B样条曲线专题教育课件市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

计算机科学与技术系计算机科学与技术系第第6章章曲曲线线曲曲面面（B样条曲线）样条曲线）第1页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期二、二、B B样条曲线样条曲线.从从 Bezier Bezier 曲线到样条曲线曲线到样条曲线(1)Bezier(1)Bezier 曲线在应用中不足：曲线在应用中不足：缺乏灵活性一旦确定了特征多缺乏灵活性一旦确定了特征多边形顶点数边形顶点数(m(m个个)，也就决定了曲，也就决定了曲线阶次线阶次(m-1(m-1次次)，无法更改；，无法更改；控制性差当顶点数较多时，曲控制性差当顶点数较多时，曲线阶次将较高，此时，特征多边形线阶次将较高，此时，特征多边形对曲线形状控制将显著减弱；对曲线形状控制将显著减弱；第2页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期 不易修改由曲线混合函数可不易修改由曲线混合函数可看出，其值在开区间看出，其值在开区间(0,1)(0,1)内均不为内均不为零。所以，所定义之曲线在零。所以，所定义之曲线在(0 t 1)(0 t 1)区间内任何一点均要受到全部顶区间内任何一点均要受到全部顶点影响，这使得对曲线进行局部修点影响，这使得对曲线进行局部修改成为不可能。改成为不可能。（而在外形设计中，（而在外形设计中，局部修改是随时要进行）局部修改是随时要进行）第3页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期为了克服为了克服 Bezier Bezier 曲线存在问题，曲线存在问题，Gordon Gordon 等人拓展了等人拓展了 Bezier Bezier曲线，就曲线，就外形设计需求出发，希望新曲线外形设计需求出发，希望新曲线要：要：易于进行局部修改；易于进行局部修改；更迫近特征多边形；更迫近特征多边形；是低阶次曲线。是低阶次曲线。于是，用于是，用 n n次样条基函数替换了伯次样条基函数替换了伯恩斯坦基函数，结构了称之为样条恩斯坦基函数，结构了称之为样条曲线新型曲线。曲线新型曲线。第5页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期2.2.样条曲线数学表示式样条曲线数学表示式样条曲线数学表示式为：样条曲线数学表示式为：控制顶点控制顶点在上式中在上式中t1,i=0,1,2,mt1,i=0,1,2,m所以能够看出：所以能够看出：样条曲线是分段定样条曲线是分段定义。假如给定义。假如给定 m+n+1 m+n+1 个顶点个顶点 Pi(i=Pi(i=0,1,2,m+n)0,1,2,m+n)，则可定义，则可定义 m+1 m+1 段段 n n 次参数曲线。次参数曲线。B样条基函数样条基函数第6页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期式中：t 1 k=0,1,2,n 在以上表示式中：在以上表示式中：F Fk,nk,n(t)(t)为为n n次次B B样条基函数，也称样条基函数，也称样条分段混合函数。其表示式为：样条分段混合函数。其表示式为：第7页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期连接全部曲线段所组成整条曲线称连接全部曲线段所组成整条曲线称为为 n n 次样条曲线。依次用线段连接次样条曲线。依次用线段连接点点 P Pi+ki+k(k=0,1,n)(k=0,1,n)所组成多边折所组成多边折线称为样条曲线在第线称为样条曲线在第i i段特征多段特征多边形。边形。第8页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期.二次二次样条曲线样条曲线在二次样条曲线中，在二次样条曲线中，n=2,k=0,1,2n=2,k=0,1,2故其基函数形式为：故其基函数形式为：第9页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期 有了基函数，所以可写出二次样条有了基函数，所以可写出二次样条曲线分段表示式为：曲线分段表示式为：(i=0,1,2,m)m+1段第10页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期写成普通矩阵形式为：写成普通矩阵形式为：式中，式中，k k为分段曲线特征多边形为分段曲线特征多边形顶点：顶点：B B0 0,B,B1 1,B,B2 2。对于第。对于第i i段曲线段曲线B Bk k 即为：即为：P Pi i,P,Pi+1i+1,P,Pi+2i+2 连续三个顶连续三个顶点。（见下列图）点。（见下列图）第11页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期n=2,n=2,二次二次B B样条曲线样条曲线m+n+1m+n+1个顶点，三个顶点，三点一段，共点一段，共m+1m+1段。段。i=0P0,2(t)i=1P1,2(t)第12页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期二次样条曲线性质二次样条曲线性质先对 P(t)求导得：然后分别将 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t)和 P(t)，可得：P(0)=1/2(B0+B1),P(1)=1/2(B1+B2);P(0)=B1-B0,P(1)=B2-B1;P(1/2)=1/21/2P(0)+P(1)+B1 P(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)-P(0)第13页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期与以上这些式子所表示性质相符曲线是何种形状：（见下列图）是什么曲线？与Bezier曲线有何差异？第14页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期结论：分段二次结论：分段二次B B样条曲线是一条抛样条曲线是一条抛物线；有物线；有n n个顶点定义二次个顶点定义二次B B样条曲样条曲线，其实质上是线，其实质上是n-2n-2段抛物线（相邻三段抛物线（相邻三点定义）连接，并在接点处到达一点定义）连接，并在接点处到达一阶连续。（见下列图）阶连续。（见下列图）F282.c二次二次B-样条曲线样条曲线第15页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期.三次样条曲线三次样条曲线分段三次样条曲线由相邻四个顶点分段三次样条曲线由相邻四个顶点定义，其表示式为：定义，其表示式为：P(t)=FP(t)=F0,30,3(t)(t)B B0 0+F+F1,31,3(t)(t)B B1 1+F+F2,32,3(t)(t)B B2 2+F+F3,33,3(t)(t)B B3 3(0 0t1)t1)可见，由可见，由 n n 个顶点定义完整三次个顶点定义完整三次样条曲线是由样条曲线是由 n-3 n-3 段分段曲线连接段分段曲线连接而成。很轻易证实，三次样条曲而成。很轻易证实，三次样条曲线在连接处到达二阶连续。线在连接处到达二阶连续。*F281.c三次三次B-样条曲线样条曲线第16页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期样条曲线是一个非常灵活曲线，曲线样条曲线是一个非常灵活曲线，曲线局部形状受对应顶点控制很直观。这局部形状受对应顶点控制很直观。这些顶点控制技术假如利用得好，能够使整些顶点控制技术假如利用得好，能够使整个样条曲线在一些部位满足一些特殊技个样条曲线在一些部位满足一些特殊技术要求。如：术要求。如：能够在能够在曲线中结构一段直线；曲线中结构一段直线；使曲线与特征多边形相切；使曲线与特征多边形相切；使曲线经过指定点；使曲线经过指定点；指定曲线端点；指定曲线端点；指定曲线端点约束条件。指定曲线端点约束条件。第17页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期 对于特征多边形迫近性对于特征多边形迫近性 二次二次B B样条曲线优于三次样条曲线优于三次B B样条曲线样条曲线 三次三次BezierBezier曲线优于二次曲线优于二次BezierBezier曲线曲线 相邻曲线段之间连续性相邻曲线段之间连续性 二次二次B B样条曲线只到达一阶导数连续样条曲线只到达一阶导数连续 三次三次B B样条曲线则到达二阶导数连续样条曲线则到达二阶导数连续 角点修改对曲线形状影响角点修改对曲线形状影响 Bezier Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线形状。曲线：修改一个角点将影响整条曲线形状。B B样条曲线：修改一个角点只影响该角点所在位置前后样条曲线：修改一个角点只影响该角点所在位置前后 三段曲线形状。三段曲线形状。B样条曲线适用范围样条曲线适用范围第18页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期角点重合和角点共线(*)二重角点二重角点 若要使B样条曲线与特征多边形相切，可利用二重角 点方法。Q0Q1Q3Q2Q4P1P2Q（0-1）P0Q0Q1Q3Q2Q4P1P2Q（0-1）第19页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期 三重角点 若要使若要使B B样条曲线产生一个尖点，可利用三重角样条曲线产生一个尖点，可利用三重角 点方法。点方法。Q1Q4Q3Q2Q5P1P2Q0P0Q6P3P4第20页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期 三角点共线 若要使B样条曲线产生反向弧切接效果，可利用三角点共线方法。Q1Q4Q3Q2P0P2Q0P1。第21页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期 四角点共线 若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可利用四角点共线方法。Q1Q4Q3Q2P0P2Q0P1。Q5P3第22页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期6.5 Bzier曲面和B样条曲面6.5.1 Bzier曲面第23页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期曲面形状、位置由边界上四个角点决定。中间角点只反应曲面形状、位置由边界上四个角点决定。中间角点只反应曲面凹凸程度。曲面凹凸程度。BzierBzier曲面及控制网格演示动画曲面及控制网格演示动画第24页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期 Bezier曲面B Bezier曲面是Bezier曲线扩展，B Bezier曲面边界限就是由四条Bezier曲线组成。三次Bezier曲线段由四个控制点确定，三次Bezier曲面片则由 控制点确定。16个控制点组成一个矩阵：B=Q00Q10Q20Q30Q01Q11Q21Q31Q02Q12Q22Q32Q03Q13Q23Q33Q00Q10Q20Q30Q01Q31Q32Q02Q03Q33Q13Q23Q11Q21Q12Q22wu第25页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期给定空间给定空间16个位置点个位置点bij，能够确定，能够确定一张三次一张三次Bezier曲面片。曲面片。q 由曲线拓展为Bzier曲面rijuvuvV*uv 依据依据“线动成面线动成面”思想，按设定间隔思想，按设定间隔取取 ，在四条，在四条v v线上取点，沿线上取点，沿u u向向生成三次生成三次BezierBezier曲线：曲线：将将u,v向曲线方程合并得：向曲线方程合并得：首先生成四条首先生成四条v向三次向三次Bezier曲线：曲线：第26页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期Bzier曲面定义 在空间中给定在空间中给定(n+1)(m+1)个点，称以个点，称以下张量积形式下张量积形式参数多项式曲面为参数多项式曲面为nm次次Bzierzier曲面曲面:贝塞尔曲面表示式以下：贝塞尔曲面表示式以下：nmP(u,v)=bi,jBi,n(u)Bj,m(v)0u,v1i=0j=0贝塞尔曲面中应用最广泛是双贝塞尔曲面中应用最广泛是双3次贝塞尔曲面，它次贝塞尔曲面，它由给出由给出4*4个网格点唯一决定个网格点唯一决定.第27页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期P04P03P02P40P30P20P10P00P01P11P21P31P41P14P(u,0)P(0,v)图9.15 Bzier曲面控制网格普通称普通称 为为 控制顶点，把由控制顶点，把由 和和 组成网格称组成网格称为为 控制网格，记为控制网格，记为 ,如图如图9.159.15所表示。所表示。第28页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期BzierBzier曲面矩阵表示是：曲面矩阵表示是：第29页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期控制网格四个角点控制网格四个角点 是曲面是曲面 四四个端点。决定了曲线形状，位置。个端点。决定了曲线形状，位置。P03P02P30P20P10P01P11P21P31P41P14P(u,0)P(0,v)Bzier曲面端点和边界限(1)(1)端点位置端点位置BzierBzier曲面含有以下性质：曲面含有以下性质：P04P40P00第30页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期(2)(2)边界限位置边界限位置 4条边界限 ，是Bzier曲线，它们分别以 ，为控制多边形。P03P02P30P20P10P01P11P21P31P41P14P(u,0)P(0,v)Bzier曲面端点和边界限P04P40P00第31页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期双一次双一次Bezier曲面：取曲面：取m=n=1。这是。这是一张双曲抛物面（马鞍面）一张双曲抛物面（马鞍面）；双二次双二次Bezier曲面：取曲面：取m=n=2。该曲。该曲面四条边界是抛物线。面四条边界是抛物线。；双三次双三次Bezier曲面：取曲面：取m=n=3；注：矩阵表示见书本注：矩阵表示见书本第32页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期曲面片1曲面片2 Beziet曲面片拼接边界限P0,0Q3,0P3,3(Q0,3)P0,3Q3,3P3,1(Q0,1)P3,0(Q0,0)P3,2(Q0,2)P(u,v)Q(u,v)第36页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期设设节节点点向向量量 ,(,)分分别别是是对对参参数数 平平面面 轴轴和和 轴轴分分割割，如如图图1 1所所表表示示。称称以以下下张张量量积积形形式式参数曲面为参数曲面为 (k (kn n,h,hm m)阶阶B B样条曲面样条曲面 ,u uk k-1-1u uu un n1 1,v vh h-1-1v vv vm m1 1其中其中 是空间中给定是空间中给定(n+n+1)(1)(m m+1)+1)个网格点，通常称为个网格点，通常称为 控制控制顶点。顶点。，分别是关于节点向量分别是关于节点向量U,VkU,Vk阶和阶和h h阶阶B B样条基函数。样条基函数。6.5.2 B样条曲面定义和性质vm 图1 uv平面分割u0u1uiunv0v1vju2v2第38页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期由两组多边形由两组多边形 ()和和 ()组成网格（如图组成网格（如图2）称为）称为 控制控制网格，简记为网格，简记为 。P P00P P01P P10P P04P P20P P40图2 B样条曲面及其控制网格第39页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期d24uvd42d43d44d11d12d13d14d21d23d31d32d33d34C4C3C1C2d41d22q均匀均匀B样条曲面样条曲面给定给定16个顶点个顶点dij(i=1,2,3,4j=1,2,3,4)组成特征网格，能够定义一张曲面片。组成特征网格，能够定义一张曲面片。用用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4)构建四条构建四条V向曲线向曲线C1、C2、C3和和C4(图中虚图中虚线线);参数参数v在在0,1之间取之间取值值vk，对应于，对应于vk曲线曲线C1、C2、C3和和C4上可得到上可得到v1k、v2k、v3k和和v4k四个点，四个点，该四点组成该四点组成u向一个特向一个特征多边形，定义一条新征多边形，定义一条新曲线曲线P(u,vk)；uvC4C3C1C2V1kV3kV4kV2k当参数当参数vk在在0,1之间取不一样之间取不一样值时，值时，P(u,vk)沿箭头方向扫描，沿箭头方向扫描，即得到由给定特征网格即得到由给定特征网格dij(i=1,2,3,4j=1,2,3,4)定义双三定义双三次均匀次均匀B样条曲面片样条曲面片P(u,v)。第40页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期与与BzierBzier曲面一样，曲面一样，是对曲面是对曲面 大致形状勾画，大致形状勾画，是对是对 迫近。迫近。B B样样条曲面也含有局部调整性、凸包性、几条曲面也含有局部调整性、凸包性、几何不变性等，它控制网格也是人机交互何不变性等，它控制网格也是人机交互伎俩，也能够经过一些算法对其进行计伎俩，也能够经过一些算法对其进行计算，这些都与算，这些都与B B样条曲线情况类似。样条曲线情况类似。第41页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期双三次B样条曲面片b样条曲面第42页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期6.6试验曲线绘制方法试验曲线绘制方法1 1、最小二乘法、最小二乘法在科学研究中，经过试验或测量，能够取得大量试在科学研究中，经过试验或测量，能够取得大量试验数据。普通在取得数据之后，对这些数据进行某种验数据。普通在取得数据之后，对这些数据进行某种处理，然后绘成图形。处理，然后绘成图形。但因为试验本身会受到各种详细原因影响，使得经但因为试验本身会受到各种详细原因影响，使得经过试验测得数据或多或少地带有误差。也就是说，这过试验测得数据或多或少地带有误差。也就是说，这些试验数据本身并不准确。所以假如仅仅是简单地将些试验数据本身并不准确。所以假如仅仅是简单地将这些数据点连成曲线，那么这种看起来似乎很准确方这些数据点连成曲线，那么这种看起来似乎很准确方法恰恰是不符合实际情况，也是不可取。法恰恰是不符合实际情况，也是不可取。正确方法应该是用一条平滑曲线以适当方式来尽可正确方法应该是用一条平滑曲线以适当方式来尽可能地靠近这些数据点，以填补因为误差造成数据点跳能地靠近这些数据点，以填补因为误差造成数据点跳动。动。第43页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期 那么对于一系列数据点（那么对于一系列数据点（x xi i,y,yi i）（）（i=1,2ni=1,2n），所），所要绘制曲线要绘制曲线y=f(x)y=f(x)，用什么样标准来评价这条曲线是，用什么样标准来评价这条曲线是否处于较为合理状态呢？否处于较为合理状态呢？通常把数据点坐标值与曲线上对应坐标值之差通常把数据点坐标值与曲线上对应坐标值之差作为评判标准：作为评判标准：i：称为残差f(xi)：为理论值yi：为对应实测值 惯用评判方法是：使残差平方和即惯用评判方法是：使残差平方和即 到达最小。到达最小。这也就是所谓最小二乘法。这也就是所谓最小二乘法。第44页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期 用最小二乘法来绘制试验曲线，其实质也就是要找用最小二乘法来绘制试验曲线，其实质也就是要找出一个经验方程出一个经验方程y=f(x)y=f(x)用来描述这些点。所以，工作用来描述这些点。所以，工作第一步首先要依据已知数据点分布情况进行一下预测，第一步首先要依据已知数据点分布情况进行一下预测，经验方程可能属于什么类型，比如说是线形函数，还经验方程可能属于什么类型，比如说是线形函数，还是其它阶次多项式函数。是其它阶次多项式函数。2 2、用最小二乘法拟合直线、用最小二乘法拟合直线 设有测得一组数据点（设有测得一组数据点（x xi i,y,yi i）（）（i=1,2ni=1,2n）。依）。依据这些数据点分布情况，预测到它们之间呈线形关据这些数据点分布情况，预测到它们之间呈线形关系：系：那末，可按最小二乘法原理建立起下面式子：那末，可按最小二乘法原理建立起下面式子：第45页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期（x xi i,y,yi i）为测得已知数据点值，故这个方程是关于）为测得已知数据点值，故这个方程是关于a a1 1和和a a2 2函数，即：函数，即：当当a a1 1和和a a2 2为何值时，该函数为何值时，该函数f(af(a1 1,a,a2 2)能取得极小值。能取得极小值。这是一个二元函数求极值问题，其条件为：这是一个二元函数求极值问题，其条件为：第46页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期展开整理后得：展开整理后得：写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：求解该方程组可解出未知数求解该方程组可解出未知数a a1 1和和a a2 2值，从而使线形值，从而使线形函数表示式：函数表示式：成为已知，并可依据该表示式绘出图形。成为已知，并可依据该表示式绘出图形。第47页赤峰学院计算机系赤峰学院计算机系 计算机图形学计算机图形学 08-09 08-09第二学期第二学期1.双二次Bezier曲面4条边界都是抛物线，其特征网格有（）个顶点。A）8B）9C）10D）16第48页