新北师大版-第一章勾股定理导学案.doc

第一章 勾股定理导学案第1课时 探索勾股定理（1） 班级： 姓名： 时间：学习目标： 1、经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。 2 、会初步利用勾股定理解决实际问题。 学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为： 、 、 。2、三角形的三边关系： 三角形的任意两边之和 ；任意两边之差 。3、 直角三角形的两个锐角 ；4、在RtABC中，两条直角边长分别为a、b，则 这个直角三角形的面积可以表示为： 。 二、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；直角三角形1直角边a直角边b斜边c三边关系满足关系34直角三角形2直角边a直角边b斜边c三边关系满足关系513（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。猜想： 三、合作探究：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？图形A的面积B的面积C的面积A、B、C面积的关系图1-1图1-2图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。勾股定理：直角三角形 等于 ； 图1.1-1几何语言表述：图1.1-1 在RtABC中，C 90， BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为： 。 四、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积2、求出下列各图中x的值。3.如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？五、当堂检测：1 在ABC中，C=90，（1）若BC=5，AC=12，则AB= ；（2）若BC=3，AB=5，则AC= ；（3）若BCAC=34，AB=10，则BC= ，AC= .2某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 .3在RtABC中,C=90,AC=5,AB=13,则BC= ,该直角三角形的面积为 。4直角三角形两直角边长分别为5cm，12cm，则斜边上的高为 .5.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20，则斜边上的高为 。ABCD7cm能力提升：6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2.7.一个直角三角形的三边长为3、4和a，则以a为半径的圆的面积是 。8.如图，点C是以AB为直径的半圆上一点，ACB=90，AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是 。9等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则其面积为 10ABC中，AB15，AC13，高AD12，求ABC的周长。课后作业：1、在RtABC中， ，（1）如果a=3，b=4，则c=_；（2）如果a=6，b=8，则c=_；（3）如果a=5，b=12，则c=_；第4题图S1S2S3(4) 如果a=15，b=20，则c=_. 2、下列说法正确的是（）A.若、是ABC的三边，则B.若、是RtABC的三边，则C.若、是RtABC的三边， 则D.若、是RtABC的三边， ，则3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A斜边长为25 B三角形周长为25 C斜边长为5 D三角形面积为204、如图,三个正方形中的两个的面积S125，S2144，则另一个的面积S3为_ 5、一个直角三角形的两边长直角边分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。6在RtABC中，C=90，若a=5，b=12，则c=_；若a=15，c=25，则b=_；若c=61，b=60，则a=_；若ab=34，c=10则SRtABC=_。7、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。8、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 。 9、已知，如图在ABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高求 AD的长；ABC的面积拓展提高:1已知：如图，在ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。求证：AD2AB2=BDCD若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。第2课时 探索勾股定理（2）班级： 姓名： 时间：学习目标：1、 掌握勾股定理，理解利用拼图验证勾股定理的方法。2、 能运用勾股定理解决一些实际问题。 学习过程：一、知识回顾：1、勾股定理： 2、求下列直角三角形的未知边的长 3、在一个直角三角形中，两条直角边分别为，斜边为：（1）如果，则 ，面积为 ； （2）如果，则三角形的周长为 ，面积为 ；二、 自主学习：利用拼图验证勾股定理（课前准备8个全等的直角三角形）：活动一：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考：1拼成的图1中有_个正方形，_个直角三角形。2图中大正方形的边长为_，小正方形的边长为_。3你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？ 22 图2活动二：你能利用类似的方法由图2得到勾股定理吗？ 活动三：总统证法思考：你还有那些方法？三、 合作探究：例1 、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？ 四、当堂检测：基础巩固：1、如右图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则CD=_； 2、如图，阴影部分的面积为 ；3、一个直角三角形的三边分别为3，4，则 4、若等腰三角形的腰为10cm，底边长为16cm，则它的面积为 ；5.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 米。 6.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 ；7.直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米，那么斜边上的高是 ； 8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 ；能力提升：9.小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h的速度向正北方向的学校走去，哥哥以8km/h的速度向正南方向走去，半小时后，他们相距 10、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速的建设成本是100万元千米，该沿江高速的造价是多少？11.如图，AB是电线杆，从距离地面12M高的A处，向离电杆5M的B处埋线，并埋入地下1.5M深，求拉线长多少米12、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10，BC=6，E为BC上一点将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的。13、如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？14、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长15、如图1-4，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？ 课后作业：1、ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长为 2、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草 3、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m；第9题第3题第2题4、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边， 花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是_m。5小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。6如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，B=60，则江面的宽度为 7有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。8一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RPPQ，则RQ= 厘米9、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？ 10、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？A小汽车小汽车BC观测点1209011、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.第3课时 能得到直角三角形吗班级： 姓名： 时间：学习目标：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单的应用。学习过程：一、复习回顾：勾股定理：条件： 结论： 二、自主学习：1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?(1)3, 4, 5, (2)6, 8, 10 （3）9,12,15 2、勾股逆定理：条件： 结论： 3、勾股数： 。下列几组数是否为勾股数？说说你的理由。 （1）12，18，22 (2) 9, 12, 15 （）12，35，36 （4）15,36,39 三、合作探究：例1、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中和都应为直角。工人师傅量得AB=3，AD=4,BD=5,BC=12,DC=13,这个零件符合要求吗？例2、如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？例3、（1）如果将一组勾股数扩大相同的倍数，得到的还是勾股数吗？填写下表，并验证。2倍3倍4倍3,4,56,8,105,12,1315,36,398,15,1732,60,687,24,25（2）如果一直角三角形的三边长为a、b、c(c是斜边长)，将三边长都扩大k倍(k为任意正整数)后，得到的还是直角三角形吗？说明理由。四、当堂检测：基础巩固：1. 下列说法正确的是( )A. 若a、b、c是的三边，则B. 若a、b、c是的三边，则C. 若a、b、c是的三边，则D. 若a、b、c是的三边，则2、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）、，15，17；、，；、，10；、8，39，403、下列几组数中，是勾股数的是（ ） A、4，5，6 B、12，16，20 C、-10，24，26 D、2.4，4.5，5.14、若的三边、满足（）（22），则是（）、等腰三角形 、直角三角形、等腰直角三角形 、等腰三角形或直角三角形5、 有一个木工师傅测量了等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其他数据弄混了，请你帮他找出来 A13，12，12 ； B12，12，8； C13，10，12 ； D5，8，46、三角形的三边长a, b, c满足等式（a+b）-c=2ab,则此三角形的是 三角形。7、如图，在平行四边形ABCD中，CAAB，若AB=3，BC=5，则平行四边形ABCD的面积为 8、当m= 时，以m+1，m+2，m+3的长为边的三角形是直角三角形。9. 一个三角形的三边之长分别为15，20，25，则这个三角形的最大角为 ，这个三角形的面积为 。10、如果三条线段a、b、c满足a2=c2b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？能力提升：11、如图，在DEF中，DE=17cm, EF=30cm, EF边上的中线DG=8cm，问DEF是等腰三角形吗？为什么？12、已知：在ABC中，三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n1)。试判断ABC的形状.13、 如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且CDA=900,求这块草地的面积。14、如图，有一零件是等腰三角形ABC，AB=AC，底边BC=20，D是AB上的一点，且CD=16，BD=12，ACD的形状，并求ABC的周长。15、若A BC三边长分别为a,b,c,且满足条a+b+c+338=10a+24b+26c,试判断ABC的形状，并证明为什么。课后练习：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A2，3，4 B10，8，4 C7，25，24 D7，15，122、已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A25 B14 C7D7或253、以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（ ）A9 cm2 B13 cm2 C18 cm2 D24 cm24、如图，直角ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（ ） A6 B8 C10 D125.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草 6.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A8cm B10cm C12cm D14cm8如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为多少？7、如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了几米？ 10.已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC的长。第4课时 勾股定理的应用班级： 姓名： 时间：学习目标：应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题。学习过程：一、复习回顾：1下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,152、 若有两条线段，长度分别为5,13，第三条线段的平方为 时 ，这三条线段才能组成直角三角形。3、 圆柱的侧面展开图是_形，圆锥的侧面展开图是_形。 AB4、 圆的周长公式是 _。5、在一个圆柱石凳上，恰好一只在A处的蚂蚁想吃到B处的食物，想一想，蚂蚁爬行的最短路线是什么？自己做一个圆柱进行思考探索。二、自主学习：活动一：如果上面的圆柱高等于12厘米，底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(的值取3).AB活动二： 一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、 12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？小结：解决曲面上两点最短路线问题的方法是：_ . 活动三：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了一个长度为20厘米的卷尺，你能替他想办法完成任务吗？三、当堂检测：基础巩固：1、 下列说法正确的是( )A. 若a、b、c是的三边，则B. 若a、b、c是的三边，则C. 若a、b、c是的三边，则D. 若a、b、c是的三边，则2、在ABC中, C=90，c=25, b=15,则a= .3、三角形的三个内角之比为：，则此三角形是 4、三条线段 m,n,p满足m2-n2=p2 ，以这三条线段为边组成的三角形为 5、.如图，直线l上有三个 正方形a,b,c,若a,c 的面积分别是5，11，则b的面积为 。6、编制一个底面周长为8、高为6的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图中的，则每一根这样的竹条的长度最少是_。7、 一天，李京浩同学的爸爸买了一张底面是边长为250cm的正方形，厚30cm的床垫回家到了家门口，才发现门口只有240cm高，宽100cm你认为李京浩同学的爸爸能拿进屋吗？说明理由8、如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端？9、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？ 能力提升：10、如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离11、在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 12、如图所示，有一高4，底面直径为6的圆锥。现有一只蚂蚁在圆锥的顶A，它想吃到圆锥底部B点处的食物，需爬行的最短路程是多少？课后作业：1、已知：如图，在ABC中，ACB90，A30，AB12，CDAB于D点，求CD的长.2、如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？3、如图所示，在四边形ABCD 中，A=60，B=D=90，BC=2，CD=3，4、如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯多少米？6、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯来源:Z&xx&k.平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 5m13m第6题图第5课时 勾股定理复习课导学案班级： 姓名： 时间：学习目标 1、记住勾股定理和逆定理的内容。 2、熟练掌握常见的勾股数。 3、会运用勾股定理及逆定理解决问题。学习过程：一、复习回顾：1. 自主梳理（1）、勾股定理： 。（2）、勾股定理的逆定理： . (3)、满足 的三个正整数，称为勾股数。例如： 。2. 点对点应用训练（1）在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长的平方为_（2）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是_（3）一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为_。（4）分别以下列四组数为一个三角形的边长：3、4、5；5、12、13；8、15、17；4、5、6，其中能够成直角三角形的有 （5） 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）Aa:b:c=81617 B a2-b2=c2 Ca2=(b+c)(b-c) D a:b:c =13512 （6）如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆 柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短 B 的路线长是（ ） A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10cA二、例题研究例1、如图己知求四边形ABCD的面积例2、如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.三、巩固练习1一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为102直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为34，那么这个直角三角形的周长为（ ）A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm3若ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则ABC是 ( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形4将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能5 在RtABC中，C=90，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）b=8，c=17 ，则= 6已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段长的平方为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.7. 在ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=_8等腰三角形的周长是16cm,底边长是6cm,则底边上的高是_ 9.在RtABC中， a，b，c分别是三条边，B=90，已知a=6，b=10，则边长c= 6810.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为_11.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm12.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （取3）13.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 14.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米。考点一、已知两边求第三边1在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_2已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是_3在数轴上作出表示的点4已知，如图在ABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高求 AD的长；ABC的面积考点二、利用列方程求线段的长ADEBC1如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离考点三、判别一个三角形是否是直角三角形1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有 2.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(ab0),则这个三角形是 .3.如图1，在ABC中，AD是高，且，求证：ABC为直角三角形。考点四、灵活变通1.在RtABC中， a，b，c分别是三条边，B=90，已知a=6，b=10，则边长c= 2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7，8，则以斜边为边长的正方形的面积为_683.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm4.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （取3）5.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 6.若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形是_7.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米。考点五、能力提升1.已知：如图，ABC中，ABAC，AD是BC边上的高求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)2.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且你能说明AFE是直角吗？3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？