1、一阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课(一)一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题解法及应用 第十二章 第1页一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 关键关键:区分方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式(2)积分因子法 选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页例例1.求以下方程通解提醒提醒:(1)故为分离变量方程:通解机动 目录 上页 下
2、页 返回 结束 第3页方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分离变量方程.调换自变量与因变量地位,用线性方程通解公式求解.化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页方法方法 1 这是一个齐次方程.方法方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页例例2.求以下方程通解:提醒提醒:(1)令 u=x y,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页令 y=u t(齐次方程)令 t=x 1,则可分离变量方程求解化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页变方程为两边乘积分因子
3、用凑微分法得通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)表示式.解解:(1)所以F(x)满足一阶线性非齐次微分方程:第9页机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)由一阶线性微分方程解公式得于是 第10页练习题练习题:(题3只考虑方法及步骤)P326 题2 求以为通解微分方程.提醒提醒:消去 C 得P327 题3 求以下微分方程通解:提醒提醒:令 u=x y,化成可分离变量方程:提醒提醒:这是一阶线性方
4、程,其中P326 题1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页提醒提醒:可化为关于 x 一阶线性方程提醒提醒:为贝努里方程,令提醒提醒:为全微分方程,通解提醒提醒:可化为贝努里方程令微分倒推公式微分倒推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页原方程化为,即则故原方程通解提醒提醒:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页例例4.设河边点 O 正对岸为点 A,河宽 OA=h,一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向一直朝着
5、点O,提醒提醒:如图所表示建立坐标系.设时刻t 鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)游速大小为b求鸭子游动轨迹方程.O,水流速度大小为 a,两岸 则关键问题是正确建立数学模型,关键点:则鸭子游速 b 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页定解条件由此得微分方程即鸭子实际运动速度为(求解过程参考P273例3)(齐次方程)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页思索思索:能否依据草图列方程?练习题练习题:P327 题 5 ,6P327 题题5.已知某曲线经过点(1,1),轴上截距等于切点横坐标,求它方程.提醒提醒:设曲线上动点为 M(x,y),令 X=0,得截距由题意知微分方程为
6、即定解条件为此点处切线方程为它切线在纵机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页P327 题题6.已知某车间容积为新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空含量不超出 0.06%?提醒提醒:设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含则在内车间内两端除以 并令与原有空气很快混合均匀后,以相同流量排出)得微分方程(假定输入新鲜空气 输入,改变量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页t=30 时解定解问题所以每分钟应最少输入 250 新鲜空气.初始条件得机动 目录 上页 下页 返回 结束 k=?第18页 作业作业 P269 3,7;P276 *4(2);P282 9(2),(4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页
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