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分式运算中的技巧与方法
通分
一、 整体通分法 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解
例1．化简：-a-1=-(a+1)= -==
二、 逐项通分法
---=--=--
=-=-=0
= =
‚ 分组计算技巧
+--=（-）+（-）=+=

=

三、 先约分，后通分 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值
+ =+=+==2
+ =+ =+=
= =
= =1

四、化简：分子≥分母次数，先化简
--=--
=1+-1-- =--=

裂项相消技巧 利用 =（-）
++=（-）+（-）+（-=
= =

.= ===

=

求证：

把未知数当成已知数法
1、已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算:
解：把c当作已知数，用c表示a,b 得,a=3c, b=2c ∴==.
2、若

设值代入
1、已知，求证：
【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到，，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。
当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件设
则（1），
（2）设 则x=ak y=bk z=ck
（3）设 则 其中则 x=ak y=bk z=ck
代入得 ===
2、 已知= = ，计算：
解：设= = =k，则b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck；把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k
若a+b+c=0，a+b= -c, 又∵a+c=bk 则k= -1
若a+b+c≠0，则k=2,==k3所以当k=-1时，原式= -1 / 当k=2时，原式= 8
3、若

K=4,x=4,y=3,z=7

巧用x+：对于含有x+的式子，要注意：
已知x2-3x+1=0，求x2+的值。
解：由x2-3x+1=0，两边同除以x（x≠0），得x-3+=0，即x+=3所以x2+=（x+）2-2=32-2=7
‚已知a2-5a+1=0，计算a4+
ƒ如果

④，且，求y值 y=-3 或y=2

巧用倒数 如果m＞0，n＞0，m＜n,m＜x＜n,那么他们的倒数关系，
1、已知a2-3a+1=0，求的值。 解：由已知得a+=3所以=a2+=（a+）2-2=32-2=7∴=
2、已知a2-3a+1=0，求的值。
3、设，求s的整数部分. 设
∴所以199
4、解方程组 三式相加A+B+C=
5、已知+=，+=，+=，求的值。
==
6、 比较大小：求证

巧用因式分解
例1已知a+b+c=0，计算++
解:∵a+b+c=0, ∴a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b ∴2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)
同理可得2b2+ac=(b-c)(b-a),2c2+ab=(c-a)(c-b)
++=++=-+
===
===1
例2已知+=4，则= 。
解：解法1：通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式，然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值。
由已知得=4 ∴a+b=4ab ===-
解法2： 还可以将所求式分子、分母同除以ab得到=然后将已知式代入求值。

整体代入法
1、已知+=5求的值
解法1：∵+=5∴xy≠0,.所以分子分母同÷xy ====
解法2：由+=5得，=5, x+y=5xy ∴====

2、若分式的值为，则的值为（ ）
解：由已知=得2y2+3y+7=8 2y2+3y=1，4y2+6y=2所以==1
3、已知

=5x+4由已知得x1,2=代入后
4、已知

5、证明：若a+b+c=0,则
用a=-b-c代入中的a，得到-2bc
用b=-a-c代入中的b，得到-2ac 原式=
用c=-a-b代入中的c，得到-2ab
6、已知：xyz≠0,x+y+z=0,计算+ ++=-3.
7、已知 b=a+1,c=a+2,d=a+3,求的值.
【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替：a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3
=
= = = =

1、先化简代数式÷,然后选取一个合适的值,代入求值.
解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中的含义,即选取的的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.
原式==.由题知,的值不能取2和-2,所以当=0时,原式=4.
2、在解题目：“当时，求代数式的值”时，聪聪认为只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．
解：聪聪说的有理．

∴只要使原式有意义，无论取何值，原式的值都相同，为常数1．
说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.
3、先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
…若 的值为，求的值．
解：=+ … +
== 由= 解得 经检验是方程的根，∴
4、错在以偏概全 为何值时，分式 有意义？[错解]当，得.∴当，原分式有意义.
[解析]上述解法中只考虑分母 ，没有注意整个分母， 犯了以偏概全的错误.
[正解] ，得，由，得.∴当且时，原分式有意义.
5、错在计算去分母 计算.[错解]原式=.
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.
[正解]原式.
6、已知：，求分式的值.
【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。
将条件化简成乘积形式，得 ，再将分式稍化简变为，可以发现分子分母中只有(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-a

7、已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc≠0，求的值.
这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组
a+b+c=0 b=-2c
==>
a+2b+3c=0 a=c
/8、已知：，求的值.
【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式
其中 所以=0 =0
得再带入原式很容易求出解。
已知求证
/9、【解析】已知条件是的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将改写成的形式，
使得x、y相互独立，简化已知条件。写出变化后的形式，，
= 所以=则，得证。
/10、已知，且a、b、c互不相等，求证：
【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a表示b、c，能不能求出b、c的代数式都是问题。因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。
这道题条件形式不复杂，分为整式和分式，将整式，分式归类：，可以发现分式形式大致消失了，
剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc将能从已知条件得到的关系列出来
左边和左边相乘，右边和右边相乘，
所以
11、 三元平方公式 原式=1
12、abc=1,求 原式=1

13、已知 13 ，求