袋水泥,可使卡车超载概率不超出可使卡车超载概率不超出0.05.0.05.解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥重量.则由题意,令查表得第47页(2)商分布 已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求Z 密度。y G1 0 G2尤其，当X，Y相互独立时，上式可化为其中fX(x),fY(y)分别为X和Y密度函数。第48页3、极大、极大(小小)值分布值分布 设X1,X2,Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2),Fn(xn)，记MmaxX1,X2,Xn,NminX1,X2,Xn 则，M和N分布函数分别为：FM(z)F1(z)Fn(z)第49页 尤其，当X1,X2,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n;FN(z)11F(z)n.深入地，若X1,X2,Xn独立且具相同密度函数f(x)，则M和N密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f(z)；fN(z)n1F(z)n1f(z).第50页例4.设系统L由两个相互独立子系统联接而成，联接方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所表示设L1,L2寿命分别为X与Y，已知它们概率密度分别为其中0，0,试分别就以上两种联结方式写出L寿命Z概率密度第51页小结小结第52页