一阶常微分方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

解解一、问题提出第1页微分方程微分方程:凡含有未知函数导数或微分方程叫微分方程凡含有未知函数导数或微分方程叫微分方程.例例实质实质:联络自变量联络自变量,未知函数以及未知函数一未知函数以及未知函数一些导数些导数(或微分或微分)之间关系式之间关系式.分类分类1 1:常微分方程常微分方程,偏微分方程偏微分方程.第2页微分方程阶微分方程阶:微分方程中出现未知函数最微分方程中出现未知函数最高阶导数阶数高阶导数阶数.一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程分类分类2:2:分类分类3 3:单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.第3页微分方程解微分方程解:代入微分方程能使方程成为恒等式函数代入微分方程能使方程成为恒等式函数.微分方程解分类：微分方程解分类：(1)(1)通解通解:微分方程解中含有任意常数微分方程解中含有任意常数,且任意且任意常数个数与微分方程阶数相同常数个数与微分方程阶数相同.第4页(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后解确定了通解中任意常数以后解.解图象解图象:微分方程积分曲线微分方程积分曲线.通解图象通解图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数条件用来确定任意常数条件.过定点积分曲线过定点积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点切线斜率为定值积分曲线过定点且在定点切线斜率为定值积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件解问题求微分方程满足初始条件解问题.第5页解解第6页所求特解为所求特解为微分方程初等解法微分方程初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)第7页可分离变量微分方程可分离变量微分方程:2.两边同时积分两边同时积分:第8页解解可简写为：可简写为：例例第9页 第10页解解例例 第11页例例.解初值问题解初值问题解解:分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C=1,(C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为第12页2.可化为分离变量一些方程可化为分离变量一些方程(1).齐次方程齐次方程 形如令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程通解.解法:分离变量:第13页例例 解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程通解为(当 C=0 时,y=0 也是方程解)(C 为任意常数)第14页例例解解是齐次方程是齐次方程,第15页 第16页例例.解微分方程解：将右端函数分子，分母同时除以自变量解：将右端函数分子，分母同时除以自变量x此为齐次方程，令此为齐次方程，令分离变量，再两边积分分离变量，再两边积分将将u带回得带回得第17页第18页 第19页(2).型方程作变换作变换例例.求方程 通解解：令解：令 则则得方程通解为得方程通解为将将 代回得原方程通解代回得原方程通解第20页(3)形如形如第21页第22页解解代入原方程得代入原方程得分离变量、积分得分离变量、积分得得原方程通解得原方程通解方程变为方程变为第23页3 3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式标准形式:上方程称为上方程称为齐次齐次.上方程称为上方程称为非齐次非齐次.比如比如线性线性;非线性非线性.第24页齐次线性齐次线性方程方程1 1、方程、方程(1)(1)任意两个解任意两个解和仍是和仍是(1)(1)解；解；2 2、方程、方程(1)(1)任意一个解常数倍仍是任意一个解常数倍仍是(1)(1)解；解；3 3、方程方程(1)(1)任意一个解加上方程任意一个解加上方程(2)(2)任意一个解是任意一个解是(2)(2)解；解；4 4、方程方程(2)(2)任意两个解之差是任意两个解之差是(1)(1)解解 .线性方程解性质线性方程解性质非齐次线性非齐次线性方程方程那么方程那么方程(2)通解为通解为第25页那么方程那么方程(2)通解为通解为对应齐次方对应齐次方程通解程通解非齐次方程特解非齐次方程特解第26页特解特解,线性方程解线性方程解叠加性质叠加性质和和一个特解一个特解.第27页齐次方程通解为齐次方程通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程解法解法使用分离使用分离变量法变量法第28页形式求积：形式求积：形式求解结果给了我们主要启示：形式求解结果给了我们主要启示：若方程有解，其解必若方程有解，其解必 先来观察，若（先来观察，若（1）有解，其解形状怎样？对方程作形式）有解，其解形状怎样？对方程作形式求解：将（求解：将（1）改写成）改写成第29页 上述解方程方法，叫做上述解方程方法，叫做常数变易法常数变易法，用于求解线性非齐次，用于求解线性非齐次方程。方程。将将 y 和和 代入（代入（1）：）：第30页齐次方程通解非齐次方程特解即第31页第32页解解：第33页也能够直接代公式求解也能够直接代公式求解第34页例 用常数变易法求一阶线性方程通解解：齐次方程通解：用常数变易法，令代入原方程得即故通解为第35页解：若将方程写为解：若将方程写为它显然不是线性方程，将方程改写作它显然不是线性方程，将方程改写作第36页第37页解：因解：因“”右端均为可导函数，故左端也可导，两边右端均为可导函数，故左端也可导，两边对对x求导求导第38页伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程 伯努利方程标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程通解.解法解法:(线性方程)第39页例例 求方程 通解解：这是伯努力方程解：这是伯努力方程，其中 则则 第40页可降阶高阶微分方程(1)型微分方程型微分方程(2)型微分方程型微分方程(3)型微分方程型微分方程 第41页(1)、型微分方程型微分方程 令 则两端积分得则再积分，得通解第42页例 求方程通解 积分一次得再积分一次得最终积分得第43页型微分方程型微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程通解(2)、第44页例 求方程 满足初始条件 特解。解：设原式为分离变量并积分即第45页用 代替 ，得积分得代入初始条件得故特解是第46页(3)、型微分方程型微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程通解第47页例例.求解故所求通解为解解:原始可写为两端积分得第48页可降阶微分方程解法 降阶法逐次积分令令注意：注意：对于 型微分方程依据详细方程选择用方法2或方法3，使得降阶后所得方程轻易求解第49页（1）、恰当方程定义及条件）、恰当方程定义及条件假如方程就能够马上写出它隐式解恰当方程和积分因子恰当方程和积分因子第50页定义1则称微分方程是恰当方程.如是恰当方程.第51页需考虑问题(1)方程(1)是否为恰当方程?(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?(3)若(1)不是恰当方程,有没有可能转化为恰当方程求解?方程为恰当方程充要条件定理1为恰当方程充要条件是第52页（2）恰当方程求解：求全微分原函数）恰当方程求解：求全微分原函数不定积分法第53页解:故所给方程是恰当方程.例 验证方程是恰当方程,并求它通解.第54页即积分后得:故从而方程通解为第55页分组凑微法 采取“分项组合”方法,把本身已组成全微分项分出来,再把余项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数全微分.如第56页第57页例 求方程通解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:第58页例 验证方程是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即第59页或写成故通解为:故所求初值问题解为:第60页 线积分法由数学分析曲线积分与路径无关定理知:第61页从而(1)通解为第62页例 求解方程解:故所给方程是恰当方程.第63页故通解为:第64页（2）积分因子）积分因子非恰当方程怎样求解?对变量分离方程:不是恰当方程.是恰当方程.第65页对一阶线性方程:不是恰当方程.则是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.第66页 定义例解:对方程有第67页因为把以上方程重新“分项组合”得即第68页也即故所给方程通解为:积分因子确定即第69页尽管如此,方程还是提供了寻找特殊形式积分因子路径.第70页命题1，2 微分方程第71页第72页变成即第73页此时求得积分因子第74页第75页例例解解第76页