双曲线专题复习(精心整理)..doc

实用标准文案
《圆锥曲线》---------双曲线
主要知识点
1、 双曲线的定义:
(1) 定义：_____________________________________________________________
(2) 数学符号：________________________
(3) 应注意问题：

2、 双曲线的标准方程：

图像

标准方程

不同点

相同点

注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？
3、双曲线的几何性质
标准方程

性

质
焦点

焦距

范围

顶点

实轴

虚轴

对称性

离心率

渐近线

注意：（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？
（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？
（3）当，双曲线有什么特点？
4．双曲线的方程的求法
（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系
①已知双曲线段的标准方程是（或），则渐近线方程为________________________________________________________________；
②已知渐近线方程为，则双曲线的方程可表示为__________________________。
（2）待定系数法求双曲线的方程
①与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________；
②若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的方程可表示为_____________________；
③与双曲线共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________；
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________；
⑤与椭圆有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________。
5．双曲线离心率的有关问题
（1），，它决定双曲线的开口大小，越大，开口越大。
（2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率。
（3）双曲线离心率及其范围的求法。
①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。
②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：．与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；．通过判别式；．利用点在曲线内部形成的不等式关系；．利用解析式的结构特点。
6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算
（1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________
注意:如何来判断位置关系？
（2）若斜率为k的直线被双曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则相交弦长 _____________________
二、典型例题：
考点一：双曲线的定义
例1 已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与圆C2：(x-4)2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.

变式训练：由双曲线=1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.

巩固训练：(1). F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.

(2).过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是 .
(3).一动圆与两定圆和都外切，则动圆圆心轨迹为
A.椭圆 B. 双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线
考点二：双曲线的方程
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（-3，2）；

（2）与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.

变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0,
（1）若双曲线经过P（，2），求双曲线方程；
（2）若双曲线的焦距是2，求双曲线方程；
（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.

巩固训练：(1)求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；

(2)中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，求双曲线的标准方程；

(3)已知双曲线的离心率，经过点 ，求双曲线的方程；

(4)与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程;

(5)已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_________________.
(6) .已知方程表示双曲线，则的取值范围是__________________.
(7) .经过两点的双曲线的标准方程为___________.
考点三：双曲线的几何性质
例3 双曲线C：=1 (a＞0,b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使·=0，求此双曲线离心率的取值范围.

变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为,且过点P（4，-）.（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：·=0；（3）求△F1MF2的面积.

巩固训练：（1）已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是：
A.1 B. 2 C.3 D.4
(2)已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为:
A.2 B. C. D.
(3)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_________.
(4)双曲线的一个焦点为F(4，0)，过双曲线的右顶点作垂直于x轴的垂线交双曲线的渐近线于A，B两点，O为为坐标原点，则△AOB面积的最大值为:
A. 8 B. 16 C. 20 D. 24
考点四：双曲线的离心率
例1、已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过F1作垂直于X轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△AF2B是直角三角形，求双曲线的离心率。

变式训练：
1、若△AF2B是等边三角形，则双曲线的离心率为__________。
2、若△AF2B是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。
3、若△AF2B是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。
巩固训练：
1、 已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。

2、 已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过F2作垂直于渐近线的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。

3、直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为_______,有两个公共点，则的取值范围为_______,有一个公共点，则的取值范围为_______,与左支有两个公共点，则的取值范围为_______。

考点五：双曲线中的焦点三角形
例、设F1和F2为双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，已知∠F1PF2=600求△F1PF2的面积

变式训练：设F1和F2为双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，
已知∣PF1∣∣PF2∣=32,求∠F1PF2的余弦值与三角形F1PF2面积

巩固训练：
1. 双曲线左焦点的弦长为6，则（为右焦点）的周长是____________
2、已知定点，且，动点满足，则的最小值是 ．
3、 设F1和F2为双曲线的两个焦点，P为双曲线上一点，若∠F1PF2=900, 则三角形F1PF2面积是
4、设F1和F2为双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，已知∠F1PF2=600则P点到F1和F2两点的距离之和为___________
5、已知双曲线C （a>0,b>0）的两个焦点为F1(-2,0) ,F2(2,0),点P（3，）在双曲线C上（1）求双曲线C的方程（2）记O在坐标原点，过Q（0，2）的直线L与双曲线C相交于不同的两点E,F，若△OEF的面积2，求直线L的方程

考点六：直线和双曲线的位置关系
例4. 已知曲线的离心率，直线l过A(a，0)、B两点，原点O到l的距离是。(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程。

变式训练：直线的右支交于不同的两点A、B.（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

巩固训练：1、已知双曲线的左、右两个焦点为, ，动点P满足|P|+| P |=4.求动点P的轨迹E的方程；‚设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：终段O上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明.

2、已知双曲线C：-=1（0＜＜1）的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围，使·=0，其中点O为坐标原点.

3、已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是x-2y=0.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.

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