线性代数总复习省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

线性代数总复习线性代数总复习第1页内容总结内容总结u行列式行列式u矩阵矩阵u线性方程组线性方程组u矩阵相同对角化矩阵相同对角化第2页一、行列式一、行列式第3页知识关键点：知识关键点：u行列式定义行列式定义u行列式性质行列式性质u行列式展开行列式展开u行列式计算（重点掌握）行列式计算（重点掌握）u“Crammer”法则法则第4页行列式定义：行列式定义：一、一、n级排列（逆序数、奇偶性）级排列（逆序数、奇偶性）二、二、n阶行列式定义阶行列式定义尤其注意行列式各项特征尤其注意行列式各项特征项一项一般形式般形式第5页行列式性质行列式性质u换行（换列）反号换行（换列）反号u倍乘增倍性倍乘增倍性u倍加不变性倍加不变性u转置不变性转置不变性u分拆标准，相加标准分拆标准，相加标准第6页行列式展开行列式展开掌握：掌握：1、选取零元素较多行（列）展开；、选取零元素较多行（列）展开；2、将消元和展开结合起来，快速降阶、将消元和展开结合起来，快速降阶.第7页行列式计算（重点）行列式计算（重点）惯用方法惯用方法：u三角化法三角化法u展开降阶法（和消元相结合最为有效）展开降阶法（和消元相结合最为有效）u加边法加边法u归纳法归纳法u化为已知行列式（一些有固定形式行列式，化为已知行列式（一些有固定形式行列式，如：各行元素之和相等、三角形、爪型、如：各行元素之和相等、三角形、爪型、“范德蒙范德蒙”行列式等）行列式等）第8页Crammer法则法则方程个数未知数个数方程个数未知数个数若系数行列式不等于零，则方程组有唯一解若系数行列式不等于零，则方程组有唯一解尤其注意方程组为齐次尤其注意方程组为齐次情况情况第9页本章所需掌握题型：本章所需掌握题型：u行列式计算行列式计算（重点）（重点）1、详细阶数行列式计算、详细阶数行列式计算2、较简单、较简单n阶行列式计算阶行列式计算u与行列式定义、性质相关问题与行列式定义、性质相关问题u需利用行列式进行判定问题需利用行列式进行判定问题如：如：1、“Crammer”法则判定方程组解法则判定方程组解2、矩阵可逆性、矩阵可逆性3、向量组相关性（向量个数向量维数）、向量组相关性（向量个数向量维数）4、两个矩阵相同必要条件、两个矩阵相同必要条件第10页二、矩阵二、矩阵第11页知识关键点：知识关键点：u矩阵基本定义和相关概念矩阵基本定义和相关概念u矩阵关系、运算和变换矩阵关系、运算和变换u分块矩阵分块矩阵u可逆矩阵（分块矩阵求逆方法）可逆矩阵（分块矩阵求逆方法）u初等矩阵初等矩阵和初等变换，逆矩阵求法和初等变换，逆矩阵求法第12页矩阵基本定义和相关概念矩阵基本定义和相关概念u矩阵形状，行数，列数，方阵；矩阵形状，行数，列数，方阵；u常见特殊矩阵：常见特殊矩阵：行、列矩阵，零矩阵（非零矩阵），三行、列矩阵，零矩阵（非零矩阵），三角阵，对角阵，单位阵，数量阵，对称阵，角阵，对角阵，单位阵，数量阵，对称阵，反对称阵、正交阵等；反对称阵、正交阵等；u方阵行列式方阵行列式第13页矩阵关系、运算和变换矩阵关系、运算和变换u矩阵运算：矩阵运算：1.加法、减法、乘法、除法（乘于逆矩阵）加法、减法、乘法、除法（乘于逆矩阵），乘方（只适合用于方阵）尤其注意矩阵运算，乘方（只适合用于方阵）尤其注意矩阵运算中反常情况中反常情况（交换律、消去律、和数运算区分（交换律、消去律、和数运算区分与联络）与联络）.2.矩阵求逆运算矩阵求逆运算.u矩阵关系矩阵关系 同型、相等、互逆；同型、相等、互逆；第14页u矩阵分块处理矩阵分块处理1.分块合理性要求，确保运算可行；分块合理性要求，确保运算可行；2.分块运算标准：分块运算标准：“子块视如元素子块视如元素”、“大转小转大转小转”3.一些特殊分块矩阵一些特殊分块矩阵（行（列）向量组、（行（列）向量组、准对角阵（其逆矩阵）、阶梯型矩阵）准对角阵（其逆矩阵）、阶梯型矩阵）4.特殊分块矩阵特殊分块矩阵求其逆矩阵求其逆矩阵第15页可逆矩阵可逆矩阵u伴随矩阵定义及特征伴随矩阵定义及特征第16页u逆矩阵求法：逆矩阵求法：1.二阶矩阵用伴随矩阵法；二阶矩阵用伴随矩阵法；2.三阶以上普通用初等变换法三阶以上普通用初等变换法.u证实矩阵可逆惯用思绪：证实矩阵可逆惯用思绪：1.利用定义结构矩阵利用定义结构矩阵B，使得，使得ABE；2.证实矩阵行列式不等于零；证实矩阵行列式不等于零；3.证实方阵满秩；证实方阵满秩；第17页本章所需掌握题型：本章所需掌握题型：u矩阵基本运算及运算性质矩阵基本运算及运算性质u较为简单分快矩阵运算和求逆较为简单分快矩阵运算和求逆u伴随矩阵、可逆矩阵伴随矩阵、可逆矩阵1、与伴随矩阵性质相关问题、与伴随矩阵性质相关问题2、矩阵可逆性证实、矩阵可逆性证实3、逆矩阵求法（初等变换法），求简单矩阵、逆矩阵求法（初等变换法），求简单矩阵方程方程4、初等矩阵运算性质、初等矩阵逆矩阵、初等矩阵运算性质、初等矩阵逆矩阵第18页三、向量线性相三、向量线性相 关性关性第19页知识关键点：知识关键点：u向量基本定义和相关概念向量基本定义和相关概念u向量线性关系向量线性关系（1 1）一个向量和向量组关系；）一个向量和向量组关系；（2 2）向量组内部关系；）向量组内部关系；（3 3）向量组与向量组关系）向量组与向量组关系.u向量组秩、矩阵秩向量组秩、矩阵秩第20页重点要求几项技能：重点要求几项技能：u判定或证实向量组线性相关性（行列式，秩，利判定或证实向量组线性相关性（行列式，秩，利用性质）用性质）u求向量组秩、矩阵秩、极大线性无关组及线性表求向量组秩、矩阵秩、极大线性无关组及线性表示示第21页线性表示线性表示（单个向量和向量组关系）（单个向量和向量组关系）有解有解判定方程组判定方程组尤其当表出向量组尤其当表出向量组“向量个数向量维数向量个数向量维数”时，则有：时，则有：系数矩阵、增广系数矩阵、增广矩阵秩矩阵秩对增广矩阵进行初等行变换化阶梯对增广矩阵进行初等行变换化阶梯第22页向量组线性相关性向量组线性相关性（向量组内部关系）向量组内部关系）判定相关性：判定相关性：1、利用定义，尤其重视线性无关判定逻辑过程；、利用定义，尤其重视线性无关判定逻辑过程；2、利用判定方程组（齐次线性方程组）、利用判定方程组（齐次线性方程组）,尤其重尤其重视一些特殊情形下判定；视一些特殊情形下判定；3、利用一些相关性质、利用一些相关性质.第23页几个主要关系：几个主要关系：1、线性相关和线性表示关系；、线性相关和线性表示关系；2、线性相关、线性表示、极大线性无关组和向量、线性相关、线性表示、极大线性无关组和向量组秩关系组秩关系.3、线性表出（或等价）和向量组、线性表出（或等价）和向量组“大小大小”或或“秩秩”关系关系.4、向量组秩和矩阵秩关系、向量组秩和矩阵秩关系.5、方阵秩、行列式、可逆性、行（列）向量组相、方阵秩、行列式、可逆性、行（列）向量组相关性、线性方程组（齐次、非齐次）解况关性、线性方程组（齐次、非齐次）解况.第24页有非零解有非零解判定方程判定方程线性相关性判别线性相关性判别尤其当向量组尤其当向量组“向量个数向量维数向量个数向量维数”时，则有：时，则有：当当向量维数向量维数向量个数向量个数”时，则有向量组必时，则有向量组必线性相关线性相关.第25页与向量组线性相关性相关结论与向量组线性相关性相关结论定理：定理：向量组线性相关充要条件是最少有一个向量能向量组线性相关充要条件是最少有一个向量能够被其余向量线性表出够被其余向量线性表出.定理：定理：向量组线性无关充要条件是任何一个向量均不向量组线性无关充要条件是任何一个向量均不能被其余向量线性表出能被其余向量线性表出.第26页u“短短”向量组无关必有向量组无关必有“长长”向量组无关向量组无关u“长长”向量组相关必有向量组相关必有“短短”向量组相关向量组相关u“多多”向量组无关必有向量组无关必有“少少”向量组无关向量组无关u“少少”向量组相关必有向量组相关必有“多多”向量组相关向量组相关u“等价无关组等价无关组”含有相同含有相同“多、少多、少”通俗记忆通俗记忆第27页任何一个向量组都与其极大线性无关组任何一个向量组都与其极大线性无关组等价等价.一个向量组极大线性无关组不唯一，且一个向量组极大线性无关组不唯一，且彼此等价，且含有相同个数向量彼此等价，且含有相同个数向量（秩）（秩）.极大线性无关组和向量组秩，矩阵秩极大线性无关组和向量组秩，矩阵秩1、向量组线性无关、向量组线性无关 当且仅当当且仅当其其“秩秩”等于等于向量组所含向量组所含向量个数向量个数.2、向量组线性相关、向量组线性相关 当且仅当当且仅当其其“秩秩”小于小于向量组所含向量组所含向量个数向量个数.两个两个等价等价向量组必定含有相同向量组必定含有相同秩秩.（反之不正确）（反之不正确）第28页u初等变换不改变矩阵初等变换不改变矩阵秩秩.u等价矩阵含有相同等价矩阵含有相同秩秩.u矩阵转置，矩阵转置，秩秩不变不变.u任何矩阵与可逆矩阵相乘，任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩秩不变不变.1.不改变列部分组线性相关性不改变列部分组线性相关性.2.将列极大无关组变为列极大无关组将列极大无关组变为列极大无关组.3.不改变矩阵列向量组线性表出方式不改变矩阵列向量组线性表出方式.初等行变换：初等行变换：第29页求向量组秩、极大无关组，表示方式求向量组秩、极大无关组，表示方式行阶梯行阶梯型矩阵型矩阵一个极大无关组一个极大无关组原向量组一个极大无关组原向量组一个极大无关组第30页第31页第32页相关于向量组秩和矩阵等式和不等式相关于向量组秩和矩阵等式和不等式第33页本章所需掌握题型：本章所需掌握题型：u向量组线性相关性判定或证实向量组线性相关性判定或证实u向量组线性表示判定或证实向量组线性表示判定或证实u求向量组秩、极大线性无关组、将其余向量用极求向量组秩、极大线性无关组、将其余向量用极大无关组表示大无关组表示u与向量组或矩阵秩相关问题与向量组或矩阵秩相关问题第34页线性方程组线性方程组第35页重点：重点：利用增广矩阵初等变换判定方程组解利用增广矩阵初等变换判定方程组解况，并求出解（或通解）况，并求出解（或通解）第36页AX=b有解有解 R(A)=R(A,b)Rn 无穷解无穷解无解无解 R(A)R(A,b)R=n 唯一解唯一解n-r个自由未知量个自由未知量普通（非齐次）线性方程组解况判定：普通（非齐次）线性方程组解况判定：第37页AX=0Rn 无穷多解无穷多解（有非零解）（有非零解）R=n 唯一解唯一解（只有零解）（只有零解）n-r个自由未知量个自由未知量必有零解必有零解尤其，当尤其，当方程个数方程个数 变元个数变元个数时，方程必时，方程必有非零解有非零解.齐次线性方程组解况判定：齐次线性方程组解况判定：第38页齐次方程组和非齐次线性方程组解结构：齐次方程组和非齐次线性方程组解结构：u齐次线性方程组基础解系特征（尤其所含解向齐次线性方程组基础解系特征（尤其所含解向量个数）以及通解表示，求法；量个数）以及通解表示，求法；u非齐次线性方程组解结构，通解表示以及求法非齐次线性方程组解结构，通解表示以及求法注意所介绍简单求法注意所介绍简单求法第39页本章所需掌握题型：本章所需掌握题型：u含参数线性方程组解况以及求解含参数线性方程组解况以及求解u与齐次方程组基础解系特征，通解特征，非齐与齐次方程组基础解系特征，通解特征，非齐次线性方程组通解特征相关问题次线性方程组通解特征相关问题u需利用线性方程组解况判定相关问题，如向量需利用线性方程组解况判定相关问题，如向量组线性相关性，线性表示等等组线性相关性，线性表示等等第40页矩阵矩阵相同对角化相同对角化第41页本章所需掌握题型：本章所需掌握题型：u与特征值、特征向量相关问题与特征值、特征向量相关问题1、特征问题、特征多项式、特征矩阵，特征值、特征问题、特征多项式、特征矩阵，特征值、特征向量求法；特征向量求法；2、由矩阵运算或变型所演化出来特征值、特征向、由矩阵运算或变型所演化出来特征值、特征向量（逆矩阵、伴随矩阵、矩阵多项式等）量（逆矩阵、伴随矩阵、矩阵多项式等）3、方阵、实对称矩阵特征值、特征向量性质、方阵、实对称矩阵特征值、特征向量性质u相同矩阵相同矩阵1、相同矩阵一些性质、相同矩阵一些性质2、矩阵可相同对角化充要条件、充分条件、矩阵可相同对角化充要条件、充分条件第42页期末考试基本题型：期末考试基本题型：l选择题（选择题（67题，题，14分左右）分左右）l填空题（填空题（78题，题，16分左右）分左右）l计算题（计算题（60分左右）分左右）1、行列式计算（详细、简单、行列式计算（详细、简单n阶）阶）2、矩阵运算（求逆矩阵或解简单矩阵方程）、矩阵运算（求逆矩阵或解简单矩阵方程）3、求向量组秩、极大无关组、线性表示、求向量组秩、极大无关组、线性表示4、解含参数线性方程组（分析解况、求解）、解含参数线性方程组（分析解况、求解）5、矩阵特征值、相同对角化、矩阵特征值、相同对角化l综合题或证实题（综合题或证实题（8分左右）分左右）第43页