力学竞赛之拉格朗日方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第一章第一章分析力学基础分析力学基础第第1页页 18 18世纪提出了处理多个约束刚体系统动力学问题。世纪提出了处理多个约束刚体系统动力学问题。利用利用矢量力学矢量力学分析出现以下问题：分析出现以下问题：对于复杂约束系统约束力性质和分布是未知；对于复杂约束系统约束力性质和分布是未知；表述形式复杂。如球坐标系下运动方程。表述形式复杂。如球坐标系下运动方程。质点系问题为大量方程微分方程组。质点系问题为大量方程微分方程组。1788 1788年拉格朗日发表了年拉格朗日发表了分析力学分析力学一书，提出了一书，提出了处理动力学问题新观点和新方法：处理动力学问题新观点和新方法：采取功和能量来描述采取功和能量来描述物体运动和相互作用力之间关系。物体运动和相互作用力之间关系。第第2页页与矢量力学相比，与矢量力学相比，分析力学特点：分析力学特点：（3 3）追求普通理论和普通模型，对于详细问题，只要代入和展开）追求普通理论和普通模型，对于详细问题，只要代入和展开 工作，处理问题规范化。工作，处理问题规范化。（1 1）把约束看成对系统位置（速度）限定，而不是看成一个力。）把约束看成对系统位置（速度）限定，而不是看成一个力。（2 2）使用广义坐标、功、能等标量研究系统运动，大量使用数学）使用广义坐标、功、能等标量研究系统运动，大量使用数学 分析方法，得到标量方程。分析方法，得到标量方程。（4 4）不但研究取得运动微分方程方法，也研究其求解普通方）不但研究取得运动微分方程方法，也研究其求解普通方 法。法。第第3页页 在完整约束条件下，确定质点系位置独立参数数目，在完整约束条件下，确定质点系位置独立参数数目，称为质点系称为质点系自由度数自由度数，简称，简称自由度自由度。1 11 1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 例：确定一个质点在空间位置需例：确定一个质点在空间位置需3 3个独立参量个独立参量 自由质点为自由质点为3 3个自由度。个自由度。例：质点例：质点M 被限定只能在球面被限定只能在球面上半部分运动上半部分运动由此解出由此解出第第4页页这么该质点在空间中位置就由这么该质点在空间中位置就由x,y这两个独立参数所确定这两个独立参数所确定它自由度数为它自由度数为2。n个质点组成质点系个质点组成质点系，若受到若受到s个完整约束作用个完整约束作用自由度数为自由度数为 N=3n-s描述质点系在空间中位置独立参数称为描述质点系在空间中位置独立参数称为广义坐标。广义坐标。对于完整约束对于完整约束广义坐标数目系统自由度数广义坐标数目系统自由度数思索：思索：非完整约束，广义坐标数目和系统自由度数目标关系？非完整约束，广义坐标数目和系统自由度数目标关系？第第5页页拉格朗日广义坐标拉格朗日广义坐标 约束方程为约束方程为 系统系统N个独立坐标参量表示为个独立坐标参量表示为系统系统n个坐标参量个坐标参量 设由设由n个质点组成系统受个质点组成系统受s个完整双侧约束个完整双侧约束 其中其中为广义坐标为广义坐标 变分称为变分称为广义虚位移广义虚位移。第第6页页例：一单摆在空间摆动，摆长为例：一单摆在空间摆动，摆长为l。约束方程为约束方程为 自由度数为自由度数为2 2。x，y为独立变量为独立变量 （单摆在（单摆在xy面上投影与面上投影与x轴夹角）为独立变量。轴夹角）为独立变量。第第7页页思索：思索：导弹在追踪飞机情况下，广义坐标数目和自由度导弹在追踪飞机情况下，广义坐标数目和自由度数目标关系怎样？数目标关系怎样？描述导弹位置：描述导弹位置：质心位置质心位置导弹纵轴和导弹纵轴和x 轴夹角轴夹角独立广义坐标数目为独立广义坐标数目为3 3 约束方程约束方程 导弹速度方向要对准飞机质心导弹速度方向要对准飞机质心 非完整约束非完整约束 独立虚位移数目自由度数目独立虚位移数目自由度数目2 2 第第8页页设作用在第设作用在第i个质点上主动力协力个质点上主动力协力 在三个坐标轴上投影分别为在三个坐标轴上投影分别为 虚功方程虚功方程 1 12 2 以广义坐标表示质点系平衡条件以广义坐标表示质点系平衡条件 1.1.以广义坐标表示质点系平衡条件以广义坐标表示质点系平衡条件第第9页页称为与广义坐标称为与广义坐标 相对应相对应广义力广义力 。因为广义坐标独立性因为广义坐标独立性 可认为任一值 如令如令 质点系平衡条件是系统全部广义力都等于零。质点系平衡条件是系统全部广义力都等于零。用广义坐标表示质点系平衡条件用广义坐标表示质点系平衡条件 第第10页页求广义力两种方法求广义力两种方法 1.1.直接计算法（解析法）直接计算法（解析法）2.2.几何法几何法 令某一个令某一个 不等于零不等于零 而其它而其它N-1个广义虚位移都等于零个广义虚位移都等于零 利用广义虚位移任意性，利用广义虚位移任意性，第第11页页例例1 11 1已知：杆已知：杆OA和和AB以铰链相连，以铰链相连，O端悬挂于圆柱铰链上，端悬挂于圆柱铰链上，杆长杆长OA=a AB=b，杆重和铰链摩擦都忽略不计。杆重和铰链摩擦都忽略不计。今在点今在点A和和B分别作用向下铅锤力分别作用向下铅锤力 和和又在点又在点B作用一水平力作用一水平力试求：平衡时试求：平衡时 与与 ，之间关系。之间关系。第第12页页系统有两个自由度。系统有两个自由度。现选择现选择 和和 为系统两个广义坐标为系统两个广义坐标 计算其对应广义力计算其对应广义力 和和用第一个方法计算广义力：用第一个方法计算广义力：解：解：第第13页页故故系统平衡时应有系统平衡时应有 第第14页页用第二种方法计算：用第二种方法计算：保持保持 不变，不变，只有只有 时时则对应于则对应于 广义力为广义力为 可得一组虚位移可得一组虚位移 第第15页页保持保持 不变，不变，只有只有 时时可得另一组虚位移可得另一组虚位移 对应于对应于 广义力广义力 第第16页页例例 1 12 2已知：重物已知：重物A和和B分别连接在细绳两端，重物分别连接在细绳两端，重物A放置在粗放置在粗 糙水平面上。重物糙水平面上。重物B绕过定滑轮绕过定滑轮E铅直悬挂。铅直悬挂。在动滑轮在动滑轮H轴心上挂一重物轴心上挂一重物C。设重物设重物A重量为重量为重物重物B重量为重量为，不计动滑轮不计动滑轮H重量。重量。试求：平衡时重物试求：平衡时重物C重量重量 ；以及重物以及重物A与水平面间静滑动摩擦因数。与水平面间静滑动摩擦因数。第第17页页系统含有两个自由度。系统含有两个自由度。广义坐标广义坐标：首先令首先令 向右向右，主动力所做虚功和为主动力所做虚功和为 对应广义坐标对应广义坐标 广义力为广义力为 解：解：第第18页页因为系统平衡时应有因为系统平衡时应有 所以平衡时所以平衡时,要求物块与台面间静摩擦因数要求物块与台面间静摩擦因数 再令再令 向下，向下，第第19页页2.2.以广义坐标表示保守系统平衡条件及系统稳定性以广义坐标表示保守系统平衡条件及系统稳定性 假如作用在质点系上主动力都是有势力，势能为假如作用在质点系上主动力都是有势力，势能为各力投影为各力投影为 虚功为虚功为 虚位移原理表示式成为虚位移原理表示式成为 第第20页页 在势力场中，含有理想约束质点系平衡条件为质点在势力场中，含有理想约束质点系平衡条件为质点 系势能在平衡位置处一阶变分为零。系势能在平衡位置处一阶变分为零。假如用广义坐标假如用广义坐标 表示质点系位置。表示质点系位置。则质点系势能能够写成广义坐标函数则质点系势能能够写成广义坐标函数 第第21页页由广义坐标表示平衡条件可写成以下形式由广义坐标表示平衡条件可写成以下形式 在势力场中含有理想约束质点系平衡条件是势能在势力场中含有理想约束质点系平衡条件是势能 对于对于每个广义坐标偏导数分别等于零。每个广义坐标偏导数分别等于零。不稳定平衡：不稳定平衡：在平衡位置上系统势能含有极大值。在平衡位置上系统势能含有极大值。随遇平衡：随遇平衡：系统在某位置附近其势能是不变。系统在某位置附近其势能是不变。稳定平衡：稳定平衡：在平衡位置处系统势能含有极小值。在平衡位置处系统势能含有极小值。第第22页页对于一个自由度系统，对于一个自由度系统，系统含有一个广义坐标系统含有一个广义坐标q，所以系统势能能够表示为所以系统势能能够表示为q一元函数一元函数即当系统平衡时，当系统平衡时，在平衡位置处有在平衡位置处有假如系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处系统势能含假如系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处系统势能含有极小值。有极小值。即系统势能对广义坐标二阶导数大于零即系统势能对广义坐标二阶导数大于零 一个自由度系统平衡稳定性判据一个自由度系统平衡稳定性判据第第23页页例例 1 13 3已知：如图所表示一倒置摆，摆锤重量为已知：如图所表示一倒置摆，摆锤重量为 ，摆杆长度为，摆杆长度为l，在摆杆上点在摆杆上点A连有一刚度为连有一刚度为k水平弹簧，摆在铅直位置水平弹簧，摆在铅直位置时弹簧未变形。设时弹簧未变形。设OA=a摆杆重量不计。摆杆重量不计。试求：摆杆平衡位置及稳定平衡时所应满足条件。试求：摆杆平衡位置及稳定平衡时所应满足条件。第第24页页解：解：该系统是一个自由度系统，该系统是一个自由度系统，选择摆角选择摆角 为广义坐标。为广义坐标。摆铅直位置为摆锤重力势能和弹簧弹性势能零点。摆铅直位置为摆锤重力势能和弹簧弹性势能零点。系统总势能为系统总势能为由有有由由得到系统平衡位置为得到系统平衡位置为第第25页页对于稳定平衡对于稳定平衡要求要求即即第第26页页 1 13 3 动力学普遍方程动力学普遍方程n个质点组成系统个质点组成系统第第i个质点个质点 ,，。惯性力为惯性力为理想约束作用理想约束作用 在理想约束条件下，质点系在任一瞬时所受主动力系和在理想约束条件下，质点系在任一瞬时所受主动力系和虚加惯性力系在虚位移上所作功和等于零。虚加惯性力系在虚位移上所作功和等于零。第第27页页 写成解析表示式写成解析表示式动力学普遍方程动力学普遍方程尤其适合于求解非自由质点系动力学问题。尤其适合于求解非自由质点系动力学问题。第第28页页例例 14已知：滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为已知：滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为 重物，绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为重物，绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为 重物。设滑轮和绳子重量以及轮轴摩重物。设滑轮和绳子重量以及轮轴摩 擦都忽略不计。擦都忽略不计。求：质量为求：质量为 物体下降加速度。物体下降加速度。第第29页页解：解：取整个滑轮系统为研究对象。取整个滑轮系统为研究对象。由动力学普遍方程由动力学普遍方程第第30页页例例 1 15 5已知：两相同均质圆轮半径皆为已知：两相同均质圆轮半径皆为R，质量皆为质量皆为m。求：当细绳直线部分为铅垂时，轮求：当细绳直线部分为铅垂时，轮II中心中心C 加速度。加速度。第第31页页解：解：研究整个系统。研究整个系统。此系统含有两个自由度此系统含有两个自由度取转角取转角 为广义坐标为广义坐标令令则点则点C 下降下降动力学普遍方程动力学普遍方程（a）第第32页页令令则则代入动力学普遍方程代入动力学普遍方程或或（b b）运动学关系运动学关系（c c）联立式（联立式（a a）（）（b b）（）（c c）解出）解出第第33页页 1 14 4 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程 设由设由n质点组成系统受质点组成系统受s个完整约束作用，系统含有个完整约束作用，系统含有N=3n-s个自由度。个自由度。设设 为系统一组广义坐标为系统一组广义坐标第第34页页对于完整约束系统，其广义坐标是相互独立。对于完整约束系统，其广义坐标是相互独立。故故 是任意，是任意，为使上式恒成立，为使上式恒成立，必须有必须有广义惯性力广义惯性力上式不便于直接应用，上式不便于直接应用，为此可作以下变换：为此可作以下变换：（1）证实：证实：第第35页页注意注意 和和 只是广义坐标和时间函数只是广义坐标和时间函数（2）证实证实：第第36页页对时间求微分对时间求微分而而若函数若函数 一阶和二阶偏导数连续一阶和二阶偏导数连续第第37页页第第38页页得到得到第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程 拉格朗日方程拉格朗日方程方程式数目等于质点系自由度数。方程式数目等于质点系自由度数。假如作用在质点系上主动力都是有势力（保守力）假如作用在质点系上主动力都是有势力（保守力）第第39页页于是拉格朗日方程能够写成于是拉格朗日方程能够写成引入拉格朗日函数（又称为动势）引入拉格朗日函数（又称为动势）则拉格朗日方程又能够写成则拉格朗日方程又能够写成第第40页页例例 1 16 6已知：轮已知：轮A沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上。沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上。A，B两轮皆为均质圆盘，两轮皆为均质圆盘，质量为质量为 物块物块C以细绳跨过定滑轮以细绳跨过定滑轮B联于点联于点A，半径为半径为R，质量为质量为 ，弹簧刚度为弹簧刚度为k，质量不计。质量不计。试求：当弹簧较软，在细绳能一直保持张紧条件下，试求：当弹簧较软，在细绳能一直保持张紧条件下，此系统运动微分方程。此系统运动微分方程。第第41页页解解：此系统含有一个自由度，此系统含有一个自由度，以物块平衡位置为原点。以物块平衡位置为原点。取取x为广义坐标为广义坐标。以平衡位置为重力零势能点。以平衡位置为重力零势能点。取弹簧原优点为弹性力零势能点。取弹簧原优点为弹性力零势能点。系统在任意位置系统在任意位置x处势能为处势能为其中其中 为平衡位置处弹簧伸长量为平衡位置处弹簧伸长量此系统动能为此系统动能为第第42页页系统动势为系统动势为代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程得得注意到注意到则系统运动微分方程为则系统运动微分方程为第第43页页例例 1 17 7试求：此系统运动微分方程。试求：此系统运动微分方程。已知：运动系统中，已知：运动系统中，可沿光滑可沿光滑，两个物体两个物体重物重物 质量为质量为摆锤摆锤 质量为质量为水平面移动。水平面移动。用无重杆连接，杆长为用无重杆连接，杆长为l。第第44页页解：解：选选 和和 为广义坐标为广义坐标（a a）将式（将式（a a）两端对时间求导数）两端对时间求导数（b b）系统动能系统动能第第45页页则系统势能为则系统势能为选质点选质点 在最低处时位置为系统零势能位置在最低处时位置为系统零势能位置由此得由此得第第46页页把以上结果代入拉格朗日方程中把以上结果代入拉格朗日方程中第第47页页假如质点假如质点 摆动很小，摆动很小，能够近似地认为能够近似地认为且能够忽略含且能够忽略含 和和 高阶小量，高阶小量，上式可改写为上式可改写为（c c）（d d）从以上两式中消去从以上两式中消去，得到，得到（e e）这是自由振动微分方程，其解为这是自由振动微分方程，其解为（f f）第第48页页固有角频率为固有角频率为摆动周期摆动周期（g）假如假如则质点则质点 位移位移 将很小将很小质点质点 摆动周期将趋于普通单摆周期摆动周期将趋于普通单摆周期若将式（若将式（e e）代入（）代入（d d）得到得到（h）可见质点可见质点 沿沿x方向也作自由振动。方向也作自由振动。将式（将式（f f）代入，）代入，第第49页页第第50页页第第51页页第第52页页第第53页页