突发环境事件应急预案1.doc

空间几何体的表面积和体积预习提纲
1．平面展开图

2．概念：
直棱柱：
正棱柱：
正棱锥：
正棱台：
3．面积公式：

S直棱柱侧＝ S正棱锥侧＝

S正棱台侧＝ S圆柱侧＝ ＝

S圆锥侧＝ ＝ S圆台侧＝ ＝

S球面＝

相互间的关系：

4．体积公式：

V长方体＝ ＝ V柱体＝

V锥体＝ V台体＝

V球＝

相互间的关系：

空间几何体的表面积和体积教案
例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长.

例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.

例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？

例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.

例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；
（2）球的表面积等于圆柱全面积的

例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.

例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.

练习：
1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.
2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.

例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.

例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？

空间几何体的表面积和体积教案
例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长.
分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲
求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为17a、10a、
9a，故只须求出参数a即可，那么如何利用已知条件去求
a呢？
［生］设底面三边长分别是17a、10a、9a,
S侧＝（17a＋10a＋9a）·16＝576a
设17a所对三角形内角α，
则cosα＝＝－，sinα＝
S底＝·10a·9a·＝36a2
∴576a＋72a2＝1440 解得：a＝2
∴三边长分别为34 cm，20 cm，18 cm.
［师］此题中先设出参数a，再消去参数，很有特色.
例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.
分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.
解：如图所示，设正三棱锥S—ABC的高为SO，斜高为SD，
在Rt△SAO中，∴AO＝SA·cos45°
∵AO＝AD＝a ∴SA＝a
在Rt△SBD中
SD＝
∴S侧＝·3a·SD＝a2. ∵S底＝a2
∴S全＝（＋）a2
例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？
分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的
体积和正三棱锥A—BCD的体积即可.
解：设正方体体积为Sh,则每个截去的三棱锥的体积
为 ·Sh＝Sh.
∵三棱锥A—BCD的体积为
Sh－4·Sh＝Sh.
∴正三棱锥A—BCD的体积是正方体体积的.
例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.
解：如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，AB＝a，PB＝2a，
作PO⊥底面ABCD于O.连结BD，则O∈BD，且PO⊥BC，
由AB＝a，得BD＝a，在Rt△PAB中，
PO2＝PB2－BO2＝（2a）2－（a）2
∴PO＝a，S对角面＝PO·BD＝a2.
又作PE⊥BC于E，这时E是BC的中点
∴PE2＝PB2－BE2＝（2a）2－（a）2
∴PE＝a ∴S侧＝4×PE·BC＝a2
∴对角面面积为a2,侧面积为 a2.
例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；
（2）球的表面积等于圆柱全面积的
证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
高为2R，得
S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2 ∴S球＝S圆柱侧
（2）∵S圆柱全＝4πR2+2πR2＝6πR2 S球＝4πR2
∴S球＝S圆柱全
例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.
解：设正方体的棱长为a，则第一个球的半径为 ，第二个球的半径是a，第三个球的半径为a.
∴r1∶r2∶r3＝1∶∶ ∴S1∶S2∶S3＝1∶2∶3
例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.
解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面SAB和球的大圆⊙O，且⊙O为
△SAB的内切圆.
设圆锥底面半径为r,母线长为l;内切圆半径为R，则
S锥全＝πr2＋πrl，S球＝4πR2，∴r2＋rl＝8R2 ①
又∵△SOE∽△SAO1
∴ ②
由②得：R2＝r2·代入①得：r2＋rl＝8r2·，得：
l＝3r
∴
∴圆锥侧面积与底面积之比为3∶1.
练习：
1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.
2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.
例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
解：如图所示，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1.
设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，则有
OB＝O1O·cot30°＝R
SO＝OB·tan60°＝R·＝3R
∴V球＝πR3,V柱＝πR2·2R＝2πR3
V锥＝π（R）2·3R＝3πR3
∴V球∶V柱∶V锥＝ 4∶6∶9
［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.
让我们继续体会有关球的相接切问题.
例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？
解：如图所示，大球O的半径为R；设正四面体
A—BCD的棱长为a，它的内切球半径为r，依题意
BO1＝a＝a，
AO1＝＝＝a
又∵BO2＝BO12＋OO12，
∴R2＝（ ∴a＝R
连结OA，OB，OC，OD，内切球球心到正四面体各面距离为r,
VO—BCD＝VO—ABC＋VO—ACD＋VO—AOB＋VO—BCD
∴
∴r＝
∴r＝
∴V小球∶V大球＝π·（R）3∶π·R3＝1∶27
∴内切球与外接球的体积比为1∶27.