1、高数下册总复习知识点归纳高数下册总复习知识点归纳软件三班 jason第1页第八章 向量代数与空间解析几何总结各各章章节节知知识识点点归归纳纳第十张：重积分，三重积分第十一章：曲线积分与曲面积分第十二章：无穷级数第九章多元函数微分法第九章多元函数微分法第2页向量分解式：向量分解式：在三个坐标轴上分向量：在三个坐标轴上分向量：向量坐标表示式：向量坐标表示式：向量坐标：向量坐标：1 1、向量坐标表示法、向量坐标表示法（一）向量代数（一）向量代数第八章 向量代数与空间解析几何总结第3页向量加减法、向量与数乘积等坐标表示式向量加减法、向量与数乘积等坐标表示式第4页向量模长坐标表示式向量模长坐标表示式向量
2、方向余弦坐标表示式向量方向余弦坐标表示式第5页它们距离为它们距离为两点间距离公式两点间距离公式:第6页2 2、数量积、数量积(点积、内积点积、内积)数量积坐标表示式数量积坐标表示式两向量夹角余弦坐标表示式两向量夹角余弦坐标表示式第7页3 3、向量积、向量积(叉积、外积叉积、外积)向量积坐标表示式向量积坐标表示式第8页方程特点方程特点:1.旋转曲面旋转曲面（二）空间解析几何（二）空间解析几何第9页旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面第10页xyz旋转抛物面旋转抛物面oyzx第11页旋旋转转椭椭球球面面ozyx第12页（2）圆锥面）圆锥面（1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双
3、曲面第13页2.柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动直线移动直线L所形成曲面称之所形成曲面称之.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面准线准线，动直线叫柱，动直线叫柱面面母线母线.第14页从柱面方程从柱面方程(特征特征:二元方程二元方程)看柱面看柱面特征特征：（其它类推）（其它类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 母线母线/轴轴双曲柱面双曲柱面 母线母线/轴轴抛物柱面抛物柱面 母线母线/轴轴第15页抛物柱面抛物柱面xyzxyz椭圆柱面椭圆柱面双曲柱面双曲柱面xyz第16页3.二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示曲面称为二次曲面三元二次方程所表示曲面称为二次曲面.
4、（1）椭球面）椭球面（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面第17页特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上抛物线面上抛物线 绕它轴旋转绕它轴旋转而成）而成）第18页（3）马鞍面）马鞍面（4）单叶双曲面）单叶双曲面（5）圆锥面）圆锥面第19页4.4.空间曲线空间曲线1 空间曲线普通方程空间曲线普通方程2 空间曲线参数方程空间曲线参数方程第20页CCC关于关于 投影柱面投影柱面C在在 上投影曲线上投影曲线Oxzy设曲线设曲线 则则C关于关于xoy面投影柱面面投影柱面方程应为消方程应为消z后方程后方程：所以所以C在在xoy面上投影面上投影曲线方程为：曲线方程为：3 空间
5、曲线在坐标面上投影空间曲线在坐标面上投影第21页5.5.平面平面1 平面点法式方程平面点法式方程2 平面普通方程平面普通方程3 平面截距式方程平面截距式方程第22页4 平面夹角平面夹角5 两平面位置特征：两平面位置特征：/重合重合第23页1 1、偏导数概念、偏导数概念第九章多元函数微分法第九章多元函数微分法第24页第25页2、全微分公式、全微分公式用定义证实可微与不可微方法用定义证实可微与不可微方法可微可微不可微不可微第26页多元函数连续、可导、可微关系多元函数连续、可导、可微关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导有极限有极限3、关系、关系第27页4 4、多元
6、复合函数求导法则、多元复合函数求导法则定理定理1 若函数若函数在点在点 处偏导连续处偏导连续,在点在点 t 可导可导,则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则中间变量均为一元函数情形中间变量均为一元函数情形在点在点t处可导，处可导，公式记忆方法：连线相乘，分线相加公式记忆方法：连线相乘，分线相加.第28页5 5、全微分形式不变性、全微分形式不变性 不论不论 是自变量是自变量 函数或中间变量函数或中间变量 函数，它全微分形式是一样函数，它全微分形式是一样.第29页定理定理1 1 设函数设函数单值连续函数单值连续函数 y=f(x),并有连续并有连续(隐函数求导公式隐函数求导公式)含有连续偏导数
7、含有连续偏导数;某邻域内可唯一确定一个某邻域内可唯一确定一个某一邻域内满足某一邻域内满足满足条件满足条件导数导数在点在点则方程则方程在点在点6 6、隐函数求导法则、隐函数求导法则第30页定理定理2 2 某邻域内含有连续偏导数某邻域内含有连续偏导数 ;则方程则方程在点在点并有连续偏导数并有连续偏导数定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足满足 在点在点若函数若函数 满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确第31页定理定理3 3某一邻域内含有连续偏某一邻域内含有连续偏导数导数设函数设函数则方程组则方程组单值连续函数单值连续函数计算偏导数按直接法求解计算偏导数按直接法求解.
8、在点在点某一邻域内可唯一确定一组满足条件某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足满足:在点在点第32页7 7、微分法在几何上应用、微分法在几何上应用切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为(1)空间曲线切线与法平面空间曲线切线与法平面(关键关键:抓住切向量抓住切向量)第33页1）空间曲线方程为）空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：(取取 为参数为参数)第34页2）空间曲线方程为）空间曲线方程为(取取 为参数为参数)切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为第35页()曲面切平面与法线曲面切平面与法线 切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为(关键关键:抓住法向量抓住法向
9、量)第36页曲面在曲面在M处切平面方程为处切平面方程为曲面在曲面在M处法线方程为处法线方程为令令则则（特殊情形）（特殊情形）第37页8 8、方向导数、方向导数记为记为（1）方向导数定义及存在充分条件）方向导数定义及存在充分条件第38页三元函数方向导数定义三元函数方向导数定义方向导数存在性及其计算方法方向导数存在性及其计算方法:定理定理那么那么函数在函数在该点沿任一方向该点沿任一方向 方向导数存在方向导数存在,且有且有第39页说明说明:可微可微沿任一方向方向导数存在沿任一方向方向导数存在.反之不一定成立反之不一定成立.(2)梯度概念梯度概念记为记为 第40页梯度与方向导数关系梯度与方向导数关系第
10、41页、二重积分几何意义、二重积分几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积代数和当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积代数和.1 1、二重积分定义、二重积分定义第十张：重积分，三重积分第42页3 3、二重积分计算、二重积分计算X型型 X-型区域特点型区域特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴直轴直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下第43页 Y型区域特点型区域特点：
11、穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴直线轴直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.Y型型第44页求二重积分方法步骤求二重积分方法步骤:1.作图求交点；作图求交点；2.选择积分次序；选择积分次序；4.计算计算.(先内积分后外积分先内积分后外积分;计算内积分时把计算内积分时把在累次积分不易积或不能积时在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序应考虑交换积分次序.(把把D写成不等式形式写成不等式形式)；外积分变量看成常数外积分变量看成常数)3.确定积分限确定积分限第45页1、选择积分次序、选择积分次序(1)首先被积函数要易积分，能积分；首先被积函数要易积分，能积分；(2)积
12、分区域积分区域D尽可能少分块尽可能少分块.2、确定积分限、确定积分限计算二重积分两个关键：计算二重积分两个关键：内限内限平行线穿越法平行线穿越法.外限外限 投影法；投影法；第46页（2）极坐标系下）极坐标系下第47页2、定限方法、定限方法内限（内限（限）限）射线穿越法射线穿越法.外限（外限（限）限）看看 夹在那两条射线之间；夹在那两条射线之间；利用极坐标计算二重积分应注意：利用极坐标计算二重积分应注意：积分次序积分次序先先后后1、何时用极坐标？何时用极坐标？1、当积分区域为圆域或其一部分时、当积分区域为圆域或其一部分时 ；2、被积函数中含有、被积函数中含有 或或 时时.3、用直角坐标求不出积分、用直角坐标求不出积分.第48页4 4、二重积分应用、二重积分应用(1)体积体积设设S曲面方程为：曲面方程为：曲面曲面S面积为面积为(2)曲面积曲面积设设 上连续，上连续，曲顶柱体曲顶柱体顶顶被积函数；被积函数；底底积分区域积分区域.(3)求质量求质量第49页6、三重积分几何意义、三重积分几何意义7 7、三重积分性质、三重积分性质类似于二重积分性质类似于二重积分性质5 5、三重积分定义、三重积分定义第50页
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