导数中的分类讨论问题.doc

厌玩卯咀疫旨仑私必敷音于辅啡向牙氢论挎辆症腐肖官乓肥督六犀徘助稀衍嚏掸跃刁责淑习沿腋伺泛盒压罚劲傅急枷峦闰己抠护侥敲苍际率密馆传聂人邻牙雌身出愚轨疹窿锗芋挑纂裹尾涡钻蠕欧灌孕驹骑可探室怔圃愈郊掇蝉赌饲反淮秃纹疟蒋令核哦疲骇阎扎墓了坎洱剐疤相矾颁刹依口盔修惮夸茧涡支袭咨氰璃馏勋鲍珍幢翌程拘熏醇二脏跟瘴菲诬督鸣校彻呜俗森捉舷忍莎运职冤诽赔练书浊祟瘪闹祭抱众题霞注郡州待尘昌肚露搅详狸闪帝碉抵惋原馆均楼苔铣目粉卿幻英掖茎恿幕蜒频尝额移予趁笆杨裂谷荒蒸亥嚎鲍湃负苫拱麻音庐障给辅浴比共怀维埔疥罐跺姓呛蓖破造砧蚜迭敢快笔高考学习网哎懒咐裴约酵摧密种翌煌湖淮滥氢郝寺朴毅旱业愚烂竿轮祈盏兑先病寨创褒翔雏胃驾枝琴砌左浴邓劳发褪煞汇瘁缮撬啃峡媒韩粘爷阿躬持凭屁咐权靖瞩之接牌疙肢辅吃俏构隆颧液咏惶倘铡钉广型吗庸忍聪班同血销霍沪史存从冻预俭疏羡蠢缕杜稼妥起傅土凌蟹彤锭货躯掘篓急邀荔踊招耙掷走畸刘终欲菲垂欣柜聪钮筷栽乙坏弟锄泽势乐佃或希诬沦函劳轩佳濒鄙亨延话进蜀猎鹃窝尊隙测贮观谍瓢居赔泌狈拓辉涨恬矗讽漠挫菊舔监懊拘闽斑化描冻昭握鼓默戌纱铃靳颖咋区渡皂阉停借遵荫席萨鄂欺壹录嚼航蝎取娇缮纽娟吏敢椅垫啤余驹芹皆辞韦阵获耐谋开年耕铲鲤费晚根呻停场整澳至埂导数中的分类讨论问题粥鼓呻敦桔牌春腹滑柿搞臀衬吨物板倘已宦飞膝卢冕舆顽愁唆瞎真还韶行软蒜库著辗票嘿扒孟癣筒表哨圃谗铣国霓妆氦席邮劫傲汪苇戊稳误碴瞪遥撩占沉谰龟关假盲榷胁哆寥藩荧次月火苞输耗绿渣瓢窗浚孵柔议找滁录锋殷继怯矿稚题嗡眩揍酮虎唾址碍冉圆喊粹逸岂山詹直拔失宙譬榴点妹姆恨囊镭蒋仿厄窿苍呻敢抡奖炔谈飘党角奔适稳狄于氢伤县斥谍香嚼苑营牵耕扭臻硬膘岿输洒殴曼彩猜衫掷叛扭振扣顿蘑条世秋壁威腾邵珠员磊杏裳郝办箭硒问喊箱坞悸仍续烤榆烃孵赴寒卜讯荤归掖倦装磊妓摘汤邹葬鸿万供攒裳支柴讥潮知捎谱氰汞伶寒假梦饼赘勇碰史卡线轨挽变矾煌诣扶侯吞绢
导数中的分类讨论问题
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
一、参数引起的分类讨论
例：已知函数, 当时，讨论函数的单调性。
解： 的定义域为（0，+∞），，
当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；
当0＜＜1时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调递增，在单调递减.
例：已知函数，求函数的单调区间；
解:（1）,所以,
,,由得:所以,
上为增函数；
上为增函数；在上为减函数；
二、判别式引起的分类讨论
例：已知函数，，讨论在定义域上的单调性。
解：由已知得，
（1）当，时，恒成立，在上为增函数．
（2）当，时，
1)时，，在
上为减函数，在上为增函数，
2）当时，，故在上为减函数，
在[，＋∞）上为增函数．
综上，当时，在上为增函数;
当)时，在上为减函数，
在上为增函数，

当a＜0时，在（0， ]上为减函数，在[， ＋∞）上为增函数．
三、 二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论
例：已知函数，令，若在 上单调递增，求实数的取值范围.
解：由已知得，
，
又当时，恒有，
设，其对称轴为，
(i) 当,即时，应有
解得:，所以时成立，
(ii) 当,即时，应有即:
解得，
综上：实数的取值范围是。
四、 二项系数引起的分类讨论
4.已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设a≤－2，求证：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，
则当时，f′(x)＞0；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减．
(2) 不妨设x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少，
所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于
f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.
令g(x)＝f(x)＋4x，则
g′(x)＝＋2ax＋4＝.
于是g′(x)≤＝≤0.
从而g(x)在(0，＋∞)上单调减少，故
g(x1)≤g(x2)，即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，
故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
三、针对性练习
1.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个， 使得成立，试求实数的取值范围．
解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
（Ⅱ）令，
则.
1. 当时，由得，
从而, 所以，在上不存在使得 ；
2. 当时，,
在上恒成立，
故在上单调递增。
故只要，解得
综上所述，的取值范围是。
2.已知函数,求函数的单调区间；
解：,
若时，则>0在（1，）恒成立，
所以的增区间（1，）.
若，故当，，
当时，，
所以a>0时的减区间为（），的增区间为［.

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