生存模型的概念及生存模型数学生存模型中国精算研究院周渭兵省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第一章生存模型概念及生存模型第1页1.1 生存模型1.1.1 生存状态和生存模型一、生存状态 从数学角度来看，生存状态是一个简单过程。这个过程含有以下特征：1、存在两种状态：生存与死亡。2、单个生命个体可划分为生存者和死亡者，也就是说我们能够说出他们状态。3、生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。4、任何个体未来生存时间都是未知，所以我们生存或死亡概率探讨而着手生存状态研究。第2页二、生存模型：是一类特殊随机变量概率分布；是对生存过程建立一个数学模型。假设一台设备从时刻t=0开始连续运行直至报废，用T表示该设备从时刻t=0开始直至报废或失效时间，则该设备在任意时刻t（t0）仍正常运行概率Pr（Tt）能够记为：（1.1.1）上式中显然有：（）T0（）S（0）=1（）S（t）是t非增函数，且第3页 随机变量T为设备从t=0开始“未来寿命”。S（t）为生存函数。1.1.2精算生存函数 一、对于一个刚才出生个体（0岁）未来生存时间可作为一个随机变量，我们用T0表示。定义随机变量T0分布函数F0（t）为 F0（t）=P（T0t）（1.1.2）F0（t）是一个恰好0岁人不晚于t岁死亡概率。未来生存时间超出t年概率就是S0（t），就是生存函数或生存分布：S0（t）=P（T0t）=1-F0（t）（1.1.3）第4页 通常S0（t）能够表示为S（t）；F0（t）能够表示为 F（t）。这是新生婴儿生存模型和分布函数。二、对于一个年纪为x岁人未来生存时间定义为Tx，随机变量Tx分布函数记为F（t:x）。F（t;x）=P（Txt）（1.1.4）F（t;x）是一个x岁人不晚于x+t岁死亡概率。一个年纪为x岁人未来生存时间超出t年概率就是或S(t;x)，就是生存函数：S（t;x）=P（Txt）=1-F（t;x）（1.1.5）S（x+t）=S（x）S（t;x）（1.1.6）第5页1.1.3生存函数形式 一、参数生存模型：S（t）实际利用中，用表格描述生存模型 二、多个伴随变量生存模型 S（t；x1，x2，xm）1.1.4研究方法 一、横向研究：适用大样本空间 1、选择一个独立人群 2、选取一个观察期 二、纵向研究：1、确定一个特殊人群 2、对每个对象进行观察直至死亡第6页1.2 T分布函数 一、S（t）性质 由T决定S(t)也称为生存分布函数，有 S（0）=1，S（+）=0.令F（t）=Pr（Tt），有F（t）=1-S（t）上式有：F（0）=0，F（+）=1 二、对于连续型随机变量T，其概率密度函数：（t0）第7页从而有三、危险率（死力）第8页第9页第10页六、中位数 假如Pr（Ty）=Pr（Ty）=1/2，则称y为随机变量中位数有 S（y）=F（y）=第11页第12页第13页第14页第15页1.3参数生存模型举例:1.3.1均匀分布均匀分布均匀分布概率密度函数为其性质：第16页F(x)abx0axb1f(x)第17页1.3.21.3.2指数分布指数分布其生存分布函数为第18页F(x)x00 x1f(x)第19页例1.4 对于指数分布，证实第20页1.3.3 Gompertz分布特征：1.3.4 Makeham分布 Weibull分布第21页1.4条件度量和截尾分布1.4.1条件概率和密度条件概率和密度 假如某人已生存到x岁，他在n年后仍生存概率Pr，我们将条件概率用nPx表示，则：第22页 【例1-5】依据S（t;x）,求出所选取x岁人活到x+10岁，并在X+20岁前死亡概率。第23页1.4.2 x1.4.2 x下截尾分布下截尾分布 以生存到x岁为条件生存函数，既那些超出xX服从分布，这么分布称为在x处下截尾X分布。类似地，第24页1.4.3双截尾分布S(x yXz)=F(x yXz)=f(x yXz)=(x yXz)=1yzx第25页第26页第27页第28页1.4.4中心死亡率 中心死亡率：在年纪（x，x+1】上死亡率条件度量。中心死亡率：在区间上危险率 加权平均值。第29页 普通地，nmx是在区间（x，x+n】上平均危险率或中心死亡率。第30页例：若X服从指数分布，证实：mx=-lnpx第31页第32页第33页1.5 随机变量变换一、假设已知X随机变量分布，若知Y=g（x），且知其是单调递增函数。求随机变量Y概率分布。解：Y=g（x）；能够求得：第34页第35页第36页1.6 变换后随机变量均值和方差 假如已知随机变量X，而Y=g（x），怎样求得E（Y）与Var（Y）。第37页第38页第39页