资源描述
5 旋轮线 6 旋轮线也叫摆线7 旋轮线是最速降线 8 心形线 9 星形线 10 圆渐伸线 11 笛卡儿叶形线 12 双纽线13 阿基米德螺线 14 双曲螺线 主主 目目 录录（125 125）1516231 曲边梯形面积4 曲边扇形面积第1页19 平行截面面积为已知立体体积。20 半径为R正圆柱体被经过其底直径并与底面成角平面所截，得 一圆柱楔。求其体积。21 求以半径为R圆为底，平行且等于底圆直径线段为顶，高为h正 劈锥体体积。22 旋转体体积(y=f(x)绕x轴)23 旋转体体积(x=g(y)绕y轴）24 旋转体体积（柱壳法）25 旋转体侧面积1817求由双纽线内部面积。.第2页元素法元素法1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整yxoy=f(x)ab.分法越细，越靠近准确值分法越细，越靠近准确值1.1.曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积f(i).第3页元素法元素法4 4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.分法越细，越靠近准确值分法越细，越靠近准确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整1.1.曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积.f(i)第4页元素法元素法4 4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.分法越细，越靠近准确值分法越细，越靠近准确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整1.1.曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积.f(i)S=.S.ab第5页2。0y x2.2.444解方程组：解方程组：得交点：得交点：(8,4)，(2,2)问题：选谁为积分变量？问题：选谁为积分变量？第6页。3.3.xyo33得两切线斜率为得两切线斜率为故两切线为故两切线为其交点横坐标为其交点横坐标为。S =l1l2第7页()d o +d r=()元素法元素法1 1 取极角取极角 为积分变量，为积分变量，其改变区间为其改变区间为 ,以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素：.4.4.曲边扇形面积曲边扇形面积曲边扇形面积曲边扇形面积dSS3 作定积分作定积分.r 第8页xa圆上任一点所画出曲线。圆上任一点所画出曲线。5.5.旋轮线旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，第9页x来看动点慢动作来看动点慢动作圆上任一点所画出曲线。圆上任一点所画出曲线。.一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，5.5.旋轮线旋轮线第10页2a2 a0yx ax=a(t sint)y=a(1 cost)t t 几何意义如图示几何意义如图示ta当当 t 从从 0 2，x从从 0 2 a即曲线走了一拱即曲线走了一拱a圆上任一点所画出曲线。圆上任一点所画出曲线。5.5.旋轮线旋轮线.一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，第11页x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线一拱一分为二，并倒置成挡板6.6.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线单摆单摆单摆单摆第12页x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线一拱一分为二，并倒置成挡板.单摆单摆单摆单摆6.6.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线第13页单摆单摆单摆单摆.6.6.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线一拱一分为二，并倒置成挡板第14页两个旋轮线形状挡板两个旋轮线形状挡板,使摆动周期与摆幅完全无关。使摆动周期与摆幅完全无关。在在1717世纪，旋轮线即以此性质知名，所以旋轮线又称世纪，旋轮线即以此性质知名，所以旋轮线又称摆线摆线。单摆单摆单摆单摆.6.6.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线一拱一分为二，并倒置成挡板第15页x=a(t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转旋轮线。当这曲线是一条翻转旋轮线。最速降线问题最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要时间最短？当曲线是什么形状时所需要时间最短？y=a(1 cost)7.7.旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？第16页x=a(t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转旋轮线。当这曲线是一条翻转旋轮线。最速降线问题最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要时间最短？当曲线是什么形状时所需要时间最短？y=a(1 cost).生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？7.7.旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线第17页x=a(t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转旋轮线。当这曲线是一条翻转旋轮线。最速降线问题最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要时间最短？当曲线是什么形状时所需要时间最短？y=a(1 cost)生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？7.7.旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线.第18页x=a(t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转旋轮线。当这曲线是一条翻转旋轮线。最速降线问题最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要时间最短？当曲线是什么形状时所需要时间最短？y=a(1 cost)生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？滑板轨道就是这条曲线滑板轨道就是这条曲线7.7.旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线.第19页xyoaa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出曲线。所画出曲线。8.8.心形线心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)第20页xyoa来看动点慢动作来看动点慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出曲线。所画出曲线。.8.8.心形线心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)a第21页xyoaa2a来看动点慢动作来看动点慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出曲线。所画出曲线。.(圆外旋轮线圆外旋轮线)8.8.心形线心形线第22页xyo2ar=a(1+cos )0 2 0 r 2aP r一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出曲线。所画出曲线。.(圆外旋轮线圆外旋轮线)8.8.心形线心形线第23页xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出曲线。所画出曲线。9.9.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)第24页xyoa a来看动点慢动作来看动点慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出曲线。所画出曲线。.9.9.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)第25页xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出曲线。所画出曲线。来看动点慢动作来看动点慢动作.9.9.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)第26页xyoa a0 2 或或.P.一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出曲线。所画出曲线。.9.9.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)第27页0 xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点轨迹轨迹10.10.圆渐伸线圆渐伸线a第28页0 xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点轨迹轨迹.a10.10.圆渐伸线圆渐伸线再看一遍再看一遍第29页0 xy.a一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点轨迹轨迹10.10.圆渐伸线圆渐伸线第30页0 xy.a一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点轨迹轨迹10.10.圆渐伸线圆渐伸线第31页a0 xMttaat(x,y)0 xy试由这些关系推出曲线方程试由这些关系推出曲线方程.一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点轨迹轨迹10.10.圆渐伸线圆渐伸线第32页1.曲线关于曲线关于 y=x 对称对称2.曲线有渐进线曲线有渐进线 x+y+a=0分析分析3.令令 y=t x,得参数式得参数式故在原点，曲线本身相交故在原点，曲线本身相交.11.11.狄狄狄狄卡儿卡儿叶叶叶叶形形线线4.第33页0 xyx+y+a=0曲线关于曲线关于 y=x 对称对称曲线有渐近线曲线有渐近线 x+y+a=0.11.11.狄狄狄狄卡儿卡儿叶叶叶叶形形线线第34页0 xyPr.曲线在极点自己相交，与此对应角度为曲线在极点自己相交，与此对应角度为 =.距离之积为距离之积为a2点轨迹点轨迹直角系方程直角系方程12.双双纽纽纽纽线线第35页0 xy.所围面积所围面积.由对称性由对称性.12.例例 求求求求双纽线双纽线双纽线双纽线第36页0rr=a 曲线能够看作这种点轨迹：曲线能够看作这种点轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线第37页0r曲线能够看作这种点轨迹：曲线能够看作这种点轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线r=a 第38页0r曲线能够看作这种点轨迹：曲线能够看作这种点轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线再看一遍再看一遍请问：动点轨迹什么样？请问：动点轨迹什么样？.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线r=a 第39页0r.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线r=a 第40页0rr=a.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线第41页0rr=a.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线第42页r这里这里 从从 0+8r=a 02 a每两个螺形卷间沿射线距离是定数每两个螺形卷间沿射线距离是定数.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线第43页0r8当当 从从 0 r=a.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线第44页r0.这里这里 从从 0+8a.14.14.双曲螺线双曲螺线第45页r0.当当 从从 0 8a.14.14.双曲螺线双曲螺线第46页xyo15.15.2.S=1+cos 3r =3cos 由由 3cos =1+cos 得交点坐标得交点坐标S S2.第47页.16.10 xy令令 cos2 =0,由由 sin 0,联立后得交点坐标联立后得交点坐标.S=2.第48页xyo17.17.1s1s2.sS=1+cos 第49页求由求由双纽线双纽线0 xy.由对称性由对称性.18.a内部面积。内部面积。双纽线化成极坐标双纽线化成极坐标令令 r=0,S=4+.第50页xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)立体立体.aV以下是几个例子以下是几个例子以下是几个例子以下是几个例子19.19.平行截面面积为已知立体体积平行截面面积为已知立体体积b第51页半径为半径为R正圆柱体被经过其底直径并与底面成正圆柱体被经过其底直径并与底面成 角角平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。R oxy20.20.第52页oyRxRR20.20.半径为半径为R正圆柱体被经过其底直径并与底面成正圆柱体被经过其底直径并与底面成 角角平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。第53页oyRxxyRR.y tan 问题：问题：问题：问题：还有别方法吗？还有别方法吗？还有别方法吗？还有别方法吗？(x,y),截面积截面积A(x).半径为半径为R正圆柱体被经过其底直径并与底面成正圆柱体被经过其底直径并与底面成 角角平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。20.20.第54页oyRxRR 方法方法方法方法2 2 2 2.20.20.半径为半径为R正圆柱体被经过其底直径并与底面成正圆柱体被经过其底直径并与底面成 角角平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。第55页oyRxRR 方法方法方法方法2 2 2 2ABCD BCDC.截面积截面积S(y)(x,y)=2x=ytan.S(y).20.20.半径为半径为R正圆柱体被经过其底直径并与底面成正圆柱体被经过其底直径并与底面成 角角平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。第56页 hRxoyR21.21.求以半径为求以半径为R圆为底，平行且等于底圆直径线段为顶，圆为底，平行且等于底圆直径线段为顶，高为高为h正劈锥体体积。正劈锥体体积。第57页 hRxoxA(x)A(x)V=.Ry21.21.求以半径为求以半径为R圆为底，平行且等于底圆直径线段为顶，圆为底，平行且等于底圆直径线段为顶，高为高为h正劈锥体体积。正劈锥体体积。y第58页xf(x)ab 曲边梯形：曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x轴旋转轴旋转22.22.求旋转体体积求旋转体体积第59页xf(x)abx.111111111.曲边梯形：曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转22.22.求旋转体体积求旋转体体积V=第60页x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕绕 y轴轴23.23.求旋转体体积求旋转体体积第61页x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕绕 y轴轴.23.23.求旋转体体积求旋转体体积第62页x=g(y)yx0cdy.23.23.求旋转体体积求旋转体体积.曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕绕 y轴轴第63页abf(x)yx024.24.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴xdx第64页xabyx0内表面积内表面积.dx.24.24.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)第65页byx0a.24.24.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)第66页byx0a.24.24.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)第67页0y0 xbxadx.24.24.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)第68页f(x)Yx0bdx0yz.a.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴24.24.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法dV=2 x f(x)dx第69页x=g(y)yx0cdx=g(y)绕绕 y 轴旋转轴旋转25.25.求旋转体侧面积求旋转体侧面积A第70页x=g(y)yx0cdx=g(y)绕绕 y 轴旋转轴旋转ydA=2 g(y)ds.(ds是曲线弧微分是曲线弧微分).故旋转体侧面积故旋转体侧面积25.25.求旋转体侧面积求旋转体侧面积Ads第71页
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