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八上第八上第1717章四边形章四边形设计思绪设计思绪 上海市初中数学教材编写组上海市初中数学教材编写组叶锦义叶锦义224第1页设计思绪是：设计思绪是：合理构建合理构建整章内容框架结构，整章内容框架结构，充分发挥充分发挥整体结构综合效能整体结构综合效能 第2页 大家知道，三角形，四边形，五大家知道，三角形，四边形，五边形，边形，都是多边形，三角形是，都是多边形，三角形是最简单、最基本多边形。学过三角最简单、最基本多边形。学过三角形后，照理四边形、五边形、形后，照理四边形、五边形、学学习应该用习应该用“化归化归”思想方法来进行，思想方法来进行，为何四边形要单独成章进行学习呢为何四边形要单独成章进行学习呢（五边形、六边形、（五边形、六边形、都没有单独都没有单独成章学习）？这包括到四边形这部成章学习）？这包括到四边形这部分内容单独地位作用。分内容单独地位作用。第3页一、四边形内容地位作用一、四边形内容地位作用 1.仅用仅用“化归化归”思想方法、三角形知识处思想方法、三角形知识处理四边形问题可能是困难低效理四边形问题可能是困难低效 四边形是人们日常生活中应用较广一个几四边形是人们日常生活中应用较广一个几何图形，尤其是平行四边形、矩形、菱形、正何图形，尤其是平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形用处更多。所以，四方形、梯形等特殊四边形用处更多。所以，四边形既是几何中基本图形，是平面几何主要研边形既是几何中基本图形，是平面几何主要研究对象之一。平行四边形、矩形、菱形、正方究对象之一。平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形各自有许多特殊性质，形、梯形等特殊四边形各自有许多特殊性质，各自有一套完整判定方法。所以，四边形问题，各自有一套完整判定方法。所以，四边形问题，尤其是特殊四边形问题，仅用尤其是特殊四边形问题，仅用“化归化归”思想方思想方法，仅用三角形知识，而不经过利用由它们内法，仅用三角形知识，而不经过利用由它们内部产生知识或思想方法来处理，可能是困难；部产生知识或思想方法来处理，可能是困难；即使处理，也是低效。即使处理，也是低效。第4页2.2.四边形和特殊四边形是概念学习（概念四边形和特殊四边形是概念学习（概念四边形和特殊四边形是概念学习（概念四边形和特殊四边形是概念学习（概念“定义定义定义定义”、“包含包含包含包含”、“隶属隶属隶属隶属”关系）经典、优质素材关系）经典、优质素材关系）经典、优质素材关系）经典、优质素材学生在上学期已进入论证几何阶段，并用逻辑推学生在上学期已进入论证几何阶段，并用逻辑推理方法基本上学完了三角形相关知识，同时刚理方法基本上学完了三角形相关知识，同时刚接触了概念定义。不过，即使学完了三角形，接触了概念定义。不过，即使学完了三角形，学生对于概念学习（概念学生对于概念学习（概念“定义定义”、“包含包含”与与“隶属隶属”关系等）逻辑知识知之甚少，这对关系等）逻辑知识知之甚少，这对学生深入学习数学（尤其是平面几何），带来学生深入学习数学（尤其是平面几何），带来一定限制性影响。经过四边形学习，学生能够一定限制性影响。经过四边形学习，学生能够深入学习一些如概念定义深入学习一些如概念定义“包含包含”与与“隶属隶属”关系等逻辑知识，而这些等逻辑知识习得，反关系等逻辑知识，而这些等逻辑知识习得，反过来能够帮助学生加深了解。过来能够帮助学生加深了解。第5页 我们平面几何定义，基本上采取实质定我们平面几何定义，基本上采取实质定义，就是揭示概念所反应对象固有属性义，就是揭示概念所反应对象固有属性或本质属性。其基本方法是：或本质属性。其基本方法是：被定义概念属概念被定义概念属概念+种差；即先概括种差；即先概括（找属概念）后限制（找种差）。（找属概念）后限制（找种差）。比如，矩形定义是：有一个角是直比如，矩形定义是：有一个角是直角平行四边形，其中角平行四边形，其中“平行四边形平行四边形”是是属概念，属概念，“有一个角是直角有一个角是直角”是种差。是种差。其余特殊四边形概念定义也都是采取这其余特殊四边形概念定义也都是采取这种方式。种方式。第6页第7页 3.完整三角形知识，是在完整三角形知识，是在“四边形四边形”一章中了结一章中了结 不少人认为三角形知识已经在八不少人认为三角形知识已经在八上论证几何中学完了，其实不然。上论证几何中学完了，其实不然。大家知道，三角形中位线定理是三大家知道，三角形中位线定理是三角形极其主要一条性质，不过，这角形极其主要一条性质，不过，这条性质学习几乎都安排在四边形条性质学习几乎都安排在四边形中学习，为何？因为这条定理证中学习，为何？因为这条定理证实普通都以平行四边形为认知基础。实普通都以平行四边形为认知基础。所以能够这么说，完整三角形知识所以能够这么说，完整三角形知识需要四边形知识辅佐。需要四边形知识辅佐。第8页二、本章教材安排与一期教材主要对比 1.相关内容分布相关内容分布 知识内容知识内容 二期书本分布二期书本分布 一期书本分布一期书本分布 多边形内角和多边形内角和 本章四边形，论证几何本章四边形，论证几何 六年级（下），属试验几何六年级（下），属试验几何多边形外角和多边形外角和 本章四边形，加强本章四边形，加强 无无平行四边形性质平行四边形性质 本章四边形，论证几何本章四边形，论证几何 七年级（下），属试验几何七年级（下），属试验几何向量及其向量及其 加减运算加减运算 本章四边形，论证几何本章四边形，论证几何 无无第9页 这些安排改变，是依据课程标准而这些安排改变，是依据课程标准而进行。进行。多边形学习是三角形学习后，依多边形学习是三角形学习后，依据据“从特殊到普通从特殊到普通”规律进行深入规律进行深入学习必定，所以安排在三角形学习必定，所以安排在三角形后、四边形前论证几何阶段学后、四边形前论证几何阶段学习比较自然。习比较自然。为何要增加多边形外角和定理？为何要增加多边形外角和定理？第10页请看一段文字：请看一段文字：1980年，陈省身教授在北京大年，陈省身教授在北京大学一次讲学中语惊四座：学一次讲学中语惊四座：“人们常说，三角形内角和等于人们常说，三角形内角和等于180度。不过，这是不正确度。不过，这是不正确!”大家愕然。怎么回事大家愕然。怎么回事?三角形内角三角形内角和是和是180度，这不是数学常识吗度，这不是数学常识吗?接着，这位老教授对大家疑问作接着，这位老教授对大家疑问作了精辟解答：了精辟解答：第11页 说说“三角形内角和为三角形内角和为180度度”不对，不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问不是说这个事实不对，而是说这种看问题方法不对，应该说题方法不对，应该说“三角形外角和是三角形外角和是360度度”!把眼光盯住内角，只能看到：把眼光盯住内角，只能看到：三角形内角和是三角形内角和是180度；度；四边形内角和是四边形内角和是360度；度；五边形内角和是五边形内角和是540度；度；第12页 n边形内角和是边形内角和是(n2)180度。度。这就找到了一个计算内角和公式。这就找到了一个计算内角和公式。公式里出现了边数公式里出现了边数n。假如看外角呢假如看外角呢?三角形外角和是三角形外角和是360度；度；四边形外角和是四边形外角和是360度；度；五边形外角和是五边形外角和是360度；度；第13页 任意任意n边形外角和都是边形外角和都是360度。度。这就把各种情形用一个十这就把各种情形用一个十分简单结论概括起来了。用分简单结论概括起来了。用一个与一个与n无关常数代替了与无关常数代替了与n相关公式，找到了更普通规相关公式，找到了更普通规律。律。第14页 我了解，陈教授意思是我了解，陈教授意思是 研究改变过程中自变量引发研究改变过程中自变量引发因变量改变，进而研究改变规律因变量改变，进而研究改变规律函数解析式，当然主要；但函数解析式，当然主要；但假如改变过程中，存在与自变量假如改变过程中，存在与自变量改变无关不变量，那么这是更应改变无关不变量，那么这是更应关注研究。关注研究。第15页将平行四边形性质与平行四边形判将平行四边形性质与平行四边形判定放在一起学习，有利于学生形成牢定放在一起学习，有利于学生形成牢靠认知结构。靠认知结构。平面向量及其运算是研究现实世界一些平面向量及其运算是研究现实世界一些问题必备工具。在数学学习中，因为应问题必备工具。在数学学习中，因为应用向量能够将形推理论证转化成数运算，用向量能够将形推理论证转化成数运算，因而向量也是处理许多数学问题有力工因而向量也是处理许多数学问题有力工具。经过两轮试点实践表明，在初中学具。经过两轮试点实践表明，在初中学习平面向量初步，是可行，是有成效。习平面向量初步，是可行，是有成效。第16页 2.矩形、菱形对比编排矩形、菱形对比编排 一期数学教材在矩形、菱形教学编排上，打破一期数学教材在矩形、菱形教学编排上，打破了原全国通用教材分别编排模式，采取了混合了原全国通用教材分别编排模式，采取了混合编排模式。十几年来师生们认可了这一模式，编排模式。十几年来师生们认可了这一模式，认为这么编排有利于学生了解矩形、菱形联络认为这么编排有利于学生了解矩形、菱形联络和区分，有利于正方形性质与判定导出。二期和区分，有利于正方形性质与判定导出。二期教材吸收了一期教材优点，采取对比编排形式，教材吸收了一期教材优点，采取对比编排形式，不论在不论在“矩形与菱形性质矩形与菱形性质”还是在还是在“矩形与菱矩形与菱形判定形判定”中，显示出分类讨论数学思想，展示中，显示出分类讨论数学思想，展示出强烈对比，使人感受到这两个图形相对于对出强烈对比，使人感受到这两个图形相对于对方一个方一个“互补性互补性”。在这种情景下学习正方形，。在这种情景下学习正方形，确实是确实是“水到渠成水到渠成”了。如了。如第17页有一个角是直角平行四边形叫矩形（有一个角是直角平行四边形叫矩形（有一个角是直角平行四边形叫矩形（有一个角是直角平行四边形叫矩形（rectanglerectangle）.有一组邻边相等平行四边形叫菱形（有一组邻边相等平行四边形叫菱形（有一组邻边相等平行四边形叫菱形（有一组邻边相等平行四边形叫菱形（rhombusrhombus）.1.研究矩形、菱形内角研究矩形、菱形内角.由矩形定义可知，它有一个内角是直由矩形定义可知，它有一个内角是直角角.如图如图2130，矩形，矩形ABCD中，中，A是是直角直角.因为矩形因为矩形ABCD是平行四边形，所以是平行四边形，所以 AC90,BD,ABCD360可知可知90第18页 由菱形定义可知，它内角没有特殊性由菱形定义可知，它内角没有特殊性质质.经过以上研究得到矩形一个特殊性质经过以上研究得到矩形一个特殊性质 矩形性质定理矩形性质定理1 矩形四个角都是直角矩形四个角都是直角 2.研究矩形、菱形边研究矩形、菱形边.第19页 菱形性质定理菱形性质定理1 菱形四条边都相等菱形四条边都相等.3.研究矩形、菱形对角线研究矩形、菱形对角线.矩形性质定理矩形性质定理2 矩形两条对角线相等矩形两条对角线相等.菱形性质定理菱形性质定理2 菱形对角线相互垂直，菱形对角线相互垂直，而且每一条对角线平分一组对角而且每一条对角线平分一组对角 第20页三、几点提议三、几点提议 1.继续把握好论证几何巩固阶段论证要求继续把握好论证几何巩固阶段论证要求“度度”定位：巩固阶段定位：巩固阶段 要求：总体要求：总体基本不变，不要急于靠初三；基本不变，不要急于靠初三；难度难度严格控制，不超出八上最高点；规范严格控制，不超出八上最高点；规范合理严格，逐步走向成熟、简练；方法合理严格，逐步走向成熟、简练；方法多元双向，加强分析，灵活选择解法。多元双向，加强分析，灵活选择解法。2.问题驱动，激活思维为先问题驱动，激活思维为先 不论情景引入、生活实际引入，还是数学内部不论情景引入、生活实际引入，还是数学内部问题引入，都需以问题来带动，并给予数学化。问题引入，都需以问题来带动，并给予数学化。当前尤其要注意当前尤其要注意“去数学化去数学化”倾向。倾向。第21页 3.努力展现教材中企盼表达数学思想努力展现教材中企盼表达数学思想 “从特殊到普通从特殊到普通”、“从普通到特殊从普通到特殊”认识论思想认识论思想 “从特殊到普通从特殊到普通”多边形内角和多边形内角和 “从普通到特殊从普通到特殊”平行四边形平行四边形矩形、矩形、菱形菱形正方形正方形 分类讨论思想分类讨论思想 矩形、菱形性质；矩形、菱形性质；矩形、菱形判定。矩形、菱形判定。第22页 数形结合思想数形结合思想 几何问题代数化、坐标化，代几何问题代数化、坐标化，代数问题图形化；向量问题作图。数问题图形化；向量问题作图。化归思想化归思想 多边形内角和探求，四边形作多边形内角和探求，四边形作图图第23页E-mail:第24页
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