应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇部分习题解答新版省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

应用多元统计分析应用多元统计分析第三章习题解答第三章习题解答1第1页第三章第三章 多元正态总体参数假设检验多元正态总体参数假设检验 3-1 3-1 设设XNn(,2 2In),),A为对称幂等为对称幂等阵阵,且且rk(rk(A)=)=r(rn),证实证实 证实证实 因因A为对称幂等阵，而对称幂等阵特征为对称幂等阵，而对称幂等阵特征值非值非0 0即即1,1,且只有且只有r个非个非0 0特征值，即存在正交阵特征值，即存在正交阵(其列向量其列向量ri为对应特征向量为对应特征向量)，使，使2第2页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验3第3页其中非中心参数为其中非中心参数为第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验4第4页3-2 3-2 设设XN Nn n(,2In),),A，B为为n阶对称阶对称阵阵.若若AB 0,0,证实证实XAX与与XBX相互独立相互独立.证实思绪：证实思绪：记记rk(rk(A)=)=r.因因A为为n阶对称阵阶对称阵,存在正交阵存在正交阵,使得使得 A=diag(=diag(1,1,r 0,.,0)0,.,0)令令YX，则，则YNn(,2In),),第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验且且5第5页 又因为又因为 XBX=YB Y=YHY其中其中H=B。假如能够证实。假如能够证实XBX可表示为可表示为Yr+1+1，,Yn函数，即函数，即H只是右下只是右下子块为非子块为非0矩阵。矩阵。则则XAX 与与XBX相互独立。相互独立。第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验6第6页 证实证实 记记rk(rk(A)=)=r.若若r=n,由由ABO,知知B Onn,于是于是XAX与与XBX独立；独立；若若r=0=0时时,则则A0,0,则两个二次型也是独则两个二次型也是独立立.以下设以下设0 0rn.因因A为为n阶对称阵阶对称阵,存在正存在正交阵交阵,使得使得第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验7第7页 其中其中i00为为A特征值特征值(i=1,=1,r).).于是于是令令r第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验 由由ABO可得可得DrH1111O ，DrH1212O.因因Dr为满秩阵为满秩阵,故有故有H1111Orr，H1212Or(n-r).因为因为H为对称阵，所以为对称阵，所以H2121O(n-r)r.于是于是8第8页 因为因为Y1 1，,Yr,Yr+1,Yn相互独立，故相互独立，故XAX与与XBX相互独立相互独立.第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验令令YX，则，则Y N Nn(,2In),),且且9第9页 设设XN Np(,),0,0,A和和B为为p阶对称阵阶对称阵,试证实试证实 (X-)A(X-)与与(X-)B(X-)相互相互独立独立 AB0 0pp.第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验3-310第10页由由“1.“1.结论结论6”6”知知与与相互独立相互独立 第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验11第11页 性质性质4 4 分块分块Wishart矩阵分布矩阵分布:设设X()Np(0,)(1,n)相互独立，其中相互独立，其中又已知随机矩阵又已知随机矩阵则则第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验试证实试证实Wishart分布性质分布性质(4)和和T2分布性质分布性质(5).3-412第12页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验证实证实:设设记记,则则即即13第13页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验当当12=O 时时,对对1,2,n,相互相互 独立独立.故有故有W11与与W22相互独立相互独立.由定义由定义3.1.4可知可知14第14页 性质性质5 在非退化线性变换下在非退化线性变换下,T2统计量保持不统计量保持不变变.证实证实:设设X()(1,n)是来自是来自p元总体元总体Np(,)随机样本随机样本,X和和Ax分别表示正态总体分别表示正态总体X样本均值向量和离差阵样本均值向量和离差阵,则由性质则由性质1有有第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验令令其中其中C是是p p非退化常数矩阵，非退化常数矩阵，d是是p 1常向量。常向量。则则15第15页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验所以所以16第16页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验3-5 对单个p维正态总体Np(,)均值向量检验问题，试用似然比原理导出检验H0:=0(=0已知)似然比统计量及分布.解解:总体总体XN Np p(,(,0 0)()(0 00),0),设设X()(=1,(=1,n)()(np)为来自为来自p维正态总体维正态总体X样本样本.似然比统计量为似然比统计量为P66当当=0已知已知检验检验17第17页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验18第18页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验19第19页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验因因所以由所以由3“一一 2.结论结论1”可知可知20第20页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验 3-6 (均值向量各分量间结构关系检验均值向量各分量间结构关系检验)设总体设总体XN Np p(,)(,)(0),0),X()(1,1,n)()(np)为来自为来自p维正态总维正态总体体X X样本，记样本，记(1 1,p).).C为为kp常数常数(k p),rank(),rank(C)=)=k,r为已知为已知k维向量维向量.试给出检验试给出检验H H0 0:C:Cr检验统计量及分布检验统计量及分布.解：解：令令则则Y()(1,1,n)为来自为来自k维正态总体维正态总体Y样本，且样本，且21第21页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验检验检验这是单个这是单个k维正态总体均值向量检验问题维正态总体均值向量检验问题.利用利用3.2当当y=CC未知未知时时均均值值向量向量检验检验给给出出结论结论,取取检验统计检验统计量量:22第22页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验 3-7 设总体设总体XNp(，)(0),X()(1,n)(np)为来为来自自p维正态总体维正态总体X样本，样本均值为样本，样本均值为X，样本离差阵为，样本离差阵为A.记记(1 1,p p).为检验为检验H0 0:1 1=2 2=p p ,H1 1:1 1,2 2,p p最最少有一对不相等少有一对不相等.令令则上面假设等价于则上面假设等价于H0 0：C=0p-1,H1 1：C 0p-1试求检验试求检验H0 似然比统计量和分布似然比统计量和分布.解：解：最少有一对不相等最少有一对不相等.23第23页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验利用利用3-6结果知，检验结果知，检验H0似然比统计量及分布为：似然比统计量及分布为：其中其中(注意注意:3-6中中k在这里为在这里为p-1)24第24页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验 3-8 假定人体尺寸有这么普通规律假定人体尺寸有这么普通规律:身高身高(X1),胸围胸围(X2)和上半臂围和上半臂围(X3)平均尺寸百分比是平均尺寸百分比是6 4 1.假设假设X()(1,n)为来自总体为来自总体X=(X1,X2,X3)随机样本随机样本.并设并设XN3(,)，试利用表，试利用表3.5中男婴这一组数据检中男婴这一组数据检验三个尺寸验三个尺寸(变量变量)是否符合这一规律是否符合这一规律(写出假设写出假设H0,并并导出检验统计量导出检验统计量).解：解：检验三个尺寸检验三个尺寸(变量变量)是否符合这一规律问题是否符合这一规律问题可分成假设检验问题可分成假设检验问题.因为因为其中其中注意注意:25第25页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验检验假设检验假设H0为为 利用利用3-6结论，取检验统计量为：结论，取检验统计量为：由男婴测量数据由男婴测量数据(p=3,n=6)计算可得计算可得 T2=47.1434,F=18.8574,p值值=0.0091950未知未知.检验检验H0似然比统计量为似然比统计量为记记其中其中30第30页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验其中其中 A=A1+A2称为组内离差阵称为组内离差阵.B称为组间离差阵称为组间离差阵.31第31页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验因为因为似然比统计量似然比统计量32第32页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验所以所以33第33页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验由定义由定义3.1.5可知可知由由或或因为因为34第34页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验可取检验统计量为可取检验统计量为检验假设检验假设H0否定域为否定域为35第35页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验3-11 表表3.5给出给出15名名2周岁婴儿身高周岁婴儿身高(X1)，胸围，胸围(X2)和和上半臂围上半臂围(X3)测量数据测量数据.假设男婴测量数据假设男婴测量数据X()(1,6)为来自总体为来自总体N3(1)，)随机样本随机样本.女婴测量数女婴测量数据据Y()(1,9)为来自总体为来自总体N3(2)，)随机样本随机样本.试利用表试利用表3.5中数据检验中数据检验H0:(1)=(2)(=0.05).解解:这是两总体均值向量检验问题这是两总体均值向量检验问题.检验统计检验统计量取为量取为(p=3,n=6,m=9):36第36页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验其中其中故检验统计量为故检验统计量为用观察数据代入计算可得用观察数据代入计算可得:故故H0相容相容.显著性概率值显著性概率值37第37页 第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验 3-12 3-12 在地质勘探中，在在地质勘探中，在A A、B B、C C三个地域采集了一些岩石，三个地域采集了一些岩石，测其部分化学成份见表测其部分化学成份见表3.6.3.6.假定这三个地域岩石成份遵从假定这三个地域岩石成份遵从N N3 3(i i)，i i)()(i1 1，2 2，3)(=0.05).3)(=0.05).(1)(1)检验检验H0H0：1 12 23 3；H1H1：1 1,2 2,3 3不全等不全等;(2)(2)检验检验H0H0：(1)(1)(2)(2),H1,H1：(1)(1)(2)(2);(3)(3)检验检验H0:H0:(1)(1)(2)(2)(3)(3),H1:,H1:存在存在ij,ij,使使(i)(i)(j)(j);(4)(4)检验三种化学成份相互独立检验三种化学成份相互独立.解解:(4)设来自三个总体样本为设来自三个总体样本为(p=3,k=3)检验检验H0似然比统计量为似然比统计量为38第38页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验似然比统计量分子为似然比统计量分子为39第39页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验称为合并组内离差阵称为合并组内离差阵.40第40页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验41第41页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验似然比统计量分母为似然比统计量分母为42第42页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验检验检验H0似然比统计量可化为似然比统计量可化为:43第43页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验 Box证实了，在证实了，在H0成立下当成立下当n时，时，=-blnV2(f)，其中其中 V=0.7253,=-blnV=3.2650,因因 p=0.35250.05.故故H0相容，即随机向量三个分量相容，即随机向量三个分量(三种化三种化学成份学成份)相互独立相互独立.44第44页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验 或者利用定理或者利用定理3.2.1,当当n充分大时，充分大时，=-2ln2(f)，其中其中 f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3,V=0.7253,=0.1240,=-2ln=-nlnV=4.1750,因因 p=0.24320.05.故故H0相容，即随机向量三个分量相容，即随机向量三个分量(三种化三种化学成份学成份)相互独立相互独立.45第45页第三章第三章 多元正态总体参数检验多元正态总体参数检验3-13 对表对表3.3给出三组观察数据分别检验是否给出三组观察数据分别检验是否来自来自4维正态分布维正态分布.(1)对每个分量检验是否一维正态对每个分量检验是否一维正态?(2)利用利用2图检验法对三组观察数据分别检验图检验法对三组观察数据分别检验是否来自是否来自4维正态分布维正态分布.46第46页