大学微积分经济管理类省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

1 微 积 分l章学诚 刘西垣 编著普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”家级规划教材家级规划教材(经济管理类)第四章1第1页第四章 微分中值定理和导数应用4.34.54.2微分中值定理微分中值定理洛必达法则洛必达法则函数单调性函数单调性曲线上、曲线上、下凸性和拐点下凸性和拐点函数极值与最值函数极值与最值渐近线和函数作图渐近线和函数作图4.44.64.12第2页第四章 微分中值定理和导数应用4.14.24.34.44.54.6 数学是科学大门和钥匙数学是科学大门和钥匙.培根培根（R.Bacon，12141294）数学是科学和技术基础；没有强有力数学就不可能数学是科学和技术基础；没有强有力数学就不可能有强有力科学有强有力科学美国国家研究委员会美国国家研究委员会3第3页小 知 识R.培根，英国方济各会修士，哲学家、科学家和教育改革家，号称“万能博士”他深知获取可靠知识方法在数学、力学、光学、天文学、地理学、化学、音乐、医学、文法、哲学、伦理学和神学等方面都有不平凡著作，他强调数学和试验，在他著作大作中曾企图证实全部科学都需要数学.但他也充分认识到试验对科学发觉和验证理论作用和主要性,并预见科学造福于人类伟大前景.4第4页4.14.34.24.44.54.6导数概念刻画了函数一个局部特征联络导数和函数纽带是微分中值定理,它是用导数来研究函数性态理论基础,从而也成为导数应用理论基础本章首先介绍微分中值定理,随即以之为基础介绍了导数几个主要应用：求未定式值（洛必达法则）,函数单调性和曲线上、下凸性（函数凹凸性）及拐点判定,函数极值和最值求法,以及绘制函数图形基本方法5第5页4.14.34.24.44.54.64.1 微分中值定理 4.1.14.1.24.1.34.1.4罗尔定理罗尔定理 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式6第6页4.14.34.24.44.54.64.1.1 4.1.1 罗尔定理罗尔定理 首先介绍发觉于微积分产生之初一个著名定理费马引理,它含有主要应用费马(Fermat)引理设函数y=f(x)在点x0一个邻域U(x0)上有定义,并在x0点可导假如f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)(xU(x0)，则f(x0)=0这个引理几何含义是：在引理假设下,点P0(x0,f(x0)位于曲线C：y=f(x)(xU(x0)“谷底”（或“峰顶”）（如图4-1）,这时C在点P0切线必是水平图 4-17第7页4.14.34.24.44.54.6费马(Fermat)引理设函数y=f(x)在点x0一个邻域U(x0)上有定义,并在x0点可导假如f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)(xU(x0)，则f(x0)=0证设自变量x 在点x0处有改变量x,且x0 x U(x0),由假设,f(x0 x)f(x0),从而函数f(x)对应增量y=f(x0 x)f(x0)0,故当x 0 时当x 0,所以函数f(x)=lnsinx在上有意义,这是一个初等函数,从而是连续函数,它在上可导,其导数为又故f(x)满足罗尔定理条件,从方程可解得,它就是函数f(x)驻点13第13页4.14.34.24.44.54.6例例 2设函数f(x)在0,1上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=0.证实：存在(0,1)使得证需证结果可改写为f()f()=(x f(x)|x=0故可考虑函数F(x)=x f(x)它在0,1上满足罗尔定理条件,从而存在(0,1)使得F()=f()f()=014第14页4.14.34.24.44.54.6例例 3设f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=0.证实：存在(a,b)使得f()f()=0证若拟用罗尔定理证实上述结果,就需将它化成某一函数之导数等于零形式为此引进函数F(x)=ex f(x)显然,F(x)在a,b上满足罗尔定理条件,故必存在(a,b)使得F()=(ex f(x)|x=ef()ef()=e(f()f()=0因为e0,故得f()f()=015第15页4.14.34.24.44.54.64.1.2 4.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 罗尔定理中条件f(a)=f(b)很特殊,普通函数不满足这个条件,所以在大多数场所罗尔定理不能直接应用由此自然会想到要去掉这一条件,从而造成拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则(a,b),使得(4.1)或f(b)f(a)=f()(ba)(a b)(4.2)16第16页4.14.34.24.44.54.6拉格朗日(Lagrange)中值定理设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则(a,b),使得(4.1)这个定理几何意义是：对于曲线：y=f(x)(xa,b),其端点为A(a,f(a)和B(b,f(b),公式(4.1)左边表示弦AB 斜率,右边表示在点C(,f()切线斜率(如图4-3),(4.1)式表明这切线与直线AB 平行因为 是光滑连续曲线,这么点C 一定存在图图 4-317第17页4.14.34.24.44.54.6拉格朗日(Lagrange)中值定理设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则(a,b),使得(4.1)轻易看到,罗尔定理是拉格朗日定理特殊情形证可用罗尔定理来证实这个定理因为线段AB 与曲线 有共同端点,表示 和AB 两个函数之差定能满足罗尔定理条件.图图 4-318第18页4.14.34.24.44.54.6拉格朗日(Lagrange)中值定理设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则(a,b),使得(4.1)续证从直线AB方程或作新函数图图 4-319第19页4.14.34.24.44.54.6拉格朗日(Lagrange)中值定理设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则(a,b),使得(4.1)续证作新函数显然(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,其导数为且(a)=0,(b)=0.(x)(xa,b)符合罗尔定理条件,所以(a,b)使得这就得到(4.1)式.20第20页小 知 识拉格朗日(J.L.Lagrange,17361813),法国数学家,力学家,天文学家.出生于意大利,在中课时代就对数学和天文学深感兴趣,进入他故乡都灵皇家炮兵学校学习后,读了天文学家哈雷介绍牛顿微积分一篇短文,开始钻研数学.19岁任该校数学教授,23岁被选为柏林科学院院士,30岁任柏林科学院主席兼物理数学所所长.德皇腓特烈大帝认为在“欧洲最大王”宫廷里应该有“欧洲最大数学家”,于是1766年拉格朗日应邀赴德皇宫任职,长达,1786年德皇逝世后应法王路易十六邀请定居巴黎,直至逝世.21第21页小 知 识拉格朗日工作包括许多数学分支（包含数论，代数方程论，微积分，微分方程，变分法等）和物理分支，他主要兴趣是将引力定律应用于行星运动他著作分析力学是一部科学经典，但在当初却难以找到一个出版商，他是分析力学创始人他在为微积分奠定基础方面作了独特尝试，在数学史上被认为是对分析数学发展产生全方面影响数学家之一22第22页4.14.34.24.44.54.6(4.1)f(b)f(a)=f()(b a)(a b)(4.2)把(4.1)或(4.2)式中a,b 交换,公式不变,故当b a 时,(4.1)和(4.2)式依然成立23第23页4.14.34.24.44.54.6(4.1)f(b)f(a)=f()(b a)(a b)(4.2)公式(4.1)或(4.2)称为拉格朗日中值公式它也可写成f(x2)f(x1)=f()(x2 x1)(介于x1,x2之间).(4.3)拉格朗日定理条件普通函数都能满足,所以应用比较广泛,在微分学中占有主要地位,故有时也称为微分中值定理与罗尔定理一样拉格朗日定理只是断定了适合(4.1)式中值存在性,并没有给出确定方法或说明这种有多少个,但它依然含有主要理论意义24第24页4.14.34.24.44.54.6例例 4试就函数f(x)=lnx (x1,e)验证拉格朗日定理解f(x)=lnx 是基本初等函数,在1,e上连续,在(1,e)上可导,其导数为拉格朗日中值公式(4.1)此时为而f(e)=lne=1,f(1)=ln1=0,故上式即为或=e1易知1e,所以拉格朗日定理结论成立拉格朗日中值定理设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,则(a,b),使得(4.1)25第25页4.14.34.24.44.54.6从拉格朗日定理能够得到两个主要推论推论1假如函数f(x)在区间I 上导数恒等于零,则f(x)在I 上是一个常数.证由假设,f(x)在 I 上满足拉格朗日定理条件.任取 x1,x2I,x1x2,由拉格朗日中值公式(4.3),有f(x2)f(x1)=f()(x2x1)(x10,函数y=ln(1+x)在0,t上满足拉格朗日定理条件,由此(0,t)使得因为0t,故所以因为t是任意正数,不等式得证30第30页4.14.34.24.44.54.64.1.3 4.1.3 柯西中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理还能够推广到两个函数情形,即有柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)和g(x)都在a,b上连续,在(a,b)上可导,且g(x)0(x(a,b),则(a,b)使得(4.4)证由拉格朗日定理,在条件g(x)0下,g(b)-g(a)=g()(b-a)0(a a0,函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导,证实：存在(a,b)使得证上式可改写为故若设则F(x)和G(x)在a,b上满足柯西中值定理条件,所以必(a,b)使得而从而又问题得证.33第33页4.14.34.24.44.54.64.1.4 4.1.4 泰勒公式泰勒公式应用柯西中值定理能够证实下述定理,该定理对于更精细地研究函数含有主要意义.泰勒(Taylor)定理设f(x)在区间(a,b)上有连续n+1阶导数,x0(a,b),则有(4.5)其中是介于x0和x 之间某个值.34第34页4.14.34.24.44.54.6泰勒定理设f(x)在区间(a,b)上有连续n+1阶导数,x0(a,b),则有(x(a,b),其中是介于x0和x 之间某个值.证不妨设x0 x情况与之完全类似),考虑函数和G(t)=(x-t)n+1,显然,F(t)和G(t)在x0,x上连续,在(x0,x)上可导,且 F(x)=G(x)=0,G(x0)=(x-x0)n+1,G(t)=-(n+1)(x-t)n.并在(x0,x)上G(t)0.(4.5)所以F(t)和G(t)在x0,x上满足柯西中值定理条件,从而存在(x0,x),使得即35第35页4.14.34.24.44.54.6泰勒定理设f(x)在区间(a,b)上有连续n+1阶导数,x0(a,b),则有(x(a,b),其中是介于x0和x 之间某个值.所以此即公式(4.5).(4.5)所以F(t)和G(t)在x0,x上满足柯西中值定理条件,从而存在(x0,x),使得即(4.5)常称为f(x)在点x0n阶泰勒公式.当n=0时,(4.5)就是拉格朗日中值公式,故泰勒定理是拉格朗日中值定理推广.36第36页4.14.34.24.44.54.6泰勒定理设f(x)在区间(a,b)上有连续n+1阶导数,x0(a,b),则有(x(a,b),其中是介于x0和x 之间某个值.当xx0时,它表明,当用n次多项式作为f(x)近似时,其误差将伴随n增加而很快减小.当n=1时,(4.5)就是用微分df|x=x0迫近增量y=f(x)-f(x0)近似计算公式,所以公式(4.5)在函数值近似计算中有用.(4.5)而且在深入附加条件下,能够得到函数另一个表示形式(即用无穷级数表示).37第37页小 知 识泰勒(B.Taylor,16851731),英国数学家,18世纪早期英国牛顿学派最优异代表人物之一,171417任皇家学会秘书,是有限差分理论奠基人.在17出版著作正和反增量方法中陈说了他在17得到,后又以其名命名定理.书中还讨论微积分在一系列物理问题中应用.这个定理在1670年最早为J.格雷戈里(J.Gregory,16381675)和1673年莱布尼茨独立发觉,但他们都未发表.J.伯努利(John Bernoulli)于1694年在一杂志上首先公开发表了这个结果.泰勒知道，但没有引证，二者“证实”也不一样.38第38页4.14.34.24.44.54.6例例 8求以下函数在x=0点n 阶泰勒公式：1)ex;2)ln(1+x).解1)因为(ex)(k)=ex(kN),函数ex 适合泰勒定理条件,在x=0点ex=1,故由(4.5)得(介于0和x之间)(4.5)39第39页4.14.34.24.44.54.6例例 8求以下函数在x=0点n 阶泰勒公式：1)ex;2)ln(1+x).解2)设f(x)=ln(1+x),则用数学归纳法能够证实f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)!(1+x)-k(kN).所以f(k)(0)=(-1)k-1(k-1)!(kN).代入(4.5)即得其中介于0和x之间,或=x(00,一样能够证实例6和例7说明,当x+时,lnx,x(0)和ex 都是无穷大量,但它们增加速度却有很大差异：x(0不论多么小)比lnx 快,而ex 又比x(0不论多么大)更加快,所以在描述一个量增加得非常快时,经常说它是“指数型”增加57第57页4.14.34.24.44.54.64.2.2 4.2.2 其它类型未定式其它类型未定式除前面讲述型和型未定式外,还有5种其它类型未定式：0,-,00,1,0.0和-型未定式可经过代数恒等式变形转化成型或型未定式00,1,0型未定式可经过取对数转化成0型未定式下面用几个例子来说明这些类型未定式计算58第58页4.14.34.24.44.54.6例例 8求解当x 时所以这是0型未定式.设59第59页4.14.34.24.44.54.6例例 9设a 0,求解当x0+时x a0,lnx-,这是0型未定式.这个例子说明,当x0+时,尽管lnx是无穷大量,它与无穷小量xa(a 0)乘积仍是一个无穷小量60第60页4.14.34.24.44.54.6例例 10求解这是-型未定式.61第61页4.14.34.24.44.54.6例例 11求(00型).解设y=x x,则lny=x lnx,所以(由例9,p.137).从而例例 9设a 0,求(答案:0)62第62页4.14.34.24.44.54.6 例例 12求解这是1型未定式设,则从而63第63页4.14.34.24.44.54.64.3 函数单调性1.3节讲述了函数在区间上单调性概念,对于给定函数或曲线,经常首先关注是函数增减性或曲线升降走向,这是函数或曲线一个基本性质.假如按定义来判别函数在给定区间上单调性,普通比较麻烦,但假如用导数和微分中值定理来处理就会轻易得多.64第64页4.14.34.24.44.54.6设函数y=f(x)是a,b上单调增加（或降低）连续函数,而且在(a,b)上可导,则如图4-4(a)(或图4-4(b)所表示,曲线C:y=f(x)(x(a,b)在每一点切线倾角都是锐角(或钝角),从而f(x)0(或0)图 4-465第65页4.14.34.24.44.54.6设函数y=f(x)是a,b上单调增加（或降低）连续函数,而且在(a,b)上可导,则如图4-4(a)(或图4-4(b)所表示,曲线C:y=f(x)(x(a,b)在每一点切线倾角都是锐角(或钝角),从而f(x)0(或0)实际上,由函数f(x)单调增加定义,对任意一点x(a,b)和自变量在x 增量x(x+x(a,b),对应函数增量为y=f(x+x)-f(x),当x 0时y 0,当x 0时y 0(x(a,b),则由拉格朗日中值定理,对任意x1,x2a,b,x1x2,有f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1)(x10,故f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以f(x)是单调增加.同理,假如f(x)0(x(a,b)时f(x)在a,b上单调增加;当f(x)0(0,在(-,0)上y0;在(-1,2)上f(x)0,且为证f(x)在(0,+)内单调增加,只要证f(x)0,即证因为所以,在(0,+)上g(x)0,问题得证.73第73页4.14.34.24.44.54.6例例 5证实：当x0时,证设则f(0)=0,其导数所以f(x)在0,+)上单调增加,从而f(x)f(0)=0.这就证实了左边不等式成立用一样方法,引进函数g(x)=x-arctanx,能够证实右边不等式74第74页4.14.34.24.44.54.64.4 曲线上、下凸性和拐点4.4.14.4.2曲线上、下凸性和拐点曲线上、下凸性和拐点函数凸性函数凸性75第75页4.14.34.24.44.54.64.4.1 4.4.1 曲线上、下凸性和拐点曲线上、下凸性和拐点曲线上、下凸性就是曲线弯曲方向设f(x)是定义在区间I 上函数,P1,P2是曲线C:y=f(x)(xI)上任意两点,线段P1P2称为曲线C 弦,C 上介于P1,P2之间曲线段 称为C 弧定义假如曲线C:y=f(x)(xI)上任意两点P1,P2弦P1P2总在弧 之上（下）,则称曲线C 是下凸（上凸）下（上）凸有时也称为上凹或凹（下凹或凸）.76第76页4.14.34.24.44.54.64.4.1 4.4.1 曲线上、下凸性和拐点曲线上、下凸性和拐点曲线上、下凸性就是曲线弯曲方向设f(x)是定义在区间I 上函数,P1,P2是曲线C:y=f(x)(xI)上任意两点,线段P1P2称为曲线C 弦,C 上介于P1,P2之间曲线段 称为C 弧定义假如曲线C:y=f(x)(xI)上任意两点P1,P2弦P1P2总在弧 之上（下）,则称曲线C 是下凸（上凸）图4-5(a)中曲线是下凸(凹);图4-5(b)中曲线是上凸(凸)图 4-577第77页4.14.34.24.44.54.6注意,曲线上、下凸性与区间相关如图4-6,对于曲线:y=(x)(xa,b),弧是上凸（或凸）,弧是下凸（或凹）上、下凸弧分界点称为曲线拐点（或反曲点）.所以图4-6中点D 是曲线 拐点.注意,曲线在拐点必是连续.曲线上、下凸性可用解析方法加以描述.为此,先给出线段一个解析表示.图 4-678第78页4.14.34.24.44.54.6如图4-7,设x1x2,x 介于x1,x2之间,记则0l 1,从而 x-x1=l(x2-x1)(0l 1),或x=x1+l(x2-x1)=(1-l)x1+lx2(0l 1).由此,对于曲线C:y=f(x)(xI),设x1,x2是区间I中任意两点,x1x2,则点P1(x1,f(x1),P2(x2,f(x2)C.直线P1P2有方程以x=(1-l)x1+l x2(0l 1)代入上式,得图 4-7即y=f(x2)+(l-1)(f(x2)-f(x1)=(1-l)f(x1)+l f(x2).79第79页4.14.34.24.44.54.6所以,如图4-8,弦上点P 有坐标(1-l)x1+l x2,(1-l)f(x1)+l f(x2)(0l1);对于同一x,弧上点P有坐标(1-l)x1+l x2,f(1-l)x1+l x2).若曲线C 是下凸,则P 应在P 下方(图4-8(a),从而有f(1-l)x1+lx2)(1-l)f(x1)+l f(x2)(0l 1);(4.6)图 4-880第80页4.14.34.24.44.54.6所以,如图4-8,弦上点P 有坐标(1-l)x1+l x2,(1-l)f(x1)+l f(x2)(0l(1-l)f(x1)+l f(x2)(0l 1).(4.7)图 4-881第81页4.14.34.24.44.54.6假如函数f(x)在区间I 内可导,即曲线C 处处有切线,则C 上、下凸性能够用另一个方式来描述,并给出用导数f(x)进行判别方法.如图4-9(a),假如曲线C 是下凸,则C 切线斜率亦即导数f(x)是单调增加;一样,如图4-9(b),假如曲线C 是上凸,则C 导数f(x)是单调降低.图 4-982第82页4.14.34.24.44.54.6定理4.2 设f(x)(xI)在I 上可导,且f(x)在I 上单调增加(单调降低),则曲线C:y=f(x)(xI)在I 上是下(上)凸.证设f(x)在I 上单调增加,x1,x2I,x1x2.为方便计,不妨设x1x2,以及l(0,1).记x0=(1-l)x1+lx2,则x1x0 x2.由拉格朗日中值公式,有f(x1)=f(x0)+f(1)(x1-x0)(x11x0),f(x2)=f(x0)+f(2)(x2-x0)(x02x2).所以(1-l)f(x1)+l f(x2)=(1-l)f(x0)+f(1)(x1-x0)+lf(x0)+f(2)(x2-x0)=f(x0)+f(1)(1-l)(x1-x0)+l f(2)(x2-x0).(*)而x1-x0=-l(x2-x1),x2-x0=(1-l)(x2-x1),代入(*)式,即得(1-l)f(x1)+l f(x2)=f(x0)+l(1-l)(x2-x1)(f(2)-f(1).83第83页4.14.34.24.44.54.6定理4.2 设f(x)(xI)在I 上可导,且f(x)在I 上单调增加(单调降低),则曲线C:y=f(x)(xI)在I 上是下(上)凸.续证因为1x0f(1).而l(1-l)0,x2-x10,所以(1-l)f(x1)+l f(x2)f(x0)=f(1-l)x1+l x2).此即(4.6)式.从而曲线C是下凸.一样可证,若f(x)在I 上单调降低,则C 是上凸.若曲线C 是下凸,则有f(1-l)x1+l x2)(1-l)f(x1)+l f(x2)(0l 0(xI)时,f(x)在I 上单调增加;当f(x)0(xI),则曲线C 是下凸;若f(x)0,故曲线是下凸.一样,对于抛物线能够判定它是上凸.85第85页4.14.34.24.44.54.6例例 2讨论立方抛物线y=x3凸性.解y=3x2,y=6x.所以,在(0,+)上y 0,曲线是下凸;在(-,0)上y 0,曲线是上凸(如图1-21).求出了曲线上、下凸区间,也就能够知道曲线拐点.比如:在例2中坐标原点O是立方抛物线上凸和下凸两部分分界点,故是曲线拐点.图 1-2186第86页4.14.34.24.44.54.6普通地说,对于曲线C:y=f(x)(x I),假设x0I,则点P0(x0,f(x0)C.假如在x0两侧f(x)异号,则P0是C 拐点.(在这里要注意,不能说x=x0是C 拐点,因为拐点必须是曲线上点.)反之,假如点P0(x0,f(x0)是曲线C 拐点,二阶导数f(x)在x=x0有什么特点呢？假若f(x)在I 内连续,则因为曲线C 在点P0两侧凸性相反,f(x)在x=x0两侧异号,所以必有f(x0)=0.若f(x)在I 内不连续,则f(x)二阶导数不存在点也可能是f(x)符号在其两侧发生改变点,即f(x0)可能不存在.由此得到87第87页4.14.34.24.44.54.6曲线C:y=f(x)(xI)拐点求法计算f(x),并求出方程f(x)=0根和f(x)不存在点,对于每一个这么点x0,若f(x)在x0两侧异号,则P0(x0,f(x0)是C 拐点;不然P0不是C 拐点.例例 3求曲线y=ln(x2+1)上、下凸区间和拐点.解让y=0,得1-x2=0,x=1.函数无二阶导数不存在点.点x=1和x=-1把(-,+)分成三部分,在(-,-1)和(1,)上y 0,曲线是下凸.当x=1时y=ln2.故(-1,ln2)和(1,ln2)是曲线拐点.88第88页4.14.34.24.44.54.64.4.2 4.4.2 函数凸性函数凸性前面讨论了曲线上、下凸性,曲线凸性是函数凸性几何表现.定义假如曲线C:y=f(x)(xI)是下（上）凸,则称函数f(x)(xI)是凸（凹）函数.所以,关于函数f(x)(xI)和任意x1,x2I,x1x2及0l 1,假如总有f(1-l)x1+l x2)(1-l)f(x1)+l f(x2),(4.7)则f(x)在I 上是凹.89第89页4.14.34.24.44.54.6若设1-l=q1,l=q2,则0l1等价于q1+q2=1,0q1,q21.(4.6)和(4.7)依次能够写成以下形式：f(q1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2).(4.7)f(1-l)x1+l x2)(1-l)f(x1)+l f(x2),(4.7)90第90页4.14.34.24.44.54.6若设1-l=q1,l=q2,则0l1等价于q1+q2=1,0q1,q21.(4.6)和(4.7)依次能够写成以下形式：f(q1x1+q2x2)q1f(x1)+q2f(x2).(4.7)从前面曲线上、下凸性判别法,马上能够得到函数凹、凸性以下判别法：设函数f(x)在区间I 中有二阶导数f(x),若f(x)0(xI),则f(x)在I 上是凸;若f(x)0(xI),则f(x)在I 上是凹.91第91页4.14.34.24.44.54.6若f(x)在区间I 上是凸（凹）函数,则-f(x)是I 上是凹(凸)函数,故通常只讨论函数f(x)是否凸函数.函数凸性在凸分析和最优化理论中是一个基本概念,有主要应用.92第92页4.14.34.24.44.54.6 例例 4求函数 凹凸区间.解 f(x)=0时x=1,x=0时f(x)不存在.点x=-1,0,1将f(x)定义域(-,+)分成4个区间：(-,-1),(-1,0),(0,1),(1,+).在(-,-1)(1,+)上f(x)0,f(x)是凸.利用函数凸性能够证实一些不等式.93第93页4.14.34.24.44.54.6例例 5证实函数f(x)=-lnx 是凸函数,由此证实不等式a1-lbl(1-l)a+lb(a,b 0,0l 0,故f(x)是凸函数.由此,对a,b 0,ab,0l 1,由凸函数定义,即(4.6),有-ln(1-l)a+lb)(1-l)lna+l lnb.当a=b 时上式两边相等,故a,b 0,l(0,1),有ln(1-l)a+lb)(1-l)lna+l lnb.从而(1-l)a+lbe(1-l)lna+lb=a1-lbl,且“=”当且仅当 a=b 时成立.f(1-l)x1+l x2)(1-l)f(x1)+l f(x2),(4.6)94第94页4.14.34.24.44.54.64.5 函数极值与最值4.5.14.5.2函数极值函数极值函数最值函数最值95第95页4.14.34.24.44.54.6引发导数概念另一类主要实际问题就是寻求函数极值和最值.比如:在一定发射速度下,对于怎样射角,大炮射程到达最大?在17世纪早期,伽利略断定在真空中到达最大射程射角是45,他还求出了在不一样发射角下炮弹所能到达不一样最大高度.天文学中研究行星运动也碰到计算函数最大、最小值问题,比如行星到太阳最近距离和最远距离.96第96页4.14.34.24.44.54.64.5.1 4.5.1 函数极值函数极值定义给定函数f(x)(xD),设点x0D,假如x0有一个邻域U(x0)D,使得f(x)f(x0)(x),则称x0是函数f(x)极大(小)值点,f(x0)称为f(x)极大(小)值.函数极大值和极小值统称为函数极值,极大值点和极小值点统称为极值点97第97页4.14.34.24.44.54.6从定义可知,函数极值是函数一个局部性质,即它仅与函数在自变量某一邻域中改变情况相关,如图4-10,x1,x3是函数y=f(x)极大值点,x2,x4是极小值点,f(x1),f(x3)是f(x)极大值,f(x2),f(x4)是f(x)极小值在图中f(x1)f(x4),这说明极大值能够小于极小值.图 4-1098第98页4.14.34.24.44.54.6由4.1节中费马引理,可得定理4.3（极值必要条件）设函数f(x)在点x0可导,且x0是f(x)极值点,则必有f(x0)=0.所以,可导函数极值点必定是驻点但反之不然,驻点不一定是极值点比如:函数f(x)=x3在(-,+)上是单调增加,其图形如图1-21,f(0)=0,即x=0是它驻点,但不是极值点.图 1-2199第99页4.14.34.24.44.54.6另外,函数在不可导点也可能取得极值,比如函数g(x)=|x|,在x=0点都取得极小值0（后者参见4.3节例2,p.139,如图1-28(c),但它们在点x=0均不可导然而函数不可导点不一定是极值点,如函数其图形如图1-28(a),它在(-,+)上是单调增加,因此x=0不是它极值点,而(x)在点x=0也不可导(参见4.3节例1,p.139).从上所述知：连续函数极值点必是函数驻点和不可导点,不过这两种点不一定是极值点这时自然会提出问题是：驻点和不可导点在何种条件下是极值点？若是,终究是极大值点还是极小值点？100第100页4.14.34.24.44.54.6以下定理利用函数一阶和二阶导数给出了判定方法.定理4.4（极值第一充分条件）设函数f(x)在点x0一个邻域U(x0,)上连续,在去心邻域上可导1)若x(x0-,x0)时f(x)0,则f(x0)是f(x)极小值.2)若x(x0-,x0)时f(x)0,而x(x0,x0+)时f(x)0,则f(x0)是f(x)极大值.3)若f(x)在U(x0,)上含有确定符号（即恒正或恒负）,则f(x0)不是f(x)极值.这个定理不难了解解释以下.101第101页4.14.34.24.44.54.6以下定理利用函数一阶和二阶导数给出了判定方法.定理4.4（极值第一充分条件）设函数f(x)在点x0一个邻域U(x0,)上连续,在去心邻域上可导1)若x(x0-,x0)时f(x)0,则f(x0)是f(x)极小值.在1)条件下,如图4-11(a),f(x)在x0左侧邻域为单调降低,所以f(x)f(x0),而在x0右侧邻域f(x)为单调增加,所以f(x)f(x0),从而f(x0)小于x0邻近函数值,所以f(x0)为极小值.图 4-11102第102页4.14.34.24.44.54.6以下定理利用函数一阶和二阶导数给出了判定方法.定理4.4（极值第一充分条件）设函数f(x)在点x0一个邻域U(x0,)上连续,在去心邻域上可导2)若x(x0-,x0)时f(x)0,而x(x0,x0+)时f(x)0时,f(x0)是f(x)极小值；2)当f(x0)0时,f(x0+x)与x 同号,即f(x)在x0左侧邻近为负,右侧邻近为正,由定理4.41),f(x0)是极小值.1)若f(x)符号由负变正,则f(x0)是f(x)极小值.106第106页4.14.34.24.44.54.6定理4.5（极值第二充分判别法）设f(x)在点x0有二阶导数,且f(x0)=0,则1)当f(x0)0时,f(x0)是f(x)极小值；2)当f(x0)0时,f(x0)是f(x)极大值；3)当f(x0)=0时,不能判定f(x0)是否极值这是因为在f(x0)=0时,由二阶导数定义,同理,当f(x0)0时,f(x0)是f(x)极小值；2)当f(x0)0时,f(x0)是f(x)极小值；2)当f(x0)0)极值.解g(x)在(0,)上可导,其导数为故g(x)驻点为与题设不合,舍去).在x0左侧g(x)0故由第一判别法,x0是g(x)极小值点,g(x)极小值为g(x)没有极大值.111第111页4.14.34.24.44.54.6例例 3求函数极值.解故所以h(x)有一个不可导点x1=0,有两个驻点由第一充分判别法,因为在x1=0邻近两侧h(x)0),问题是要求S(r)最小值.S(r)在(0,+)上可导,其导数为令S(r)=0,得2pr3=V,故是S(r)唯一驻点,显然故S(r0)是S(r)最小值(不难判定S(r0)是S(r)极小值）.图 4-13此时容器高所以当容器高等于底直径时用料最省.117第117页4.14.34.24.44.54.6 例例 6有一个圆形冰场,在其中心上方高为h 地方装一盏灯.设冰道半径为a(是一常数),则在冰道上灯照度(反应通常“亮度”)(如图4-14),其中k 是与灯光强度有关一个常数问：当h 为何值时T 最大？解如图4-14,r2=a2+h2,所以问题是要求出T(h)最大值.图 4-14118第118页4.14.34.24.44.54.6 例例 6有一个圆形冰场,在其中心上方高为h 地方装一盏灯.设冰道半径为a(是一常数),则在冰道上灯照度(反应通常“亮度”)(如图4-14),其中k 是与灯光强度有关一个常数问：当h 为何值时T 最大？续解由得因为h 0,故T(h)唯一驻点为 图 4-14因为故T(h0)是T(h)最大值,此时灯高度为119第119页4.14.34.24.44.54.6例例 7从半径为R圆面上剪下一中心角为a 扇形,并把这扇形卷成一个圆锥面.设这圆锥体积为V,问:当a 取何值时V最大?解如图4-15,设圆锥底半径为r,高为h,则由扇形与圆锥面关系r2+h2=R2,扇形弧长应等于圆锥面底圆周长,故Ra=2pr,即从而由此问题是要求函数V(a)(0 a1).证考虑函数f(x)=x p+(1-x)p (0 x 1),它在0,1上连续,所以必有最大、最小值,其导数f(x)=p x p-1-p(1-x)p-1.当f(x)=0时,有p x p-1-p(1-x)p-1=0,即x=1-x.所以f(x)有唯一驻点 f(x)无不可导点.又f(0)=1,f(1)=1,而由p 1,得从而21-pf(x)1(x0,1).这就是所要证不等式122第122页4.14.34.24.44.54.6 例例 9设某企业生产一个产品市场需求量D(件)为其价格p(元)函数D(p)=12000-80p,在产销平衡情况下,其总成本函数为C(D)=25000+50D,又每件产品纳税额为1元.问:当p 为多少时企业所获利润最大,最大利润为多少？解企业收益函数为R(p)=pD(p),故其利润函数为L(p)L(p)=-160p+16080,所以函数L(p)唯一驻点为=100.5(元).因为L(p0)=-1600,故L(p0)是函数L(p)极大值,而且就是最大值这时D(p0)=12 000-80p0=3 960(件),L(p0)=(p0-51)D(p0)-25000=171020(元).问题是要求L(p)最大值.所以,当每件产品定价为100.5元时企业取得利润最大,为171020元123第123页4.14.34.24.44.54.6 例例 10设某商场每个月需某种商品2500件,每件成本价为150元,每件库存费用为15016%元/年,而每次订货费为100元.问每批进货多少件时这两项费用之和最低？解设每批进货量为x 件,并设每日销售量改变不大,故每个月库存费用=平均库存量每件库存费所以每个月库存费和订货费共计问题是要求出函数y(x)最小值.124第124页4.14.34.24.44.54.6 例例 10设某商场每个月需某种商品2500件,每件成本价为150元,每件库存费用为15016%元/年,而每次订货费为100元.问每批进货多少件时这两项费用之和最低？续解y=0时x2=250000,故函数y(x)有唯一驻点x0=500,它没有不可导点因为所以y(x0)=1000元为函数y(x)极小值,而且也是最小值,即当每批进货量为500件时,这两项费用之和为最低,共用1000元.125第125页4.14.34.24.44.54.64.6 渐近线和函数作图4.6.14.6.2曲线水平和竖直渐近线曲线水平和竖直渐近线函数作图函数作图126第126页4.14.34.24.44.54.6利用函数一阶和二阶导数,能够判定函数单调性和曲线上、下凸性,从而对函数所表示曲线升降和弯曲情况有定性认识但当函数定义域为无穷区间或有没有穷类型间断点时,还需了解曲线向无穷远处延伸趋势,这就造成曲线渐近线概念127第127页4.14.34.24.44.54.64.6.1 4.6.1 曲线水平和竖直渐近线曲线水平和竖直渐近线假如曲线C 上点P 沿着曲线趋向无穷远时,P 到某条定直线L 距离趋于零,则称L 为C 渐近线在平面解析几何中,我们知道双曲线