牛吃草问题介绍.doc

小学奥数培训 牛吃草问题 姓名：解题关键：牛顿问题俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-生长的草量= 消耗原有的草量)；4、最后求出牛可吃的天数。5、每头牛一天吃多少草规律总结牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量每天（每周）新长出的草的数量。基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；原有草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量；牛吃草问题常用到四个基本公式：牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是（1）草的生长速度= （对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；（2）原有草量=牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数；（3）吃的天数=原有草量（牛头数草的生长速度）；（4）牛头数=原有草量吃的天数+草的生长速度。例1、牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完假定草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？解：设1头牛吃一周的草量的为一份（1）24头牛吃6周的草量246=144（份）（2）18头牛吃10周的草量1810=180（份）（3）（10-6）周新长的草量180-144=36（份）（4）每周新长的草量36（10-6）=9（份）（5）原有草量246-96=90（份）或1810-910=90（份）（6）全部牧草吃完所用时间不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量，剩下的10头牛吃原有草量，有90（19-9）=9（周） 答：供19头牛吃9周例2、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？解 草是均匀生长的，所以，草总量原有草量草每天生长量天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（11020）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以11020原有草量20天内生长量同理 11510原有草量10天内生长量由此可知 （2010）天内草的生长量为110201151050因此，草每天的生长量为 50（2010）5（2）求原有草量原有草量10天内总草量10内生长量11510510100（3）求5 天内草总量5 天内草总量原有草量5天内生长量10055125（4）求多少头牛5 天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数 125525（头）答：需要5头牛5天可以把草吃完。例3、画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间？解答：设每一个入场口每分钟通过1份人，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析3个入场口 9分钟 3927 ：原有人9分钟来的人5个入场口 5分钟 5525 ：原有人5分钟来的人从上易发现：4分钟来的人27252，即1分钟来的人0.5；那么原有的人：2790.522.5；这些人来到画展用时间22.50.5=45（分）。第一个观众到达的时间为9点45分=8点15分。例4、一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量因为，3小时内的总水量1123原有水量3小时进水量10小时内的总水量1510原有水量10小时进水量所以，（103）小时内的进水量为 1510112314因此，每小时的进水量为 14（103）2（2）求淘水前原有水量原有水量11233小时进水量362330（3）求17人几小时淘完17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（172），所以17人淘完水的时间是30（172）2（小时）答：17人2小时可以淘完水。例5、一片牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，6天中可供多少头牛吃草？解答：设头牛天的吃草量为，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析18头牛 16天 1816288 ：原有草量16天自然减少的草量27头牛 8天 27 8216 ：原有草量 8天自然减少的草量从上易发现：2000平方米的牧场上1688天生长草量28821672，即1天生长草量7289；那么2000平方米的牧场上原有草量：288169144或21689144。则6000平方米的牧场1天生长草量9（60002000）27原有草量：144（60002000）432.6天里，共草场共提供草432276594，可以让594699（头）牛吃6天练习1、牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？2、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？4、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级，女孩每分钟走15级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？5、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？6、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？7、牧场上的牧草每天均匀生长，这片草地可供17头牛吃6天，可供13头牛吃12天问多少头牛4天可以把草地上的草吃完?8、有牧场，21头牛20天可将草吃完，25头牛则15天可将草吃完，现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天则将草吃完，问原有牛多少头?9、22头牛，吃33公亩牧场的草54天可吃完， 17头牛吃同样牧场28公亩的草，84天可吃完问几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完?10、某火车站检票口，在检票开始前已有些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，个检票口每分钟能让25人检票进站如果只有个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队?11、甲、乙、丙三个仓库，各存放着同样数量的大米，甲仓库用皮带输送机台和12个工人5小时把甲仓库搬空，乙仓库用皮带输送机台和28个工人3小时把乙仓库搬空丙仓库有皮带输送机2台，如果要2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少名工人?12、牧场上片牧草，可供27只羊吃6天；或者供23只羊吃9天，如果牧草每周匀速生长，可供21只羊吃几天?13、片牧草，每天生长的速度相同现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供80只羊吃12天如果l头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么lO头牛与60只羊起吃可以吃多少天?14、陕北某村有块草场，假设每天草都均匀生长，这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天问：如果放牧250只羊可以吃多少天?放牧这么多羊对吗?为防止草场沙化，这片草地最多可以放牧多少只羊?(注意：要防止草场沙化就应该使草场的草永远吃不完)15、12头牛28天可吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可吃完30公亩牧场上全部牧草多少头牛126天可吃完72公亩牧场上全部牧草?(每公亩牧场上原有的草量相等，且每公亩牧场上每天草的生长量相同)小学五年级数学奥赛专题过关检测牛吃草问题试题A卷（50分）一、填空题（每题3分，共30分）1牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完。假定草的生长速度不变，则供19头牛_周吃完。2有一片牧场上的草均匀地生长，如果4只羊吃，15天可以把草吃光。如果8只羊吃，7天可以把草吃光。若想5天把草吃光，则需要_只羊去吃。3有一条船因触礁，破了一个洞，海水均匀地进入船内，发现船漏时，船已进了一些水。如果12个人舀水，则3小时可以把水舀完；如果5人舀水，则10小时可以把水舀完。如果需要在2小时内舀完水，则需要_人。4有一片草地上的草每天都均匀地生长，如果24只羊吃，则6天可吃完；如果21只羊吃，则8天可以吃完。如果16只羊吃草，则可_天吃完。524头牛6天可将一片牧草吃完；21头牛8天可将这片牧草吃完；如果每天的草增长量相等，要使这片草永远吃不完，最多可以放_头牛去吃这片牧草。6某个水库原存有一定的水，河水又均匀地流入库内，5台抽水机连续20天可将水库的水抽干；6台同样的抽水机连续15天可将水抽干。若要6天抽干水库的水，则需_台同样的抽水机。7有一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头大牛吃20天；或者可供80头小牛吃12天。如果一头大牛的吃草量等于4只小牛的吃草量，那么10头大牛与60头小牛一起吃草可以吃_天。8一片牧草，每亩草原有的草量相等，且每天草的生长量相同。12只羊28天可以吃完10亩地的全部牧草，21只羊63天可以吃完30亩地的全部牧草，_只羊126天可以吃完72亩地的全部牧草。（亩是旧制的土地面积单位）9甲从A地出发行了一段时间后，乙、丙、丁三人才同时从A地出发沿同一条路去追甲。乙、丙、丁三人分别用了3小时、5小时、6 小时才追上甲。已知乙每小时行18千米，丙每小时行16千米。那么丁每小时行_千米。10有一片牧场上的草每天生长的速度相同，草可供10头牛吃10个星期，或供24只羊吃20个星期。已知1头牛和3只羊的吃草量相同，那么10头牛和12只羊一起吃草，可以吃_个星期。二、解答题（20分）1一条船破了一个洞漏水，假设每小时涌进船内的水量相等，发现船漏时已涌进了一些水。如果3个人排水，3.6小时可以把水排完；如果5个人排水，则2小时可以把水排完，现在要在1.2小时内把水排完，需要几个人？2有一片牧草，每天匀速地生长，它可供17只羊吃30天，或可供19只羊吃24天。现在若干只羊吃，6天后卖了4只，余下的羊2天将草吃光，那么原有多少只羊？3一个水池，底部有一个常开的排水管，上部安有若干根同样粗细的进水管。打开2个进水管，需要15小时把水池注满；如果打开4个进水管，只需要5小时就可以把水池注满。现在需要2小时将水池注满，那么至少要打开几个进水管？4某棉纺厂仓库，可储存全厂45天的用棉量，若用1辆大汽车往空仓库内运棉，则除了供应车间生产外，5天可将仓库装满；若用2辆小汽车往空仓库运棉，则9天可将仓库装满。如果用1辆大汽车和2辆小汽车同时运棉。需要几天可将仓库装满？5甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个行人。这三辆车分别用了6分钟、10分钟、12分钟追上这个人。已知甲车每小时行24千米，乙车每小时行20千米。那么丙车每小时行多少千米？B卷（50分）一、填空题（每题2分，共20分）1牧场上长满了牧草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，或可供15头牛吃10天。如果要供18头牛吃，可以吃_天。2一片牧草每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃_天。3一个水池，池底有水流均匀涌出，若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵_台。4有一片草地，可以供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天。假如草的每天生长速度不变，现有羊若干，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，原来有羊_只。512头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草。假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变，那么_头牛8周吃完16公顷的牧草。6一堆草，可供3头牛与5只羊吃15天，或供5头牛和6只羊吃10天。这堆草可供8头牛与11只羊吃_天。7一片牧草，如果让马和牛去吃草，45天将草吃完；如果让马和羊去吃，60天将草吃完；如果让牛和羊去吃，90天将草吃完。已知牛和羊一天吃草量等于马一天的吃草量，现在让马、牛、羊一起去吃草，_天可以将这片草吃尽。8某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后，每分钟有15人前来排队检票，一个检票口每分钟能让30个人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始6分钟后就没有人排队。如果有两个检票口，那么检票开始后_分钟就没有人排队。9某游乐场在开门前已经有100个人排队等待，开门后每分钟来的游人数是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客。如果开放2个入口处，20分钟后就没有人排队，现在开放4个入口处，那么开门后_分钟就没有人排队。二、解答题（20分）1有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用3分钟、5分钟、8分钟追上骑车人。已知快车每小时行54千米，中速车每小时行39.6千米，那么慢车每小时行多少千米?2一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2.5小时就把水池中的水放光；如果打开8个水龙头，1.5小时就能把水池中的水放光（每个水龙头每小时放走的水量相同）。现在打开13个水龙头，则多长时间把水池中的水放光？3有一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水都全部排光。如果把8根出水管全部打开需要3小时可将池内水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问：如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？4有三块草地，面积分别为公顷、10 公顷和4公倾。草地上的草一样厚，而且长得一样快。如果第一块草地饲养12头牛，可以维持4周；第二块草地饲养21头牛可以维持9周。则第三块草地应饲养多少头牛，恰好可以维持18周？三、生活题（10分）1假设地球上每年新生成的资源量是一定的。据测算，地球上的资源可供110亿人生活90年而耗尽，或者可供90亿人生活210年而耗尽。世界总人口必须控制在多少以内，才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下去？2国画展馆9时开门。但是早有人前来排队等候人场，从第一个观众来到起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个人场口，9时5分就没有人排队。问：第一个观众到达的时间是几时几分？参考答案A卷一、19 211 317 418 512 612 78 836 915.5 105二1（33.652）（3.62）0.5，33.60.53.69，（0.51.2+9）1.28（个人） 2（17301924）（3024）9，1730930=240，（240+924+42）840（只）3（21545）（155）1。451515，（15+12）28.59（个）4（45+5）5+（45+9）9115（天），45153（天） 5， （千米），（千米）B卷一、1（9201510）（2010）3，920320120，120（183）8（天） 260只羊相当于15头牛，5天3（57102）（72）3，573714，（14+30.5）0.5=31（台）4（8201410）（2010）2（只），820220120，120+2（4+2） 62（4+2）20（只） 5（206121246）（64）1，124614=4，（416+1168）824（头）6没牛每天吃草量为，羊每天吃草量为。 ，6天。 或1（天）7设马每天吃“1”，草每天增长，（1+牛）4545=（1+羊）6060x，牛，羊，36天。830615690，90 （601 5）2（分）910220100=300，300+20=15（人），100+（10415）4（分）二、154千米小时900米分，39.6千米小时660米分，（66059003）（53）300，900330031800，（1800+3008）8525米分31.5千米小时。 24150490=240240（5150890）8，88904905400，5400（8134）54（分）。 3（31883）（183）2，832318，（18+28）824.255（根）。 4（219.10124）（94）0.9，219100.9910.8，（10.84+0.9418）186（头）。三、1（2109011090）（21090）=75（亿） 2（139155）（95）0.5，5550.522.5，22.50.545（分），9时45分8时15分。