牛吃草问题介绍.doc

小学奥数培训 牛吃草问题 姓名：
解题关键：
牛顿问题俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-—生长的草量= 消耗原有的草量)；
4、最后求出牛可吃的天数。
5、每头牛一天吃多少草
规律总结
牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
　　基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
　　关键问题：确定两个不变的量。
　　基本公式：
　　生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
　　原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
　　牛吃草问题常用到四个基本公式：
　　牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
　　（1）草的生长速度= （对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
　　（2）原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
　　（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
　　（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
例1、牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完．假定草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？
解：设1头牛吃一周的草量的为一份．
（1）24头牛吃6周的草量
24×6=144（份）
（2）18头牛吃10周的草量
18×10=180（份）
（3）（10-6）周新长的草量
180-144=36（份）
（4）每周新长的草量
36÷（10-6）=9（份）
（5）原有草量
24×6-9×6=90（份）
或18×10-9×10=90（份）
（6）全部牧草吃完所用时间
不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量，剩下的10头牛吃原有草量，有
90÷（19-9）=9（周）
答：供19头牛吃9周．

例2、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
　　（1）求草每天的生长量
　　因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以
　　1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
　　同理 1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
　　由此可知 （20－10）天内草的生长量为
　　1×10×20－1×15×10＝50
　　因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5
　　（2）求原有草量
　　原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
　　（3）求5 天内草总量
　　5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
　　（4）求多少头牛5 天吃完草
　　因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
　　因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）
　　答：需要5头牛5天可以把草吃完。

例3、画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间？
解答：设每一个入场口每分钟通过"1"份人，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
3个入场口 9分钟 3×9＝27 ：原有人＋9分钟来的人
5个入场口 5分钟 5×5＝25 ：原有人＋5分钟来的人
从上易发现：4分钟来的人＝27－25＝2，即1分钟来的人＝0.5；那么原有的人：27－9×0.5＝22.5；
这些人来到画展用时间22.5÷0.5=45（分）。第一个观众到达的时间为9点－45分=8点15分。
例4、一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？
解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
（1）求每小时进水量
因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量
10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量
所以，（10－3）小时内的进水量为 1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30
（3）求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是
30÷（17－2）＝2（小时）
答：17人2小时可以淘完水。

例5、一片牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，6天中可供多少头牛吃草？
解答：设１头牛１天的吃草量为"１"，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
18头牛 16天 18×16＝288 ：原有草量＋16天自然减少的草量
27头牛 8天 27× 8＝216 ：原有草量＋ 8天自然减少的草量
从上易发现：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量＝288－216＝72，
即1天生长草量＝72÷8＝9；
那么2000平方米的牧场上原有草量：288－16×9＝144或216－8×9＝144。
则6000平方米的牧场1天生长草量＝9×（6000÷2000）＝27
原有草量：144×（6000÷2000）＝432.
6天里，共草场共提供草432＋27×6＝594，可以让594÷6＝99（头）牛吃6天

练习
1、牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？

2、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？

3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

4、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级，女孩每分钟走15级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？

5、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

6、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

7、牧场上的牧草每天均匀生长，这片草地可供17头牛吃6天，可供13头牛吃12天．问多少头牛4天可以把草地上的草吃完?

8、有－牧场，21头牛20天可将草吃完，25头牛则15天可将草吃完，现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天则将草吃完，问原有牛多少头?

9、22头牛，吃33公亩牧场的草54天可吃完， 17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可吃完．问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完?

10、某火车站检票口，在检票开始前已有－些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，－个检票口每分钟能让25人检票进站．如果只有－个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队?

11、甲、乙、丙三个仓库，各存放着同样数量的大米，甲仓库用皮带输送机－台和12个工人5小时把甲仓库搬空，乙仓库用皮带输送机－台和28个工人3小时把乙仓库搬空．丙仓库有皮带输送机2台，如果要2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少名工人?

12、牧场上－片牧草，可供27只羊吃6天；或者供23只羊吃9天，如果牧草每周匀速生长，可供21只羊吃几天?

13、－片牧草，每天生长的速度相同．现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天．如果l头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么lO头牛与60只羊－起吃可以吃多少天?

14、陕北某村有－块草场，假设每天草都均匀生长，这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天．问：如果放牧250只羊可以吃多少天?放牧这么多羊对吗?为防止草场沙化，这片草地最多可以放牧多少只羊?(注意：要防止草场沙化就应该使草场的草永远吃不完)

15、12头牛28天可吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可吃完30公亩牧场上全部牧草．多少头牛126天可吃完72公亩牧场上全部牧草?(每公亩牧场上原有的草量相等，且每公亩牧场上每天草的生长量相同)

小学五年级数学奥赛专题过关检测
《牛吃草问题》试题
A卷（50分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完。假定草的生长速度不变，则供19头牛_________周吃完。
2．有一片牧场上的草均匀地生长，如果4只羊吃，15天可以把草吃光。如果8只羊吃，7天可以把草吃光。若想5天把草吃光，则需要_________只羊去吃。
3．有一条船因触礁，破了一个洞，海水均匀地进入船内，发现船漏时，船已进了一些水。如果12个人舀水，则3小时可以把水舀完；如果5人舀水，则10小时可以把水舀完。如果需要在2小时内舀完水，则需要_________人。
4．有一片草地上的草每天都均匀地生长，如果24只羊吃，则6天可吃完；如果21只羊吃，则8天可以吃完。如果16只羊吃草，则可_________天吃完。
5．24头牛6天可将一片牧草吃完；21头牛8天可将这片牧草吃完；如果每天的草增长量相等，要使这片草永远吃不完，最多可以放_________头牛去吃这片牧草。
6．某个水库原存有一定的水，河水又均匀地流入库内，5台抽水机连续20天可将水库的水抽干；6台同样的抽水机连续15天可将水抽干。若要6天抽干水库的水，则需_________台同样的抽水机。
7．有一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头大牛吃20天；或者可供80头小牛吃12天。如果一头大牛的吃草量等于4只小牛的吃草量，那么10头大牛与60头小牛一起吃草可以吃_________天。
8．一片牧草，每亩草原有的草量相等，且每天草的生长量相同。12只羊28天可以吃完10亩地的全部牧草，21只羊63天可以吃完30亩地的全部牧草，_________只羊126天可以吃完72亩地的全部牧草。（亩是旧制的土地面积单位）
9．甲从A地出发行了一段时间后，乙、丙、丁三人才同时从A地出发沿同一条路去追甲。乙、丙、丁三人分别用了3小时、5小时、6 小时才追上甲。已知乙每小时行18千米，丙每小时行16千米。那么丁每小时行_________千米。
10．有一片牧场上的草每天生长的速度相同，草可供10头牛吃10个星期，或供24只羊吃20个星期。已知1头牛和3只羊的吃草量相同，那么10头牛和12只羊一起吃草，可以吃______个星期。
二、解答题（20分）
1．一条船破了一个洞漏水，假设每小时涌进船内的水量相等，发现船漏时已涌进了一些水。如果3个人排水，3.6小时可以把水排完；如果5个人排水，则2小时可以把水排完，现在要在1.2小时内把水排完，需要几个人？

2．有一片牧草，每天匀速地生长，它可供17只羊吃30天，或可供19只羊吃24天。现在若干只羊吃，6天后卖了4只，余下的羊2天将草吃光，那么原有多少只羊？

3．一个水池，底部有一个常开的排水管，上部安有若干根同样粗细的进水管。打开2个进水管，需要15小时把水池注满；如果打开4个进水管，只需要5小时就可以把水池注满。现在需要2小时将水池注满，那么至少要打开几个进水管？

4．某棉纺厂仓库，可储存全厂45天的用棉量，若用1辆大汽车往空仓库内运棉，则除了供应车间生产外，5天可将仓库装满；若用2辆小汽车往空仓库运棉，则9天可将仓库装满。如果用1辆大汽车和2辆小汽车同时运棉。需要几天可将仓库装满？

5．甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个行人。这三辆车分别用了6分钟、10分钟、12分钟追上这个人。已知甲车每小时行24千米，乙车每小时行20千米。那么丙车每小时行多少千米？

B卷（50分）
一、填空题（每题2分，共20分）
1．牧场上长满了牧草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，或可供15头牛吃10天。如果要供18头牛吃，可以吃_________天。
2．一片牧草每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃_________天。
3．一个水池，池底有水流均匀涌出，若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵_________台。
4．有一片草地，可以供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天。假如草的每天生长速度不变，现有羊若干，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，原来有羊_________只。
5．12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草。假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变，那么_________头牛8周吃完16公顷的牧草。
6．一堆草，可供3头牛与5只羊吃15天，或供5头牛和6只羊吃10天。这堆草可供8头牛与11只羊吃______天。
7．一片牧草，如果让马和牛去吃草，45天将草吃完；如果让马和羊去吃，60天将草吃完；如果让牛和羊去吃，90天将草吃完。已知牛和羊一天吃草量等于马一天的吃草量，现在让马、牛、羊一起去吃草，_________天可以将这片草吃尽。
8．某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后，每分钟有15人前来排队检票，一个检票口每分钟能让30个人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始6分钟后就没有人排队。如果有两个检票口，那么检票开始后_________分钟就没有人排队。
9．某游乐场在开门前已经有100个人排队等待，开门后每分钟来的游人数是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客。如果开放2个入口处，20分钟后就没有人排队，现在开放4个入口处，那么开门后_________分钟就没有人排队。
二、解答题（20分）
1．有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用3分钟、5分钟、8分钟追上骑车人。已知快车每小时行54千米，中速车每小时行39.6千米，那么慢车每小时行多少千米?

2．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2.5小时就把水池中的水放光；如果打开8个水龙头，1.5小时就能把水池中的水放光（每个水龙头每小时放走的水量相同）。现在打开13个水龙头，则多长时间把水池中的水放光？

3．有一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水都全部排光。如果把8根出水管全部打开需要3小时可将池内水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问：如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？

4．有三块草地，面积分别为公顷、10 公顷和4公倾。草地上的草一样厚，而且长得一样快。如果第一块草地饲养12头牛，可以维持4周；第二块草地饲养21头牛可以维持9周。则第三块草地应饲养多少头牛，恰好可以维持18周？

三、生活题（10分）
1．假设地球上每年新生成的资源量是一定的。据测算，地球上的资源可供110亿人生活90年而耗尽，或者可供90亿人生活210年而耗尽。世界总人口必须控制在多少以内，才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下去？

2．国画展馆9时开门。但是早有人前来排队等候人场，从第一个观众来到起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个人场口，9时5分就没有人排队。问：第一个观众到达的时间是几时几分？

参考答案
A卷
一、
1．9 2．11 3．17 4．18 5．12 6．12 7．8 8．36 9．15.5 10．5
二．
1．（3×3.6－5×2）÷（3.6－2）＝0.5，3×3.6－0.5×3.6＝9，（0.5×1.2+9）÷1.2＝8（个人）
2．（17×30－19×24）÷（30－24）＝9，17×30－9×30=240，（240+9×2×4+4×2）÷8＝40（只）
3．（2×15－4×5）÷（15－5）＝1。4×5－1×5＝15，（15+1×2）÷2＝8.5≈9（个）
4．（45+5）÷5+（45+9）÷9－1＝15（天），45÷15＝3（天）
5．，， （千米），
（千米）
B卷
一、
1．（9×20－15×10）÷（20－10）＝3，9×20－3×20＝120，120÷（18－3）＝8（天）
2．60只羊相当于15头牛，5天
3．（5×7－10×2）÷（7－2）＝3，5×7－3×7＝14，（14+3×0.5）÷0.5=31（台）
4．（8×20－14×10）÷（20－10）＝2（只），8×20－2×20＝120，[120+2×（4+2） －6×2]÷（4+2）＝20（只）
5．（20×6÷12－12×4÷6）÷（6－4）＝1，12×4÷6－1×4=4，（4×16+1×16×8）÷8＝24（头）
6．没牛每天吃草量为，羊每天吃草量为。
，，6天。 或1÷（天）
7．设马每天吃“1”，草每天增长，（1+牛）×45－45=（1+羊）×60－60x，牛，羊，36天。
8．30×6－15×6＝90，90÷ （60－1 5）＝2（分）
9．10×2×20－100=300，300+20=15（人），100+（10×4－15）＝4（分）
二、
1．54千米／小时＝900米／分，39.6千米／小时＝660米／分，（660×5—900×3）÷（5－3）＝300，900×3－300×3＝1800，（1800+300×8）÷8＝525米／分＝31.5千米／小时。
2．4×150－4×90=240．240÷（5×150－8×90）＝8，8×8×90－4×90＝5400，5400÷（8×13－4）＝54（分）。
3．（3×18－8×3）÷（18－3）＝2，8×3－2×3＝18，（18+2×8）÷82＝4.25≈5（根）。
4．（21×9.10－12×4÷）÷（9－4）＝0.9，21×9÷10－0.9×9＝10.8，（10.8×4+0.9×4×18）÷18＝6（头）。
三、
1．（210×90－110×90）÷（210－90）=75（亿）
2．（1×3×9－1×5×5）÷（9－5）＝0.5，5×5－5×0.5＝22.5，22.5÷0.5＝45（分），9时－45分＝8时15分。