二元一次不等式组和简单的线性规划问题市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。在平面直角坐标系中，不等式在平面直角坐标系中，不等式 Ax+By+C 0 表示在直线：表示在直线：Ax+By+C=0某一侧平面区域某一侧平面区域1.二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式表示平面区域xyoAx+By+C=0第1页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(1)结论结论：二元一次不等式：二元一次不等式Ax+By+C0 在平面直角坐在平面直角坐标系中表示直线标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点组成平面某一侧全部点组成平面区域。区域。(2)判断方法判断方法：因为对直线同一侧全部点：因为对直线同一侧全部点(x,y)，把它，把它代入代入Ax+By+C，所得实数符号都相同，所以只需在此，所得实数符号都相同，所以只需在此直线某一侧直线某一侧取一个特殊点取一个特殊点(x0,y0)，从，从Ax0+By0+C正负正负能够判断出能够判断出Ax+By+C0表示哪一侧区域。表示哪一侧区域。普通在普通在C0时，时，取取原点原点作为特殊点作为特殊点。应该注意几个问题：应该注意几个问题：l1 1、若不等式中不含、若不等式中不含0 0，则边界应画成虚线，不然，则边界应画成虚线，不然应画成实线。应画成实线。l2 2、画图时应非常准确，不然将得不到正确结果。、画图时应非常准确，不然将得不到正确结果。第2页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。2.简单线性规划简单线性规划相关概念相关概念 由由x，y 不等式不等式(或方程或方程)组成不等式组组成不等式组称为称为x，y 约束条件约束条件。关于关于x，y 一次不等式或方程组成一次不等式或方程组成不等式组称为不等式组称为x，y 线性约束条件线性约束条件。欲到达最大值或最欲到达最大值或最小值所包括变量小值所包括变量x，y 解析式称为解析式称为目标函数目标函数。关于关于x，y 一次目标函数称为一次目标函数称为线性目标函数线性目标函数。求线性目标函数在求线性目标函数在线性约束条件下最大值或最小值问题称为线性约束条件下最大值或最小值问题称为线性规划问线性规划问题题。满足线性约束条件解（满足线性约束条件解（x，y）称为）称为可行解可行解。全部全部可行解组成集合称为可行解组成集合称为可行域可行域。使目标函数取得最大值使目标函数取得最大值或最小值可行解称为或最小值可行解称为最优解最优解。第3页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。解线性规划问题步骤：解线性规划问题步骤：（2 2）移移：在线性目标函数所表示一组平行：在线性目标函数所表示一组平行线中，利用平移方法找出与可行域有公共线中，利用平移方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小直线；点且纵截距最大或最小直线；（3 3）求求：经过解方程组求出最优解；：经过解方程组求出最优解；（4 4）答答：作出答案。：作出答案。（1 1）画画：画出线性约束条件所表示可行域；：画出线性约束条件所表示可行域；第4页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。基础自测基础自测1.1.以下各点中以下各点中,不在不在x x+y y-10-10表示平面区域表示平面区域 是是 （）A.A.（0 0，0 0）B.B.（-1-1，1 1）C.C.（-1-1，3 3）D.D.（2 2，-3-3）C2.2.若点若点(1,3)(1,3)和和(-4,-2)(-4,-2)在直线在直线2 2x x+y y+m m=0=0两侧，则两侧，则m m 取值范围是取值范围是 （）A.A.m m-510 B.10 B.m m=-5=-5或或m m=10=10 C.-5 C.-5m m10 D.-50）仅在点）仅在点(3,0)处处取得最大值，则取得最大值，则a取值范围为取值范围为 。第18页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。题型三题型三 线性规划简单应用线性规划简单应用 【例例3 3】某企业仓库某企业仓库A A存有货物存有货物1212吨，仓库吨，仓库B B存有货物存有货物 8 8吨吨,现按现按7 7吨、吨、8 8吨和吨和5 5吨把货物分别调运给甲、乙、吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店丙三个商店.从仓库从仓库A A运货物到商店甲、乙、丙运货物到商店甲、乙、丙,每吨每吨 货物运费分别为货物运费分别为8 8元、元、6 6元、元、9 9元；从仓库元；从仓库B B运货到运货到 商店甲、乙、丙商店甲、乙、丙,每吨货物运费分别为每吨货物运费分别为3 3元、元、4 4元、元、5 5元元.问应怎样安排调运方案，才能使得从两个仓库问应怎样安排调运方案，才能使得从两个仓库 运货物到三个商店总运费最少？运货物到三个商店总运费最少？因为题目中量比较多，所以最好经过列因为题目中量比较多，所以最好经过列 出表格方便清楚地展现题目中条件出表格方便清楚地展现题目中条件.设出仓库设出仓库A A运给甲、乙商店货物吨数可得运到丙商运给甲、乙商店货物吨数可得运到丙商 店货物吨数，列出可行域，即可求解店货物吨数，列出可行域，即可求解.思维启迪思维启迪第19页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。解解 将已知数据列成下表：将已知数据列成下表：设仓库设仓库A A运给甲、乙商店货物分别为运给甲、乙商店货物分别为x x吨，吨，y y吨，吨，则仓库则仓库A A运给丙商店货物为运给丙商店货物为(12-(12-x x-y y）吨）吨,从而仓库从而仓库B B运给甲、乙、丙商店货物分别为运给甲、乙、丙商店货物分别为(7-(7-x x)吨、吨、(8-(8-y y)吨、吨、5-(12-5-(12-x x-y y)=()=(x x+y y-7)-7)吨吨,于是总运费为于是总运费为z z=8=8x x+6+6y y+9(12-+9(12-x x-y y)+3(7-)+3(7-x x)+4(8-)+4(8-y y)+5()+5(x x+y y-7)-7)=x x-2-2y y+126.+126.甲甲乙乙丙丙A A8 86 69 9B B3 34 45 5商店商店仓库仓库每每 吨吨 运运 费费第20页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。线性约束条件为线性约束条件为目标函数为目标函数为z z=x x-2-2y y+126.+126.作出上述不等式组表示平面区域，其可行域如图中作出上述不等式组表示平面区域，其可行域如图中阴影部分所表示阴影部分所表示.第21页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。作出直线作出直线l l:x x-2-2y y=0,=0,把直线把直线l l平行移动平行移动,显然当直线显然当直线l l移移 动到过点动到过点(0,8)(0,8)时时,在可行域内，在可行域内，z z=x x-2-2y y+126+126取得最小取得最小值值z zminmin=0-28+126=110,=0-28+126=110,即即x x=0,=0,y y=8=8时总运费最少时总运费最少.安排调运方案以下安排调运方案以下:仓库仓库A A运给甲、乙、丙商店货运给甲、乙、丙商店货物分别为物分别为0 0吨、吨、8 8吨、吨、4 4吨，仓库吨，仓库B B运给甲、乙、丙商店运给甲、乙、丙商店货物分别为货物分别为7 7吨、吨、0 0吨、吨、1 1吨，此时可使得从两个仓吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店总运费最少库运货物到三个商店总运费最少.解线性规划应用问题普通步骤是解线性规划应用问题普通步骤是:(1):(1)分分析题意析题意,设出未知量设出未知量;(2);(2)列出线性约束条件和目标函列出线性约束条件和目标函数数:(3):(3)作出可行域并利用数形结合求解作出可行域并利用数形结合求解;(4);(4)作答作答.探究提升探究提升第22页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。知能迁移知能迁移3 3 （四川，四川，1010）某企业生产甲、乙某企业生产甲、乙 两种产品两种产品,已知生产每吨甲产品要用已知生产每吨甲产品要用A A原料原料3 3吨、吨、B B原原 料料2 2吨；生产每吨乙产品要用吨；生产每吨乙产品要用A A原料原料1 1吨、吨、B B原料原料3 3吨吨.销售每吨甲产品可取得利润销售每吨甲产品可取得利润5 5万元、每吨乙产品可万元、每吨乙产品可 取得利润取得利润3 3万元，该企业在一个生产周期内消耗万元，该企业在一个生产周期内消耗A A原原 料不超出料不超出1313吨、吨、B B原料不超出原料不超出1818吨吨,那么该企业可获那么该企业可获 得最大利润是得最大利润是 （）A.12 A.12万元万元 B.20 B.20万元万元 C.25 C.25万元万元 D.27 D.27万元万元 第23页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。解析解析 设生产甲产品设生产甲产品x x吨、乙产品吨、乙产品y y吨，吨，则取得利润为则取得利润为z z=5=5x x+3+3y y.由题意得由题意得 可行域如图阴影所表示可行域如图阴影所表示.由图可知当由图可知当x x、y y在在A A点取值时，点取值时，z z取得最大值，取得最大值，此时此时x x=3=3，y y=4,=4,z z=53+34=27(=53+34=27(万元万元).).答案答案 D D第24页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。题型四题型四 线性规划综合应用线性规划综合应用 【例例4 4】（1212分）实数分）实数x x,y y满足满足（1 1）若）若 求求z z最大值和最小值，并求最大值和最小值，并求z z取值取值 范围；范围；（2 2）若）若z z=x x2 2+y y2 2，求，求z z最大值与最小值最大值与最小值,并求并求z z取值取值 范围范围.(1)(1)表示是区域内点与原点表示是区域内点与原点 连线斜率连线斜率.故故 最值问题即为直线斜率最值问题即为直线斜率 最大值与最小值最大值与最小值.（2 2）z z=x x2 2+y y2 2最值表示是区域最值表示是区域 内点与原点两点距离平方最大值、最小值内点与原点两点距离平方最大值、最小值.思维启迪思维启迪第25页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。解解 作出可行域如作出可行域如图阴影部分所表示图阴影部分所表示.(1)(1)表示可行域内任一点与表示可行域内任一点与(2)(2)坐标原点连线斜率，坐标原点连线斜率，4 4分分所以所以 范围为直线范围为直线OBOB斜率到直线斜率到直线OAOA斜率斜率(OAOA斜率不存在）斜率不存在）.z zmaxmax不存在，不存在，z zminmin=2,=2,z z取值范围是取值范围是2 2，+）.7.7分分解题示范解题示范第26页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。(2)(2)z z=x x2 2+y y2 2表示可行域内任意一点与坐标原点两表示可行域内任意一点与坐标原点两 点间距离平方点间距离平方.9.9分分所以所以x x2 2+y y2 2范围最小为范围最小为|OAOA|2 2（取不到），最大为（取不到），最大为|OBOB|2 2.由由 得得A A(0(0，1)1)，|OAOA|2 2=0=02 2+1+12 2=1=1，|OBOB|2 2=1=12 2+2+22 2=5.=5.z zmaxmax=5=5，z z无最小值无最小值.故故z z取值范围是（取值范围是（1 1，5 5.12.12分分第27页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。探究提升探究提升 本例与常规线性规划不一样，主要是目标函本例与常规线性规划不一样，主要是目标函数不是直线形式，这类问题常考虑目标函数几何意数不是直线形式，这类问题常考虑目标函数几何意义，常见代数式几何意义主要有以下几点：义，常见代数式几何意义主要有以下几点：(1)(1)表示点（表示点（x x,y y）与原点（）与原点（0 0，0 0）距离）距离;表示点（表示点（x x,y y）与（）与（a a,b b）距离）距离.(2)(2)表示点表示点(x x，y y)与原点与原点(0(0，0)0)连线斜率连线斜率;表示点表示点(x x，y y)与点与点(a a，b b)连线斜率连线斜率.了解这些代数式几何意义了解这些代数式几何意义,往往是处理问题关键往往是处理问题关键.第28页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。1.1.平面区域画法平面区域画法:二元一次不等式标准化与半平二元一次不等式标准化与半平 面对应性面对应性.对于对于A A00直线直线l l：AxAx+ByBy+C C=0=0，AxAx+ByBy+C C00对应直线对应直线l l右侧平面；右侧平面；AxAx+ByBy+C C00,0,当当A A00时表示直线时表示直线l l:AxAx+ByBy+C C=0=0右侧平面；当右侧平面；当A A000时，截距时，截距 取最大值时，取最大值时，z z也取也取 最大值；截距最大值；截距 取最小值时，取最小值时，z z也取最小值；当也取最小值；当b b0-1,-1,S SABCABC=|=|a a+1|=2,+1|=2,a a=3.=3.答案答案 D D 第33页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。2.2.(安徽理安徽理,7),7)若不等式组若不等式组 所表示所表示 平面区域被直线平面区域被直线 分为面积相等两部分为面积相等两部 分，则分，则k k值是值是 ()()第34页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。解析解析 不等式组表示平面区域如图所表示不等式组表示平面区域如图所表示.因为直线因为直线y y=kxkx+过定点过定点 所以只有直线过所以只有直线过ABAB中点时中点时,直线直线y y=kxkx+能平分平面区域能平分平面区域.因为因为A A(1,1),(1,1),B B(0,4),(0,4),所以所以ABAB中点中点 答案答案 A第35页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。3.3.若实数若实数x x,y y满足条件满足条件 目标函数目标函数z z=2=2x x-y y,则则 （）A.A.z zmaxmax=B.=B.z zmaxmax=-1=-1 C.C.z zmaxmax=2 D.=2 D.z zminmin=0=0 解析解析 如图所表示，当如图所表示，当z z=2=2x x-y y过过 时时,C第36页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。4.4.已知点已知点P P（x x,y y）满足）满足 点点Q Q(x x,y y)在在 圆圆(x x+2)+2)2 2+(+(y y+2)+2)2 2=1=1上上,则则|PQPQ|最大值与最小值为最大值与最小值为 （）A.6,3 B.6,2 C.5,3 D.5,2 A.6,3 B.6,2 C.5,3 D.5,2 解析解析 可行域如图阴影部分可行域如图阴影部分,设设|PQPQ|=|=d d，则由图中圆心，则由图中圆心 C C(-2,-2)(-2,-2)到直线到直线4 4x x+3+3y y-1=0-1=0 距离最小距离最小,则到点则到点A A距离最大距离最大.得得A A（-2-2，3 3）.d dmaxmax=|=|CACA|+1=5+1=6|+1=5+1=6，B第37页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。5.5.（湖北理，湖北理，8 8）在在“家电下乡家电下乡”活动中，某活动中，某 厂要将厂要将100100台洗衣机运往邻近乡镇台洗衣机运往邻近乡镇.现有现有4 4辆甲型货辆甲型货 车和车和8 8辆乙型货车可供使用辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用每辆甲型货车运输费用 400 400元，可装洗衣机元，可装洗衣机2020台；每辆乙型货车运输费用台；每辆乙型货车运输费用 300 300元元,可装洗衣机可装洗衣机1010台台.若每辆车至多只运一次若每辆车至多只运一次,则则 该厂所花最少运输费用为该厂所花最少运输费用为 （）A.2 000 A.2 000元元 B.2 200 B.2 200元元 C.2 400 C.2 400元元 D.2 800 D.2 800元元 第38页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。解析解析 设需甲型货车设需甲型货车x x辆，乙型货车辆，乙型货车y y辆，由题意知辆，由题意知作出其可行域如图所表示，作出其可行域如图所表示，可知目标函数可知目标函数z z=400=400 x x+300+300y y在点在点A A处取最小值，处取最小值，z zminmin=4004+3002=2 200(=4004+3002=2 200(元元).).答案答案 B B第39页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。6.6.(海南、宁夏文海南、宁夏文,10),10)点点P P(x x,y y)在直线在直线4 4x x+3+3y y=0=0 上上,且且x x,y y满足满足-14-14x x-y y7,7,则点则点P P到坐标原点距离到坐标原点距离 取值范围是取值范围是 （）A.A.0,50,5 B.B.0,100,10 C.C.5,105,10 D.D.5,155,15 解析解析 如图所表示，可知直线如图所表示，可知直线 4 4x x+3+3y y=0=0分别与直线分别与直线x x-y y=-14,=-14,x x-y y=7=7 交点为交点为P P1 1(-6,8)(-6,8)，P P2 2(3 3，-4)-4)，易知易知|OPOP1 1|=10,|=10,|OPOP2 2|=5.|=5.故故|OPOP|取值范围为取值范围为0 0，1010.B第40页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。二、填空题二、填空题 7.7.（陕西文，陕西文，1414）设设x x,y y满足约束条件满足约束条件 则则z z=x x+2+2y y最小值是最小值是_,_,最大值是最大值是_._.解析解析 如图所表示，由题意得如图所表示，由题意得A A（3 3，4 4）.由图能够看由图能够看 出，直线出，直线x x+2+2y y=z z过点（过点（1 1，0 0）时，）时，z zminmin=1,=1,过点过点(3,4)(3,4)时时,z zmaxmax=3+24=11.=3+24=11.1 11111第41页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。8.8.（山东文山东文,16,16）某企业租赁甲、乙两种设备某企业租赁甲、乙两种设备 生产生产A A，B B两类产品，甲种设备天天能生产两类产品，甲种设备天天能生产A A类产品类产品5 5 件和件和B B类产品类产品1010件件,乙种设备天天能生产乙种设备天天能生产A A类产品类产品6 6件件 和和B B类产品类产品2020件件.已知设备甲天天租赁费为已知设备甲天天租赁费为200200元元,设备乙天天租赁费为设备乙天天租赁费为300300元，现该企业最少要生产元，现该企业最少要生产 A A类产品类产品5050件件,B,B类产品类产品140140件件,所需租赁费最少为所需租赁费最少为 _ _元元.第42页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。解析解析 设需租赁甲种设备设需租赁甲种设备x x台，乙种设备台，乙种设备y y台，台，目标函数为目标函数为z z=200=200 x x+300+300y y.作出其可行域，易知当作出其可行域，易知当x x=4,=4,y y=5=5时，时，z z=200=200 x x+300+300y y有最有最小值小值2 3002 300元元.答案答案 2 3002 300第43页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。9.9.已知实数已知实数x x,y y满足不等式组满足不等式组 目标函数目标函数 z z=y y-axax(a aR R).).若取最大值时唯一最优解是若取最大值时唯一最优解是(1,3),(1,3),则实数则实数a a取值范围是取值范围是_._.解析解析 如图所表示，依题意直如图所表示，依题意直 线线x x+y y-4=0-4=0与与x x-y y+2=0+2=0交于交于 A A(1,3),(1,3),此时取最大值，此时取最大值，故故a a1.1.(1,+)(1,+)第44页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。三、解答题三、解答题10.10.若若a a0,0,b b0,0,且当且当 时，恒有时，恒有axax+byby1,1,求以求以a a,b b为坐标点为坐标点P P(a a,b b)所形成平面区域面积所形成平面区域面积.解解 作出线性约束条件作出线性约束条件 对应可行域如图所表示，对应可行域如图所表示，第45页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。在此条件下，要使在此条件下，要使axax+byby11恒成立恒成立,只要只要axax+byby最大最大 值不超出值不超出1 1即可即可.令令z z=axax+byby,则则 因为因为a a0,0,b b0,0,此时对应可行域如图，此时对应可行域如图，所以以所以以a a,b b为坐标点为坐标点P P（a a,b b）所形成面积为）所形成面积为1.1.第46页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。11.11.A A、B B两地分别生产同一规格产品两地分别生产同一规格产品1212千吨、千吨、8 8千吨千吨,而而D D、E E、F F三地分别需要三地分别需要8 8千吨、千吨、6 6千吨、千吨、6 6千吨，每千吨，每 千吨运价以下表千吨运价以下表.怎样确定调运方案怎样确定调运方案,使总运费使总运费 为最小？为最小？解解 设从设从A A到到D D运运x x千吨千吨,则从则从B B到到D D运运(8-(8-x x)千吨千吨;从从A A到到E E运运y y千吨千吨,则从则从B B到到E E运运(6-(6-y y)千吨千吨;从从A A到到F F运运(12-(12-x x-y y)千吨千吨,从从B B到到F F运运(x x+y y-6)-6)千吨千吨,运价运价(万元万元/千吨千吨)到到D D到到E E到到F F从从A A4 45 56 6从从B B5 52 24 4第47页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。则线性约束条件为则线性约束条件为线性目标函数为线性目标函数为z z=4=4x x+5+5y y+6(12-+6(12-x x-y y)+5(8-)+5(8-x x)+2(6-)+2(6-y y)+)+4(4(x x+y y-6)=-3-6)=-3x x+y y+100,+100,作出可行域，可观察出目标函数在作出可行域，可观察出目标函数在(8(8，0)0)点取到最小点取到最小值，即从值，即从A A到到D D运运8 8千吨，从千吨，从B B到到E E运运6 6千吨，从千吨，从A A到到F F运运4 4千吨，从千吨，从B B到到F F运运2 2千吨，可使总运费最少千吨，可使总运费最少.第48页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。12.12.在在R R上可导函数上可导函数 当当 x x(0,1)(0,1)时取得极大值时取得极大值,当当x x(1,2)(1,2)时取得极小值时取得极小值,求点求点(a a,b b)对应区域面积以及对应区域面积以及 取值范围取值范围.解解 函数函数f f(x x)导数为导数为f f(x x)=)=x x2 2+axax+2+2b b,当当x x(0,1)(0,1)时时,f f(x x)取得极大值取得极大值,当当x x(1,2)(1,2)时时,f f(x x)取得极小值取得极小值,则方程则方程x x2 2+axax+2+2b b=0=0有两个根有两个根,一个根在区间一个根在区间(0,1)(0,1)内内,另一个根在区间另一个根在区间(1,2)(1,2)内内,由二次函数由二次函数f f(x x)=)=x x2 2+axax+2 2b b图象与方程图象与方程x x2 2+axax+2+2b b=0=0根分布之间关系可根分布之间关系可 以得到以得到 第49页文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。在在aObaOb平面内作出满足约束条件平面内作出满足约束条件点点(a a,b b)对应区域为对应区域为ABDABD(不包不包括边界括边界),),如图阴影部分如图阴影部分,其中点其中点A A(-3,1),(-3,1),B B(-1,0),(-1,0),D D(-2,0),(-2,0),ABDABD面积为面积为 (h h为点为点A A到到a a轴距离轴距离).).点点C C(1,2)(1,2)与点与点(a a,b b)连线斜率为连线斜率为 返回返回 第50页