应用题的本质是数学建模市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

应用题本质是数学建模应用题本质是数学建模应用题本质是数学建模应用题本质是数学建模 问：浙江杭州当代小学数学教育研究中心问：浙江杭州当代小学数学教育研究中心 唐彩斌唐彩斌答：答：华东师范大学数学系华东师范大学数学系 张奠宙张奠宙 教授教授 http:/.第1页引言与现实状况 二三四五六一第2页“船长年纪问题”：“在一条船上，有75头牛，32只羊，请问船长几岁？”有多少学生把两个数直接相加减？前，90；后，？62背景说明 第3页10道应用题测试结果 问 题经过率1水果店运来苹果和梨共水果店运来苹果和梨共650650千克，苹果千克，苹果1010箱，每箱箱，每箱2020千克，千克，梨梨1515箱，梨每箱多少千克？箱，梨每箱多少千克？942一张凳子售价25元，桌子售价比一条凳子售价4倍少1元，一张桌子售价多少元?943一个工程队用一样速度修两条水泥路，第一条长256米，第二条长448米，修完第一条路用了4天。照这么速度，修第2条路用时间比修第一条路用时间多多少天？814有一个煤矿，原来计划上六个月660万吨，实际每个月比计划多产22万吨，实际多少月完成？675工厂食堂有4吨大米，7天用了1120千克，照这么计算，这些大米还能够用多少天？66第4页10道应用题测试结果 问 题经过率6电视机厂原计划20天生产一批电视机，实际天天生产25台，提前4天完成了任务。原计划平均天天生产多少台？667600元钱去买玩具，买了24个玩具后还剩120元，照这么计算，一共能够买多少个玩具？658某煤厂原计划天天运煤498吨，15天可运完。实际运了18天才运完，求天天比原计划少运多少吨煤？589甲乙两人同时从相距168千米公路两端相向而行，甲骑车每小时行20千米，乙行4小时后两人相遇，求乙每小时比甲多行多少千米？5010一条公路长2400米，AB两支施工队同时从公路两端往中间铺柏油路，A队施工速度是B队2倍，4天后这条公路全部铺完。A,B两队天天铺路多少米？41第5页应用题教学现实状况“中国数学教育在实践上必定比美国好中国数学教育在实践上必定比美国好”数学大家陈省身。数学大家陈省身。张奠宙，王善平著张奠宙，王善平著第6页汇报提要123 3引言与现实状引言与现实状况况什么是数学应用题什么是数学应用题数学应用题本质是什么数学应用题本质是什么“问题处理问题处理”与应用题教学什么关与应用题教学什么关系系应用题要不要讲类型应用题要不要讲类型应用题教学与学生生活什么关系应用题教学与学生生活什么关系小学数学中模型有哪些小学数学中模型有哪些43 563 7第7页三四五六七二什么是小学数学应用题 第8页文字题文字题问题处理问题处理数学应用数学应用综合应用综合应用处理问题处理问题习题习题应用题第9页应用题渊源应用题出现渊远流长。古埃及纸草书、中国算数书等古代数学典籍，都是应用题汇编。数学发展有两个原动力，一是要处理大自然和社会现实提出数学问题，二是要处理数学内部生成数学问题。前者研究结果是应用数学，后者研究结果成为纯粹数学。第10页数学分为纯粹数学和应用数学哥德巴赫猜测汉字排版技术陈景润作出“1+2”领先结果王选将数学和计算机结合引发印刷革命第11页小学数学中纯数学问题和应用数学问题小学纯粹数学问题：数与运算规则。交换律、分配律，通分 质数与合数；无限循环小数；平行线；小学应用性数学问题:现实应用：买卖中货币计算 科学应用：旅程、速度、时间关系 模拟应用：鸡兔同笼第12页纯数学问题与应用问题之间联络小学数学中，数扩展以及对应运算规则，属于纯粹数学范围，将这些规则和现实相联络，并应用于现实，则是小学应用数学范围。数学是由问题驱动。小学数学应用题教学，表达小学数学应用，培养学生与此相关数学思维模式。第13页应用数学是永存假如说，应用数学是永存，那么数学应用题教学也是永存。只不过要“与时俱进”，不停改革而已。“谁用好，谁就赢了”（姜伯驹语）。20世纪下半叶以来，数学最大进步是应用，计算机技术出现之后，应用数学一个进展，是对一个个详细问题建立一个个数学模型。所以，用建立数学模型观点加以诠释，是改革小学应用题教学参考基点第14页什么是小学数学应用题？1.算术方法求解（包含一些简易代数思索）；解小学数学应用题主要是用算术方法，当前也使用一些简易代数思想。2.用自然语言表示，即用文字叙述问题。西方有时把小学应用题称作“文字题（wordproblem）”，即用自然语言表示数学问题。文字题需要将自然语言文字翻译为“数学符号组成算式”，然后再用数学方法求解。第15页什么是小学数学应用题？3.含有比较复杂情景。应用题必须表示一个详细“情景”，不论是表示生活实际，或者合理地虚拟编制，都必须反应一个生动详细情境，不能是纯粹数学问题。情境往往有一些特定常识性规律，在解题时需要加以剖析和利用。作为一个含有较高思维价值问题，“应用题”所展现情境，应该含有挑战性，不一样于书本引进新内容时所展现简单情景。第16页四五六七三数学应用题本质是什么 第17页什么是数学模型？数学建模是 20世纪下半叶，伴随计算机技术发展而形成数学思想方法。当前已经成为数学应用基本模式。数学模型，普通地说，乃是针对或参考某种事物系统实际特征或数量相依关系，采取形式化数学符号和语言，概括地或近似地表述出来一个数学结构。第18页数学内容本身就是一个数学模型自然数是表述有限集合“数数”过程 数学模型。加法是“合并”、“添加”等活动数学模型分数是平均分配物品数学模型；元角分计算模型是小数运算。鸡兔同笼问题数学模型是二元一次整数方程；第19页模式应用：问：你们学校每个年级几个班？答：2个班；问：每个班大约多少学生？答：40人问：你们学校一共有多少人？答：400多人；问：你们学校有没有两个人是同一天生日？答：我们班里好像没有，我要到其它班问一问。数学老师：有，一定有。第20页应用数学数学建模，是在狭义意义下进行。数学建模，专指对一个个比较复杂详细情境，建立一个特定专用数学模型，并用模型来处理非常详细问题。应用题对应数学建模第21页应用题求解与数学模型比较 应用题求解：对于一个相对比较复杂情境，采取形式化符号语言，概括地或近似地表述出来一个数学结构。建立数学模型步骤：了解情境 分析数量关系 形式化符号化结构 用数学方法求解结构中未知数 验证。第22页实际情景实际情景实际情景实际情景实际问题实际问题实际问题实际问题数学问题（模型）数学问题（模型）数学问题（模型）数学问题（模型）数学结果数学结果数学结果数学结果检验数学结果检验数学结果检验数学结果检验数学结果实际结果实际结果实际结果实际结果观察、加工、整理分析抽象，作数学化处理 求解数学问题结合实际（5）数学结果合乎实际数学结果不合乎实际，修正、改进、重建数学模型。审题 列式 解答 检验 第23页应用题与数学建模步骤对照 数学建模步骤解应用题步骤以行程问题为例背景考查：搜集必需各种信息，尽可能搞清对象特征审题。对问题设置情景仔细琢磨体察。搞清问题目标。知道速度，旅程，时间关系；适度简化：如假定为匀速行驶在直线型道路上，等。构作模型依据所作假设分析对象因果关系，利用对象内在规律和适当数学工具，结构各个量间等式关系或其它数学结构。列式将问题中用自然语言表述情景，翻译成数学语言，借助数学符号、图象、逻辑等伎俩，组成能够反应问题本质算式。依据情景，寻找数量规律。比如找出一些不变量，借以组成数学等式。依据行程问题不一样情景进行思索。比如，相互距离为c甲乙二者同时开启，分别以速度a、b相对而行，因为二者相遇时所用时间x相同，据此列出等式ax+bx=c，或者算术地说明各量间相等关系。第24页应用题与数学建模步骤对照模型求解：采取各种数学方法，求得满足模型解答。求解：对算式进行变换和计算，求得结果。x=c/（a+b），或算术地求解。答案分析检验模型是否正确，解答是否符合实际。验证：验证解答是否正确，能否符合题意。将x 代入原式进行验算。模型改进对模型解答进行数学上分析，反思考查解题过程中使用数学思想方法总结本题思索方法，对行程问题关节点进行反思，尤其是搞清在行驶改变过程中，哪些是改变，那些是不变。数学建模步骤解应用题步骤以行程问题为例第25页应用题学习是数学建模基础每一道小学数学应用题教育价值，在于能将情境“数学化”；将文字表述，转换为数学符号或图像表示；将蕴藏在情景内数量关系列为算式；用数学演算求得算式答案，最终经过检验必定“解答”适切性。这些数学活动，为日后学习更复杂“数学建模”，做好必要准备第26页五六七四“问题处理”与应用题教学第27页成功需要基础问题处理回到基础新数运动198019701960美国式折腾：第28页美国数学教育界提出所谓“问题处理”，专指处理“非常规问题”。目标是为了培养学生探究意识和创新精神。在学生认知水平上，要处理非常规问题，没有现成数学问题求解模式能够模仿，需要独立思索，经过自己探索取得处理问题路径。这是含有一定创新意义数学思维过程。是一个时期数学教育导向性口号，并非针对应用题改革而提出。“问题处理”提出第29页我国在常规应用题教学上，成绩很好。比如用分数求解一些现实生活中“平均分配物品”问题，加减乘除四则运算一步或两步应用题，掌握得也很不错。不过，在提出问题，分析发展问题，灵活地处理应用性问题上面，比起欧美诸国教学，有一些弱点。在非常规应用问题教学上，我国积累了一些按照问题情景分类教学。比如行程问题、工程问题等等，有专门训练，基本面也是好。不过，总体上较窄、较难，较偏。“问题处理”借鉴与启示第30页 问题处理教学是应用题教学上位概念。彼此是包含关系。“用问题”共性，取代了“应用题”特征 问题处理是数学教学全局性理念；应用题教学是数学教学部分课题。问题处理应用题教学问题处理不能代替应用题教学第31页问题处理是针对“回到基础”提出来口号。意思是强调“探究”、“发觉”、“创新”。美国又提出“成功需要基础”，又强调其基础了。所以，应用题教学，不能只强调“探究创新”，还要注意“打好基础”。没有基础怎么创新？问题处理不能代替应用题教学第32页五六七四应用题要不要讲类型？第33页小学数学应用题能够有三种分类。1.按数学模型分类；随机模型，统计模型；四则运算模型；分数、小数模型，一元一次方程模型；二元一次整数方程等等。2.按情景熟悉程度分类。如日常生活情景模型，模拟现实情景模型，科学技术模型等等3.按特定情境数量关系分类。如行程问题，工程问题，流水问题，折扣问题等等，应用题分类是否少了图形与几是否少了图形与几何内容？何内容？第34页微积分课程里要讨论瞬时速度问题，切线问题，曲边梯形问题；微分方程课程里有热传导方程，电磁波方程；中学数学也要研究抛物问题、单摆问题、等周问题，投影问题，掷骰子问题等；小学数学应用按照情境内容分类，也是情理之中。按情境内容分类第35页不是我们要不要分类主观决定。数学应用题分类是客观世界不一样数量关系反应。行程问题 旅程=速度时间工程问题 工作量=工作时间 工作效率价格问题 总价格=单价 数量利息问题 利息 =本金 利率利润问题 利润=成本 利润率折扣问题 金额=价格 折扣率百分数问题 数量=总量 百分比 这些内容不属于数学范围，不过数学课要教！应用题分类与数量关系第36页科技书有20本，故事书比科技书2倍还多2本，故事书有多少本？看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。科技书有20本，比故事书2倍还多2本，故事书有多少本？以情境中字词为特征来分类是表面。要类型，但不要类型化。第37页按步数分：一步，两步和多步应用题；按内容和难易来分，可分为普通应用题、复合应用题和经典应用题。经典应用题中就有和差问题、和倍、差倍问题；追及问题、盈亏问题、相遇问题传统应用题分类第38页这些分类，都是从教学需要出发。由易到难，循序前进，总要按部就班地排除一个次序来。所以是教学需要，有必要。不过，这种分类不包括数学应用题数学本质，学生并不需要知道。对于数学困难生，为了区分各种不一样算式，可能起一定作用。假如试图经过题型类别训练到达“机械自动化”程度，并不能反应数学思想与方法，也并能真正处理数学问题。传统应用题分类第39页只有被广泛认可和使用分类才有“知识性”价值。不然只是在小范围使用，不过是一个暂时使用“标签”而已，不需要长久记住。打个比喻，作为地理学知识，中国，分为省（山东），省分为市（烟台），就为止了。至于烟台下面分为各个区，就不是大众需要知识，是地方标签，大众不需要长久记忆。传统应用题分类第40页七六应用题与现实生活关系第41页紧密联络学生日常生活小学生日常生活内容十分有限。主要围绕“买东西”活动展开。单价、总数，折扣，差额，百分比“卖”意识也极少。所以成本、利润、效率，都不是日常生活实际能够靠近。国际上有一个“现实数学”，试验失败告终。不能除了超市，就是商场，需要拓展情境内容。应用题教学中，大量使用是科学模型，比如，行程问题中速度、时旅程之间关系，乃是物体运动在物理模型。另一个是模拟现实模型。比如鸡兔同笼问题，完全是一个假想模拟情景。第42页关于虚拟“真实”儿童思维情境，包含客观现实反应和虚拟想象两大部分。虚拟想象中有一部分成为“虚拟真实”。孙悟空，黑猫警长，圣诞老人，白雪公主，魔法石，变形金刚。利用虚拟真实：外星巨人手印。第43页过于真实，不利于教学。旅程问题：想象在一条直线上，自始至终一一个速度在奔跑。有这么笔直道路吗？怎样能够使得起跑时速度和到终点速度一样？鸡兔同笼好？还是三条腿凳子和四条腿椅子好？退位减法，被减数个位不够减，向十位借一，有学生就很贴近生活地说“十位不愿借怎么办？”数学是需要抽象概括。第44页有一个水池，打开进水管注满水池要3小时，打开出水管放出整池水要2小时，现在同时打开进水管和出水管，要多少时间才能把一池水放完？被曲解经典题第45页飞机能源消耗与补充、排队进场与出场、草场里草生长与割去、人体新陈代谢、社会人口增减、湖泊污染与治理，家庭收入与支出；动态平衡问题。数学模型客观存在第46页争论：相遇问题在现实生活中并不多见；杨乐院士：导弹防御系统里面蕴含着相遇问题；道路建设，工程问题。现实与数学模型第47页30年代，小学数学教材里都有和尚馒头问题：“一共有100个和尚和100个馒头。大和尚一人吃三个馒头，小和尚三个人吃一个馒头，问各有大小和尚几人”。现在不见了，假如是因为不能联络学生实际，那太遗憾了。充满童趣素材第48页七小学数学中模型有哪些第49页算术和代数算术中基本对象是数，包含数表示、数意义、数之间关系、数运算等。算术模型是一串“数字”运算流程。代数中基本对象除了数，还出现了更具广泛意义基本对象：符号。代数模型是方程或函数，包含未知数符号等式关系或其它结构。第50页从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为主要转变阶段学生从“数运算”过渡到“式运算”，好象人创造了汽车那样，运行速度大幅提升。代数运算通性通法，取得了极高思维效率，就像人不能每时每刻都在坐车，走路依然是必须、基本。算术和代数第51页有一个煤矿，原来计划上六个月660万吨，实际每个月比计划多产22万吨，实际多少月完成？经典问题为例第52页算术建模，是给出一个算法：(“计算表征”)实际每个月完成数是(6606)+22，于是有答案：完成时间=660(6606)+22=5这是经过一串已知数字运算组合，最终得到结果。解法一第53页代数建模。是给出一个算式。(“数量关系表征”)设实际完成月数是，那么（660）是每个月实际完成数。110=每个月计划完成数=（660）-22于是得到有符号算式代数模型：（660）-22=110（1）无法直接计算出，但能够进行“式”运算：（660）=110+22=132（2）（660132）=5（3）解法二第54页用符号算术模型。设实际完成月数是，那么=660（实际完成数）=660（计划完成数+22）=660（110+22）=5这里也有符号代表数，却完全是算术思维，与代数无关。解法三第55页用代数方法启发算术思维。由（3）式：（660132）=5可知：=（660实际每个月完成数）=（660(6606)+22）=5最终二者是统一。解法四第56页算术模型和代数模型区分算术思维和代数思维思索方向不一样。打个比喻，假如未知数在对岸，那么算术方法，好象摸着石头过河找到未知数，代数方法好象用绳索将对岸未知数捆好拉过河来，二者思索方向刚好相反。第57页算术模型和代数模型区分很多数学家回想自己学习生涯，感觉到小学里用算术方法处理问题培养了自己能力，尽管这些问题以后用代数变得简单。第58页“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94脚，问鸡兔各几何?”（波利亚）金鸡独立解法思绪是，假如笼中鸡全部独立单脚着地，做“金鸡独立”状，而这时笼中全部兔也学鸡立起前两脚而只有后两脚着地（张景中）假设鸡两只翅膀也变成了两只“脚”还有更多经典问题：鸡兔同笼第59页列方程时数学思维，主要还得用算术方法过渡。没有算术第一步，就难有代数第二步。假如使得算术与代数完全脱离，使得学生没有对比，看不出算术缺点和代数优点，体会不到代数方法优越性，那么代数也是极难学好。算术方法与代数方法第60页数学应用题是否要集中教学？数学建模是一个特殊思维活动，有特定内容，需要单独、集中学习领会。一些基本数学模型反应基本数量关系，是学生发展必要基础。需要集中演练，形成技能。解数学应用题，需要将各种数量关系进行比较。集中教学，防止分散割裂。处处都有，有时也轻易变成处处都没有。第61页有一桶油，第一次取出这桶油20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油1/2，这桶油共多少千克？可能困难：不会转化百分数与分数？不会计算？不会列方程？不会分析数量关系？还是就是不会做从不会到会，需要什么第62页有一桶油，第一次取出这桶油20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油1/2，这桶油共多少千克？画线段图：画草图：怎样让学生学会？这桶油这桶油2020，1212千克千克这桶油这桶油1/21/2第63页有一桶油，第一次取出这桶油20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油1/2，这桶油共多少千克？第一次这桶油20第二次12千克两次一共这桶油1/2这桶油2012这桶油1/2怎样让学生学会？第64页有一桶油，第一次取出这桶油20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油1/2，这桶油共多少千克？对应关系：1这桶油20第一次取出1/2两次取出？第二次取出12千克怎样让学生学会？第65页有一桶油，第一次取出这桶油20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油1/2，这桶油共多少千克？列方程设这桶油为x千克；20 x121/2x1/2x20 x12怎样让学生学会？第66页有一桶油，第一次取出这桶油20，第二次取出12千克，两次共取出这桶油1/2，这桶油共多少千克？画线段图：画草图：对应关系：方程；还有什么方法？怎样让学生学会？第67页基本策略尝试猜测；画图制表；实际操作；应用规律；等量替换从简入手；整理数据；可逆思索；用方程解；逻辑推理 了解题意做解题计划；按计划解答；回答和检验。普通策略普通策略特殊策略特殊策略第68页鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？策略1：尝试与猜测：1只鸡，7只兔，腿总条数是30，腿多了，降低兔子数量，再尝试；策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加鸡数量，再尝试；策略3：用画图方法，先按照都是鸡画好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。第69页策略4：假设全是鸡，也能够假设全是兔，也能够假设二分之一是鸡二分之一是兔；策略5：方程思绪：用表示鸡只数，用表示兔只数，依据已知条件能够发觉8，2422；由此能够得到2（）222，22216，3。第70页策略6：面积图，利用长方形面积公式来计算组合图形面积。2只脚4只脚8个头 第71页关于解题策略线段图不是目标，只是伎俩。是拐杖，不是棍棒；（新加坡模型法）不能为“策略”而策略，应该把策略习得融入到问题处理中；解题策略也不能是为了实现“刺激反应”自动化。第72页重视结果检验建立模型关键是搞清数量关系，并加以表示。真正处理处理问题必定会检验。教学是模拟过程，能够把重点放在构作建模型上，不过不能忽略模型检验。这既是一个数学素养，也是学生良好元认知表现第73页相关好题推荐相关好题推荐第74页巨人手印：荷兰，弗莱登塔尔昨晚外星巨人访问我校，留下巨大手印。今晚他还要来。我们请他到教室里来坐坐。请问：1.他椅子要多高？2.他看书要多大？（测量手印，按百分比放大）第75页荷兰名题甲离学校10公里，乙离甲3公里，问乙离学校几公里？假如在一条直线上？假如不在一条直线上？甲学校乙第76页日本名题设计一花坛，使它面积为矩形场地二分之一。要求美观。第77页数字时代检验码身份证、书号、超市商品号最终一位是检验码。（1)S=Sum(Ai*Wi),i=0,.,16，先对前17位数字权求和Wi:7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2（2）计算用11除所得余数Y：Y=mod(S,11（3）经过模得到对应校验码Y:012345678910校验码10 x98765431第78页瓷砖问题。美国已经知道游泳池内部长度L和宽度w,（都是自然数），用边长为1瓷砖围成边，需要多少块瓷砖？第79页简单邮路问题（原上海金汇学校）有三行三列9个点,左上角为邮局，邮递员自邮局出发,经过9个点,最终回到邮局，怎样投递为最短路线它们有多少种？第80页钟面问题（浙江）钟面数字问题：钟面上有12个数，请在一些数前面添上加号或减号，使钟面上全部数之和等于零。此题处理思绪是：1231278，所以相当于将12个数分成两组，使这两组数和分别等于39，然后在任意一组每一个数前面添上负号。解题关键在于从1，2，3，12这十二个数中取出若干个，使其和为39。第81页源于教材，高于教材；源于教材，高于教材；居高临下，重视本质；居高临下，重视本质；总体把握，心中有数；总体把握，心中有数；与时俱进，精益求精。与时俱进，精益求精。为唐彩斌专著思想改变课堂所题勉词（上海教育出版社）为唐彩斌专著思想改变课堂所题勉词（上海教育出版社）第82页谢谢大家！谢谢大家！欢迎讨论指正！欢迎讨论指正！第83页