origin曲线拟合省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第三章第三章 曲线拟合最小二乘法曲线拟合最小二乘法 /函数平方迫近初步函数平方迫近初步华长生制作1第1页曲线拟合问题曲线拟合问题:(建立试验数据模型)在实际应用中，往往并不需要曲线经过给定数据点，而只要求用曲线(函数)近似代替给定列表函数时，其 误差在某种度量意义下最小。函数迫近问题函数迫近问题:(连续函数迫近)在实际应用中常需为解析式子比较复杂函数寻找一个简单函数来近似代替它，并要求其误差在某种度量意义下最小。可统称为最正确迫近问题最正确迫近问题 3.1 拟合与迫近问题拟合与迫近问题第2页一一一一.问题提出问题提出问题提出问题提出插值法是使用插值多项式来迫近未知或复杂函数，它要求插值函数与被插函数在插值节点上函数值相同，而在其它点上没有要求。在非插值节点上有时函数值会相差很大。若要求在被插函数定义区间上都有很好近似，就是最正确迫近问题。必须找到一个度量标准来衡量什么是最正确迫近.第3页最正确一致迫近最正确一致迫近是在函数空间M中选P(x)满足但因为绝对值函数不宜进行分析运算，常替之以来讨论，于是最正确迫近问题变为最正确平方迫近问题这即为连续函数最正确平方迫近.对于离散问题，最正确平方逼近问题为:就是常说曲线拟合最小二乘法.最正确迫最正确迫最正确迫最正确迫近近近近第4页二二.预备知识预备知识内积内积:第5页常采取内积与范数常采取内积与范数第6页第7页第8页1.正交函数族与正交多项式 定义1若f(x),g(x)Ca,b,(x)为a,b上权函数 且满足:则称f(x)与g(x)在a,b上带权(x)正交正交。正交多项式正交多项式 第9页若函数族 0(x),1(x),n(x),满足关系则称k(x)是a,b上带权(x)正交函数族正交函数族。比如，三角函数族 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,就是在区间-,上正交函数族。第10页定义2设 n(x)是a,b上首项系数 an0 n次多项式,(x)为a,b上权函数，假如多项式序列 满足关系式:则称为多项式序列为在a,b上带权(x)正交正交，称n(x)为a,b上带权(x)n次正交多项式正交多项式。第11页 只要给定区间a,b及权函数(x),均可由一族线性无关幂函数1,x,xn,利用逐一正交化手续(Gram-Schmidt正交化方法)：结构出正交多项式序列。第12页2.勒让德多项式 定义3 当区间为-1,1,权函数(x)1 时,由1,x,xn,正交化得到多项式就称为勒让德(Legendre)多项式,并用 P0(x),P1(x)，Pn(x)，表示。这是勒让德于1785年引进。18罗德利克(Rodrigul)给出了简单表示式：第13页 因为(x2-1)n是2n次多项式，求n阶导数后得到于是得首项 xn系数显然最高项系数为1勒让德多项式为:第14页勒让德多项式有下述几个主要性质：性质1.正交性性质2.奇偶性 pn(-x)=(-1)n pn(x)性质3.递推关系(n+1)pn+1(x)=(2n+1)xpn(x)-npn-1(x)(n=1,2,)(*)由p0(x)=1，p1(x)=x，利用(*)就可推出pn(x)表示式:第15页性质4.pn(x)在区间-1，1内有n个不一样实零点。第16页实例：考查某种纤维强度y与其拉伸倍数x关系，下表是实际测定24个纤维样品强度与对应拉伸倍数统计:一一.实例讲解实例讲解第17页纤维强度随拉伸纤维强度随拉伸倍数增加而增加倍数增加而增加而且而且24个点大致分个点大致分布在一条直线附近布在一条直线附近-(1)第18页必须找到一个度量标准来衡量什么曲线最靠近全部数据点.二、二、问题提法问题提法问题提法问题提法第19页定义定义平方误差平方误差(偏差平方和偏差平方和):第20页我们选取度量标准是-(2)-(3)使得第21页第22页三、法方程组三、法方程组由可知所以可假设所以求最小二乘解转化为二次函数第23页由多元函数取极值必要条件得即第24页-(4)即第25页引入记号则由内积概念可知-(5)-(6)显然内积满足交换律第26页方程组(4)便可化为-(7)将其表示成矩阵形式-(8)第27页而且其系数矩阵为对称阵.依据Cramer法则,法方程组有唯一解第28页即是最小值所以所以第29页作为一个简单情况,基函数之间内积为平方误差第30页例1.回到本节开始实例，从散点图能够看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组依据内积公式，可得第31页法方程组为解得平方误差为第32页拟合曲线与散点关系如右图:第33页四、加权最小二乘法四、加权最小二乘法各点主要性可能是不一样权权:即权重或者密度，统称为权系数.定义加权平方误差为-(9)第34页使得第35页由多元函数取极值必要条件得即第36页引入记号定义加权内积-(10)第37页矩阵形式(法方程组)为方程组(10)式化为-(11)-(12)第38页平方误差为作为特殊情形,用多项式作拟合函数法方程组为-(13)第39页五、最小二乘原理其它应用五、最小二乘原理其它应用1、算术平均：最小二乘意义下误差最小2、超定方程组最小二乘解 P103 例3.3.3第40页1.最正确平方迫近问题最正确平方迫近问题-(14)第41页2.解法解法(法方程法方程)-(15)第42页第43页第44页最小二乘法方法评注 曲线拟合最小二乘法是试验数据处理惯用曲线拟合最小二乘法是试验数据处理惯用方法。最正确迫近能够在一个区间上比较均匀方法。最正确迫近能够在一个区间上比较均匀迫近函数。含有方法简单易行，实效性大，应迫近函数。含有方法简单易行，实效性大，应用广泛等特点。用广泛等特点。但当法方程组阶数较高时，往往出现病态。但当法方程组阶数较高时，往往出现病态。所以必须慎重对待和加以巧妙处理。有效方法所以必须慎重对待和加以巧妙处理。有效方法之一是引入正交多项式以改进其病态性（介绍之一是引入正交多项式以改进其病态性（介绍基本思想）。基本思想）。第45页See you next chapter!复习题复习题 P32 P32 例例1 1.8 8.3 3习题习题 3.13.3、3.6、3.7、3.9 3.13(1)、3.20第46页