1、第四节、一阶微分方程应用举例第四节、一阶微分方程应用举例一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题第1页一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 关键关键:区分方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式(2)积分因子法 选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程 第2页例例1.求以下方程通解提醒提醒:(1)故为分离变量方程:通解第3页方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分离变量方程.调换自变量
2、与因变量地位,用线性方程通解公式求解.化为第4页方法方法 1 这是一个齐次方程.方法方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程.第5页例例2.求以下方程通解:提醒提醒:(1)令 u=x y,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为第6页令 y=u t(齐次方程)令 t=x 1,则可分离变量方程求解化方程为第7页变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:第8页例例3.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)表示式.解解:(1)所以F(x)满足一阶线性非齐次微分方程:第9
3、页(2)由一阶线性微分方程解公式得于是 第10页例例4.设河边点 O 正对岸为点 A,河宽 OA=h,一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向一直朝着点O,提醒提醒:如图所表示建立坐标系.设时刻t 鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)游速大小为b求鸭子游动轨迹方程.O,水流速度大小为 a,两岸 则关键问题是正确建立数学模型,关键点:则鸭子游速 b 为第11页定解条件由此得微分方程即鸭子实际运动速度为(求解过程参考P273例3)(齐次方程)第12页思索思索:能否依据草图列方程?练习题练习题:1、已知某曲线经过点(1,1),轴上截距等于切点横坐标,求它方程.提醒提醒:设曲线上动点为 M(x,y),令 X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它切线在纵第13页、已知某车间容积为新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空含量不超出 0.06%?提醒提醒:设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含则在内车间内两端除以 并令与原有空气很快混合均匀后,以相同流量排出)得微分方程(假定输入新鲜空气 输入,改变量为 第14页t=30 时解定解问题所以每分钟应最少输入 250 新鲜空气.初始条件得 k=?第15页 作业作业 P162 1、第16页
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