一元二次方程GENDER判别式省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第1页1.解一元二次方程有哪些方法解一元二次方程有哪些方法?2.请你在请你在任意填入一个整数，并解此一元二次任意填入一个整数，并解此一元二次方程方程.括号里，括号里，探究新知探究新知3.求解一元二次方程：求解一元二次方程：.第2页用公式法解以下方程：x2x1=0 x22x1=0 2x22x1=0由此能够发觉一元二次方程ax2bxc=0（a0）根情况可由 来判定：当 时，方程有两个不相等实数根；当 时，方程有两个相等实数根；当 时，方程没有实数根。我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc=0（a0）根判别式。b24acb24ac0b24ac=0b24ac 0第3页我们把我们把叫做一元二次方程叫做一元二次方程根判别式根判别式.用符号用符号“”来表来表示示.定义定义第4页比一比比一比 不解方程，判别以下方程根情况：不解方程，判别以下方程根情况：第5页不解方程，判别以下方程根情况：不解方程，判别以下方程根情况：例例1 1第6页例1.不解方程,判别以下方程根情况 3x2x1=3x 5（x21）=7x x24x=4方程要先化方程要先化为普通形式为普通形式再求判别式再求判别式第7页不解方程，判别以下方程根情况：不解方程，判别以下方程根情况：练一练练一练第8页不解方程，判别以下关于不解方程，判别以下关于 方程根情况：方程根情况：例例2 2第9页不解方程，判别以下关于不解方程，判别以下关于 方程根情况：方程根情况：变一变变一变变式一变式一第10页不解方程，判别以下关于不解方程，判别以下关于 方程根情况：方程根情况：变一变变一变变式二变式二第11页不解方程，判别以下关于不解方程，判别以下关于 方程根情况：方程根情况：变一变变一变变式三变式三第12页例例3、求证：关于、求证：关于x方程：方程：有两个不相等实根。有两个不相等实根。解：解：=不论不论m取任何实数，取任何实数，即，即，0所以，方程有两个不相等实数根。所以，方程有两个不相等实数根。返回第13页练习练习：1、不解方程，判别以下方程根情况不解方程，判别以下方程根情况（1）（3）（2）2、已知关于、已知关于x 方程：方程：有两个有两个 不相等实数根，不相等实数根，k为实数，求为实数，求k 取值范围。取值范围。3、设关于、设关于x 方程：方程：，证实，不论，证实，不论m为何为何 值时，方程总有两个不相等实数根。值时，方程总有两个不相等实数根。返回第14页课时训练课时训练1.一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0根情况根情况是是 ()A.有一个实数根有一个实数根 B.有两个相等实数根有两个相等实数根 C.有两个不相等实数根有两个不相等实数根 D.没有实数根没有实数根D2.方程方程x2-3x+1=0根情况是根情况是()A.有两个不相等实数根有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根有两个相等实数根 C.没有实数根没有实数根 D.只有一个实数根只有一个实数根A3.以下一元一次方程中，有实数根是以下一元一次方程中，有实数根是 ()A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0C 第15页4.关关于于x方方程程k2x2+(2k-1)x+1=0有有实实数数根根，则则以以下下结结论论正正确是确是 ()A.当当k=1/2时，方程两根互为相反数时，方程两根互为相反数 B.当当k=0时，方程根是时，方程根是x=-1 C.当当k=1时，方程两根互为倒数时，方程两根互为倒数 D.当当k1/4时，方程有实数根时，方程有实数根D课时训练课时训练5.若若关关于于x一一元元二二次次方方程程mx2-2x+1=0有有实实数数根根，则则m取取值范围是值范围是 ()A.m1 B.m1且且m0 C.m1 1 D.m1且且m0D第16页7.若关于若关于x方程方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等实数根，则有两个相等实数根，则k=.28.关于关于x一元二次方程一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根判别式值为其根判别式值为1，求，求m值及该方程根。值及该方程根。解：解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2 (m-1)2=1,即即 m12，m20(二次项系数不为二次项系数不为0，舍去，舍去)。当当m=2时，原方程变为时，原方程变为2x2-5x+30，x3/2或或x=1.6.已已知知关关于于x一一元元二二次次方方程程x2+2x+k=0有有实实数数根根，则则k取取值范围是值范围是 ()A.k1 B.k1 C.k 1A第17页例例2：当：当k取什么值时，已知关于取什么值时，已知关于x方程：方程：（1）方程有两个不相等实根；（）方程有两个不相等实根；（2）方程有两个相等）方程有两个相等 实根；（实根；（3）方程无实根；）方程无实根；解；解；=(1).当当 0，方程有两个不相等实根方程有两个不相等实根,8k+9 0,即即 (2).当当 =0，方程有两个不相等实根方程有两个不相等实根,8k+9=0,即即 (3).当当 0，方程有两个不相等实根方程有两个不相等实根,8k+9 0时，方程有两个不相等实数根；时，方程有两个不相等实数根；当当=0时，方程有两个相等实数根；时，方程有两个相等实数根；当当0.拓展拓展1 1第30页已知一元二次方程已知一元二次方程有两个不相等实数根，字母有两个不相等实数根，字母k可取哪些实可取哪些实数呢？数呢？思索思索第31页1.判别式：判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)根判别式为：=b2-4ac 作用:不解方程判断根情况,处理与根情况相关全部问题.主要内容:判别式值 根情况 0 有两个不相等实根 0 有两个相等实根 0 没 有 实 数 根 第32页 2.根与系数关系（韦达定理）根与系数关系（韦达定理）（1）方程ax2+bx+c=0(a0)两根为x1,x2，则x1+x2=-，x1 x2=特殊情况：当a=1时，x2+px+q=0,x1+x2=-p,x1 x2=q（2）以x1,x2为根一元二次方程（二次项系数为1）是 x2(x1+x2)x+x1 x2=0第33页判别式与韦达道理课堂练习判别式与韦达道理课堂练习一、基础练习一、基础练习1、一元二次方程、一元二次方程2x2+3x-4=0根判别式根判别式=.2、不解方程，判断、不解方程，判断2y2-6y+5=0根情况是根情况是 .3、设、设x1、x2是方程是方程2x2-4x-7=0两个根，两个根，则则x1+x2=，x1 x2 =-.4、已知方程、已知方程5x2+mx-6=0一个根为一个根为3，则它另一个根，则它另一个根是是-，m值为值为 .5、以、以-1和和3为两个根一元二次方程是为两个根一元二次方程是 .41没有实数根2-13X2-2x-3=0第34页6、两个实数根和是、两个实数根和是3，积是，积是-4一元二次方程是一元二次方程是 .7、方程、方程x2+3x+k=0有两个互为倒数实数根则有两个互为倒数实数根则k=.8、方程、方程x-(m+1)x-6=0有两个互为相反数实数根，有两个互为相反数实数根，则则m=.9、以下方程没有实数根是（、以下方程没有实数根是（）A.x2+5=x B.3x2-2x+2=0 C.x2-2=3x D.2x=x2-110、若一元二次方程、若一元二次方程x2-ax-2a=0两根之和为两根之和为4a-3，则，则 两两根之积是（根之积是（）A.2 B.-2 C.-6或或2 D.6或或-2X2-3x-4=01-1BB第35页经典问题二：不解方程，求方程两根所组成一些代数式值。例三（1）已知关于x方程3x2+6x-2=0两根为x1，x2，求 值。第36页（2）已知关于x方程3x2-mx-2=0两根为x1，x2，且 ，求m值；x12+x12值。解：x1，x2 为方程两根 x1+x2=，x1 x2=-又即解 m=-2 x1+x2=-x2+x2=(x1+x2)2-2 x1 x2=第37页（1）已知关于x方程3x2+6x-2=0两根为x1，x2，求 值。（2）已知关于x方程3x2-mx-2=0两根为x1，x2，且 ，求m值；x12+x12值。第38页归纳总结：1、求方程两根所组成代数式值，关键在于：把所求代数式化成两根和与两根积形式。2、常见形式：(1)(x1-x2)2=(2)x13+x23=(3)x1-x2=(x1+x2)2-4x1x2(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)第39页综合应用：综合应用：例四、（四川省中考试题）若关于x一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是ABCA、B、C对边，C=90，且cosB=,b-a=3,是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根平方和等于RtABC斜边平方？若存在，请求出满足条件m值；若不存在，说明理由.（“存在性”问题）第40页解：假设整数假设整数m存在，存在，在在RtABC中，中，C=90.cosB=设设a=3k,c=5k,则由勾股定理有则由勾股定理有b=4k.b-a=3,4k-3k=3 k=3 a=9,b=12,c=15 设一元二次方程设一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0两个实数根为两个实数根为x1,x2 则有则有 x1+x2=3(m+1),x1x2=m2-9m+20 x12+x22=(x1+x2)-2 x1x2=3(m+1)2-2(m2-9m+20)=7m2+36m-31由由x12+x22=c2,c=15 有有7m2+36m-31=225 解方程得解方程得 m1=4,m2=-m=-不是整数，应舍去不是整数，应舍去当当m=4 时，时，=2250；存在整数存在整数m=4，使方程两个实数根平方和等于，使方程两个实数根平方和等于Rt斜边平方。斜边平方。第41页4.若若关关于于x一一元元二二次次方方程程mx2-2x+1=0有有实实数数根根，则则m取取值范围是值范围是 ()A.m1 B.m1且且m0 C.m1 1 D.m1且且m0D3.已已知知关关于于x一一元元二二次次方方程程x2+2x+k=0有有实实数数根根，则则k取取值范围是值范围是 ()A.k1 B.k1 C.k 1A第42页5.若关于若关于x方程方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等实数根，则有两个相等实数根，则k=.26.关于关于x一元二次方程一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根判别式值为其根判别式值为1，求，求m值值解：解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1m2-2m+1=1即即 m(m-2)=0 m12，m20(二次项系数不为二次项系数不为0，舍去，舍去)。m=2第43页 拓展提升拓展提升例例3 3：已知关于：已知关于x x一元二次方程一元二次方程有两个不相等实数根，有两个不相等实数根，求求k k取值取值范围范围.第44页 拓展提升拓展提升例例4 4：试说明：不论：试说明：不论x x取何值，取何值，关于关于x x方程方程总有两个不相等实根总有两个不相等实根.第45页例例5 求证求证:不论不论a为任何实数为任何实数,关于关于x方程方程x2(2a 1)x a 3 0总有两个不相等实数根总有两个不相等实数根.证:(2a1)24(a3)4a28a134(a1)29即0不论a为任何实数(a1)20 4(a1)290不论a为任何实数,方程x2(2a1)xa30总有两个不等实根.由例由例5可知可知:要说明要说明0常将它配成完全平方式常将它配成完全平方式 正数正数.第46页试一试：设关于试一试：设关于x方程方程,证实证实:不论不论m为何值为何值,这个方程总有这个方程总有两个不相等实数根两个不相等实数根所以所以,不论不论m为何值为何值,这个方程总有两这个方程总有两个不相等实数根个不相等实数根第47页拓展练习：第48页试一试：试一试：m取取什什么么值值时时,关关于于x方方程程2x2(m 2)x 2m 2 0有两个相等实数根？并求出这时方程根有两个相等实数根？并求出这时方程根.解:方程有两个相等实数根,(m2)28(2m2)m212m20(m2)(m10)0m12 m210当m12时 当m210时所求m2或m10,方程根为1或3.第49页例例2 关关于于x方方程程(m 2)x2 2(m 1)x m 1 0在在以以下条件下下条件下,分别求分别求m非负整数值非负整数值.（1 1）方程只有一个实数根；）方程只有一个实数根；（2 2）方程有两个相等实数根；）方程有两个相等实数根；（3 3）方程有两个不相等实数根）方程有两个不相等实数根.解:（1）当m20即m2时方程为一元一次方程2x30,即m2时,已知方程只有一个实数根.第50页（2）当方程有两个相等实根时,必须且只需 解出 m3时,方程有两个相等实数根.（3）当方程有两个不相等实数根时,必须且只需 解出 又m是非负整数 m0或m1 小结:使用时必须在a0前题下.第51页（2）当方程有两个相等实根时,必须且只需 解出 m3时,方程有两个相等实数根.（3）当方程有两个不相等实数根时,必须且只需 解出 又m是非负整数 m0或m1 小结:使用时必须在a0前题下.第52页4.关于关于x方程方程kx24x1=0有实数根，有实数根，则则k范围为范围为()A.k4B.k4且且k0C.k4且且k0D.k0A(2)关于关于x方程方程kx24x1=0有两实数根，则有两实数根，则k范范围为围为()A.k4 B.k4且且k0 C.k4且且k0 D.k0B第53页例例5 已已知知方方程程 一一个个根根是是 1,求求k及另一根及另一根解法一:设方程另一根为x1所求 ,第54页解法二 1是方程根 方程为 x21所求 另一根为引申:若 x21 则对应方程是什么？即以 ,1为根方程为 0第55页例题例题2：（1）若关于）若关于x方程方程2x25xn0一个根是一个根是2，求它另一个根及求它另一个根及n值。值。（2）若关于）若关于x方程方程x2kx60一个根是一个根是2，求它另一个根及求它另一个根及k值。值。第56页例题例题3：设设x1，x2是方程是方程2x23xm0两个根，两个根，且且8x12x27，求，求m值。值。例题例题4：已知关于已知关于x一元二次方程一元二次方程x2（2k1）xk20有两个不相等实数根，且方程两根之和比两根有两个不相等实数根，且方程两根之和比两根之积之积7，求，求k值。值。第57页例题例题5：已知：关于已知：关于x一元二次方程一元二次方程x23x1m0（1）请选取一个你喜爱）请选取一个你喜爱m值，使方程有两值，使方程有两个不相等实数根，并说明它正确性。个不相等实数根，并说明它正确性。（2）设）设x1，x2是（是（1）中所得方程两个根，求）中所得方程两个根，求x1x2x1x2值。值。第58页例例6 方方程程x2(m 1)x 2m 1 0求求m满满足足什什么么条条件件时时,方方程程两两根根互互为为相相反反数数？方方程程两两根根互互为为倒倒数数？方程一根为零？方程一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5两根互为相反数 两根之和m10,m1,且0 m1时,方程两根互为相反数.第59页两根互为倒数 m26m5,两根之积2m11 m1且0,m1时,方程两根互为倒数.方程一根为0,两根之积2m10 且0,时,方程有一根为零.第60页引申:1、若ax2bxc0(a0 0)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.第61页引申2 若a、b是方程x22x70两个实数根,求:a2b2 a23b24b a35b2b76值.解:由根系关系ab2,ab7,a272a b272b,a2b2(ab)22ab41418.a23b24b(72a)3(72b)4b2(ab)282(2)2832.a35b2b76aa25b2b76a(72a)5(72b)b76 7a2a23511b76 7a2(72a)3511b76 11(ab)497611(2)49765.第62页一元二次方程根与系数关系：一元二次方程根与系数关系：若若两个根为两个根为若若两个根为两个根为则则则则归纳总结归纳总结:第63页第64页拓展练习：、已知方程、已知方程x2mx+2=0两根互为相反数，两根互为相反数，则则m=。2、已知方程已知方程x2+4x2m=0一个根一个根比另比另一个根一个根小小4，则，则=；=；m=.3、已知方程、已知方程5x2+mx10=0一根是一根是5，求方程另一根及求方程另一根及m值。值。4、关于、关于x方程方程2x23x+m=0，当，当 时，方程有两个正数根；当时，方程有两个正数根；当m 时，方时，方程有一个正根，一个负根；当程有一个正根，一个负根；当m 时，时，方程有一个根为方程有一个根为0。第65页7.用配方法说明：不论用配方法说明：不论k取何实数，多项式取何实数，多项式k23k5值必定大于零值必定大于零.8.关于关于x方程方程2x2-(m+4)x+m+4=0有有两个实数根两个实数根.求求m取值范围取值范围.10.已知已知x2-7xy+12y2=0,求证：求证：X=3y或或=4y9.你会解方程：你会解方程：x2-2|x|-1=0|x|-1=0吗？吗？第66页