可逆矩阵判定典型例题.doc

典型例题（二）方阵可逆的判定
例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式：
（1）若, 则；
（2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则；
（3）；
（4）若, 则；
（5）；
（6）若, 则（l为自然数）；
（7）.
证 （1）因为, 故A是可逆矩阵, 且

两边同时取转置可得

故由可逆矩阵的定义可知是AT的逆矩阵.
即

（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有
（2-7）
另一方面

（2-8）
比较式（2-7）、（2-8）可知

又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘可得

（3）设n阶方阵A为

于是可得A的伴随矩阵为

注意到A的转置矩阵为

可推出的伴随矩阵为

比较与可知

（4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵为, 并且由可知

由于, 可逆且可得

另一方面, 由

由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且

（5）对于（3）给出的矩阵A, 有

即的代数余子式为

故

（6）因为, 故A可逆, 并且

l个

l个

（7）对于（3）给出的矩阵A, 有

类似于（5）可知的代数余子式为, 故
例2 设A是n阶非零矩阵, 并且A的伴随矩阵满足, 证明A是可逆矩阵.
证 根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式, 有

反证, 假设A不可逆, 故有, 由上式及条件, 有
（2-6）
设矩阵A为

由式（2-6）可知

比较上式两边矩阵对角线上的元素有

故
因此有A = O, 与A是n阶非零矩阵矛盾, 故A是可逆矩阵.
例3 设A、B都是n阶可逆矩阵, 证明：
的充要条件是
证 必要性：因为
因此
即
充分性：因为, 故
.
例4 设A是一个n阶方阵, n为奇数, 且, 证明不可逆.
证 因为, 故

因此有

所以
故是不可逆矩阵.
例5 设A是n阶方阵且对某个正整数k满足, 证明是可逆矩阵, 并求.
证 由于

故对于方阵A的多项式, 仍有

注意到, 故有

因此可逆, 并且

例6 设A是阶方阵, 是A的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明：
（1）；
（2）.
证 （1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系, 有

即
从而有

对两边取行列式, 有

若A可逆, , 故, 于是有

若A不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故, 仍有

（2）对两边取行列式, 有

若A可逆, 所以, 从而有, 于是可知

若A不可逆, 则
例7 设A、B是同阶方阵, 已知B是可逆矩阵, 且满足, 证明A和都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.
证 因为, 由于

所以,
因而有 可逆.
由 可知
由 可知.
例8 设A、B均是n阶方阵, 且可逆, 则也可逆, 并且

证 考察两个矩阵的乘积

因此可逆, 并且

例9 设n阶矩阵A、B和均可逆, 证明：
（1）也可逆, 且
（2）
证 （1）因为

两边取行列式有

因为 A、B、可逆, 故 所以有

故 是可逆矩阵.

故
同理可证 .
（2）因为

故
同理可证 .