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第3章 系统的时间响应分析
在建立系统的数学模型(微分方程或传递函数之后,就可以采用不同的方法,通过系统的数学模型来分析系统的特性,时间响应分析是重要的方法之一。
第3.1节 时间响应及其组成
一、时间响应的概念
所谓时间响应指系统在外加激励作用下,其输出量随时间变化的函数关系。
或者说 在输入作用下,系统的输出(响应在时域的表现形式;在数学上,就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
自变量为时间t ,因变量为输出([(]o x t y t
二、时间响应的组成

分析:第一、二项是由微分方程的初始条件(即系统的初始状态引起的自由振动,即自由响应。
ω。应该说第三项的自第三项是由作用力引起的自由振动即自由响应,其振动频率均为
n
ω与作用力频率ω无关,由响应并不完全自由。因为它的幅值受到F的影响,当然,它的频率
n
自由即在此。
第四项是由作用力引起的强迫振动即强迫响应,其振动频率即为作用力频率ω。
因此系统的时间响应可从两方面分类:
按振动性质可分为自由响应与强迫响应,
按振动来源可分为零输入响应(即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应与零状态响应(即在“无输入时的系统初态”为零而仅由输入引起的响应 Array
所以我们的研究对象是:零状态响应。
另外还有两个需了解的概念:瞬态响应和稳态响应。
瞬态响应:系统在外加激励作用后,从初始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。反映了系统的快、稳特性。
稳态响应:时间趋于无穷大时,系统的输出状态为稳态响应。反映系统的准确性。
三、系统方程的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡

第3.2节 典型的输入信号
由于系统的输入具有多样性,所以在分析和设计系统时,需要规定一些典型的输入信号,然后比较各系统对典型信号的时间响应。不同系统或参数不同的同一系统对同一典型信号的时间响应不同,反映出各种系统动态特性的差异,从而可以定出相应的性能指标,对系统的性能予以评定。
尽管在实际中,输入信号很少是典型信号,但由于系统对典型信号的时间响应和对任意信号的时间响应之间存在一定的关系统,所以知道系统对典型信号的响应就可求出对任意输入的响应。
常用的典型信号有:

脉冲响应函数(权函数:当一个系统受到一个单位脉冲激励时所产生的响应。应指出,单位脉冲函数只是数学上的概念,工程上不可能发生。但是,时间很短的冲击力、脉冲信号、天线上的阵风扰动都可以看成此类,可用脉冲函数模拟。
单位阶跃信号:实际工作中如开关的转换、电源的突然接通、断开都可看作阶跃作用,它可以用方波进行模拟。
单位斜坡信号:它是一各等速度函数,如随动系统中位置做等速移动的指令信号、数控机床加工斜面时的进给指令信号、轧钢机压下装置的移辊信号、大型船闸匀速升降时的信号等,它可用三角波模拟。
单位抛物线信号
:它是一种等加速度函数,实际中如随动系统中位置作等加速度移动的
指令信号,它可用积分器的串联来模拟。
正弦信号:实际中如电源的波动、机械振动、元件的噪声干扰、海浪对舰船的扰动力等。
选择以上哪种函数作为典型输入信号应视不同系统的具体工作条件而定。例如
如果控制系统的输入量通常是随时间逐渐变化的函数,象雷达天线、火炮、机床、控温装置等,以选择斜坡函数较为合适;
如果控制系统的输入量是冲击量,象导弹发射,以选择脉冲函数较为合适;
如果控制系统的输入量随时间变化的往复运动,象研究拭目机床振支,以选择正弦函数为好;
如果控制系统的输入量是突然变化的,象突然合电,则以选择阶跃函数为宜。
值得注意的是,时域的性能指标往往是选择阶跃函数为输入来定义的。
第3.3节 一阶系统
可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统,其微分主程及传递函数分别为:
((((1((1
o o i o i T x t x t x t X s G s X s Ts ∙
+===
+
T 为一阶系统的时间常数,它表示了一阶系统本身与外界无关的固有特性,称为一阶系
统的特征参数。
一、一阶系统的单位脉冲响应

(注:11111Ts T s T
=∙++ 21(t
T
w t e T
∙-=-∙ 即为响应速度。 取不同的t 值得:
2
2
2
2
((110110.386
0.386
1120.135
0.1351140.018
0.01800
o o t w t w t T T
T T
T
T T T T T T
∙
----∞
由图可知,一阶系统的单位脉冲响应函数是一单调下降的指数曲线。如果将这个指数曲线衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程,则可算得相应的时间为4T 。称此时间(4T 为过渡过程时间或调整时间,记为s t 。T 越小,s t 越短,其过渡过程的持续时间愈短,这表明系统的惯性愈小,系统对输入信号反应的快速性能越好。
二、一阶系统的单位阶跃响应
(注:1111
1
1Ts s s s T
∙=-++
1(t T
ou x t e T
-= 即为响应速度方程。

((100
1
0.6320.368
120.8650.135
1
40.9820.018
10ou ou t x t x t T
T T T T T T
∙
∞
由图可知,T 越小,响应速度越快,当4t T 时,其响应值达稳态值的98%,故4s t T = 且 ((ou w t x t ∙
=

三、一阶系统的单位斜坡响应

(00
0.368(o o t x t T T t x t T
∞
-=
四、不同时间常数下的响应

五、一阶系统的性能指标

第3.4节 二阶系统
一、二阶系统的数学模型及特征方程
可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。如图,弹簧-阻尼系统,

微分方程为:..
.
m y c y ky f ++= L 变换后得传递函数为:2
(1
((Y s G s F s ms cs k
=
=++ 令2
n n k
k
m
m
ωω=
=
n ω为无阻尼自然频率。 22n c c
m
mk
ξωξ=
=
ξ为阻尼比。
故2
22
1
(2n n n
G s k s s ωξωω=∙++ 1k 为系统增益,当其等于1时得典型二阶系统的传递函数为 2
2
2
(2n
n n
G s s s ωξωω=++ 式中 n
ωξ是二阶系统的特征参数,表明系统本身与外界作用无关的固有特性。
可见当阻尼比ξ取不同值时,特征根也不同。 ①当0ξ=时(无阻尼
两特征根为共轭纯虚根 1.2n s j ω=± 传递函数为2(((
n
n n G s s j s j ωωω=
+-
极点位于虚轴上,如图3-9(a 所示。 ②当01ξ<<时(欠阻尼
两特征根为共轭复根21.21n n n d s j j ξωωξξωω=-±-=-±
其中21d n ωωξ=-为有阻尼自然频率。 传递函数为2(((
n
n d n d G s s j s j ωξωωξωω=
+++-
极点位于[s]平面左半平面,如图(b 所示。 ③当1ξ=时(临界阻尼
两特征根为相等的负实根 1.2n s ω=-
传递函数为 22
((
n
n G s s ωω=+ 极点位于负实轴上。如图3-9(c所示。 ④当1ξ>时(过阻尼
特征方程有两个不等的负实根21.21n n s ξωωξ=-±- 传递函数为222
((1(1
n
n n n n G s s s ωξωωξξωωξ=
++-+--
极点位于负实轴上,如图3-9(d所示。

二、二阶系统的单位脉冲响应

三、二阶系统的单位阶跃响应

总:

第3.5节 欠阻尼二阶系统的性能指标
通常,系统的性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出。其原因有二:一、产生阶跃输入比较容易,而且从系统对单位阶跃输入的响应也较容易求得对任何输入的响应;二、在实际中,许多输入与阶跃输入相似,而且阶跃输入又往往是实际中最不利的输入情况。
因为完全无振荡的单调过程的过渡时间太长,所以,除了那些不允许产生振荡的系统外,通常都允许系统有适度的振荡,其目的是为了获得较短的过渡过程。所以通常取0.40.8ξ= 。
为了说明欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的过渡过程的特性,通常采用下列性能指标: 1.上升时间r t 2.峰值时间p t 3.最大超调量p M 4.调整时间s t 5.振荡次数N 一、上升时间r t
响应曲线从原工作状态出发,第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间。(对于过阻尼系统,一般将响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间称为上升时间。

令 2
1a r c t a n ξβξ
-= 得,2,3,...d r t ωπβπβπβ=---
因为上升时间r t 是(o x t 第一次达到输出稳态值的时间,故取d r t ωπβ=-,即r d
t πβ
ω-=
因21d n ωωξ=-,所以当ξ一定时,n ω增大,r t 就减小;当n ω一定时,ξ增大,r t 就增大。
p 响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间。将下式对时间t 求导,并令其为零,便可求得峰值时间p t

(

sin 00,,2,...
p o t t d p d p d p p d
dx t dt t t t t ωωππωππω===∴===
可见峰值时间是有阻尼振荡周期
2d
π
ω的一半。因21d n ωωξ=-,所以当ξ一定时,n ω增大,
p t 就减小;当n ω一定时,ξ增大,p t 就增大。 三、最大超调量p M

s
在过渡过程中(
x t与稳态值之差进入允许的误差∆范围所需的时间。∆为稳态值的2%
o
或5%。

五 . 振荡次数 N
在过渡过程时间 0s t t ≤≤内, ( o x t 穿越其稳态值的次数的一半定义为振荡次数。即:
2/s
d
t N πω=
因此,当 00.7, 0.02ξ<<∆=时,由 4

, s n
t ξω
=
d ωω=
N =

当 00.7, 0.05ξ<<∆=时,由 3

, s n
t ξω
=
d ωω=
N =

可以看出, 振荡次数 N 随着 ξ的增大而减小,它的大小直接反映了系统的阻尼特性。
通过以上讨论,可得如下 结论 :
ξn ω
提高 n ω,可以提高二阶系统的响应速度,减少上升时间 r t 、 峰值时间 p
t 和调整时间 s t ;
增大 ξ, 可以减弱系统的振荡性能, 即降低超调量
p
M , 减少振荡次数 N , 但增大上升时间和
峰值时间。一般情况下,系统在欠阻尼状态下工作,若 ξ过小,则系统的振动性能不符合要 求,瞬态特性差。因此,通常要根据允许的超调量来选择阻尼比 ξ。
(2系统的响应速度与振荡性能之间往往是存在矛盾的。 比如 m c k --系统,要想增加
n ω就要通过提高 k 来实现,但要增大 ξ就希望减小 k 。因此,既要减弱系统的振荡性能,又
要系统具有一定的响应速度,就只有选取合适的 ξ和 n ω值来实现。
五、二阶系统计算举例

第 3.6节 高阶系统
实际上,大量的系统,特别是机械系统,几乎都可用高阶微分方程来描述。这种用高阶 微分方和描述的系统叫做高阶系统。对高阶系统的研究和分析,一般是比较复杂的,在分析 时必须抓住主要矛盾,忽略次要因素,使问简化。

第 3.7节 系统误差分析与计算
准确是对控制系统提出的一个重要的性能要求,对于实际控制系统来说,输出量常常不 能绝对精确地达到所期望的数值, 期望数值与实际输出值的差就是所谓的误差 。
自动控制系统通常是稳定的,那么在某一典型外因作用下,系统的运动大致保分为两阶 段:第一阶段是过渡过程或瞬态;第二阶段是达到某种新的平衡状态或稳态。系统的输出量 则由瞬态分量和稳态分量所组成。可而系统的误差也由瞬态误差和稳态误差两部分组成。 在过渡过程中瞬态误差是误差的主要部分,但它随时间而逐渐衰减,稳态误差逐渐成为 误差的主要部分。
一、系统的误差 (
e t 与偏差 ( t

二、系统的稳态误差与稳态偏差
系统的稳态误差是指系统进入稳态后的误差,因此不论动态过程中的情况,只有稳定系 统存在稳态误差

如果系统的稳态误差涉及到期望值与实际输出值,不便于测量和分析时,一般先求出系 统的稳态偏差,必要时可把偏差转化为误差,然后求其稳态值。 三、与输入有关的稳态偏差
闭环控制系统的偏差:
( ( ( ( ( ( ( ( 1
( (
1( (
i o i i E s X s H s X s X s H s E s G s E s X s G s H s =-=-∴=+
由终值定理得 稳态偏差为 :0
1
lim ( lim ( lim ( 1( (
ss i t s s t sE s s
X s G s H s εε→∞
→→===+
可知,稳态偏差不仅与系统的特性(结构、参数有关,而且与输入信号特性有关。
设
1221211(1(1(1...(1
( ( ( (1(1...(1
(1 (1
m K n m
i i n
j j K T s T s T s T s G s G s H s s T s T s T s K T s s T s λλ==++++==
++++=
+∏∏
λ为开环系统串联积分环节的个数, K 为开环增益。
若记 101
(1
( (1
m
i
i n
j j T s G s T s ==+=
+∏∏ 则显然 00
lim ( 1s G s →=
0(
( K KG s G s s
λ
=
工程上般规定 0.1.2.3λ=时分别称为 0型、Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型系统。 λ越高,稳态精度越高,但稳定性越差,因而一般不起过Ⅲ型。
机械工程控制基础讲稿（初）第三章 系统的时间响应分析 故 ε ss = lim s X i (s s λ +1 X ( s = lim λ i s →0 KG0 ( s s →0 s + K 1+ sλ 可见稳态误差与系统的型次、开环增益、输入信 型次、开环增益、 型次 号特性有关。 号特性 K p = lim G ( s H ( s = lim s →0 s →0 K K G0 ( s = lim λ s →0 s sλ K =K s0 对于 0 型系统：K p = lim s →0 ε ss = 1 K +1 为有差系统， 稳态偏差随开环增益的增大 而减小。 对于Ⅰ型、Ⅱ型系统 K p = lim s →0 K =∞ sλ ε ss = 1 =0 ∞ 为位置无偏系统。 所以，当系统开环传递函数中有积分环节时，系统阶跃响应的稳态值是无差的。 所以，当系统开环传递函数中有积分环节时，系统阶跃响应的稳态值是无差的。而无积 分环节时，稳态是有差的。为了减少偏差，可适当提高放大倍数，但过大的 K 值将影响系统 分环节时，稳态是有差的。为了减少偏差，可适当提高放大倍数， 的稳定性。 的稳定性。 K v = lim sG ( s H ( s = lim s →0 s →0 sK K G0 ( s = lim λ −1 λ s →0 s s ε ss = ε ss = 1 =∞ Kv 1 =K Kv 对于 0 型系统： K v = lim sK = 0 s →0 表示系统不能跟随斜坡输入。 对于Ⅰ型系统： K v = lim K = K s →0 表示系统能跟随斜坡输入，但有偏差。 26
机械工程控制基础讲稿（初）第三章 系统的时间响应分析 对于Ⅱ型系统： K v = lim s →0 K =∞ s ε ss = 1 =0 Kv 表示系统为无差系统。 K a = lim s 2G ( s H ( s = lim s →0 s →0 s2 K K G0 ( s = lim λ − 2 s →0 s sλ K s λ −2 对于 0 型、 Ⅰ型系统：K a = lim s →0 =0 ε ss = 1 =∞ Ka 表示系统不能跟随抛物线输入。 对于Ⅱ型系统： K a = lim s →0 K =K s0 ε ss = 1 1 = Ka K 表示系统能跟随抛物线输入，但有偏 差。 根据以上的讨论，可归纳出如下几点： （1）关于以上定义的无偏系数的物理意义：稳态偏与输入信号的形式有关，在随动系统中一 稳态偏与输入信号的形式有关， 稳态偏与输入信号的形式有关 般称阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号。 般称阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号。由输入“某种” 加速度信号 信号而引起的稳态偏差用一个系数来表示，就叫“某种”无偏系数，如输入阶跃信号而引起 的无偏系数称位置无偏系数,它表示了稳态的精度。 某种”无偏系数愈大，精度愈高；当无 “某种 无偏系数愈大，精度愈高； 某种” 表示不能跟随输出； 则稳态无差。 偏系数为零时即稳态偏差 ∞ ，表示不能跟随输出；无偏系数为 ∞ 则稳态无差。 27
机械工程控制基础讲稿（初）第三章 系统的时间响应分析 （2）当增加系统的型别时，系统的准确性将提高，然而当系统采用增加开环传递函数中积分 当增加系统的型别时 系统的准确性将提高， 型别时， 环节的数目的方法来增高系统的型别时， 环节的数目的方法来增高系统的型别时，系统的稳定性将变差，因为系统开环传递函数中包 含两个以上积分环节时，要保证系统的稳定性是比较困难的，因此Ⅲ型或更高型的系统实现 起来是不容易的，实际上也是极少采用的。增大 K 也可以有效地提高系统的准确性，然面也 也可以有效地提高系统的准确性 效地提高系统的准确性， 会使系统的稳定性变差。 会使系统的稳定性变差。因此，稳定与准确是有矛盾的，需要统筹兼顾。除此之外，为了减 小误差， 是增大系统的开环放大倍数还是提高系统的型别也需要根据具体情况作全面的考虑。 （3） 根据线性系统的叠加原理 ， 可知当输入控制信号是上述典型信号的线性组合时 ， 即 根据线性系统的叠加原理，可知当输入控制信号是上述典型信号的线性组合时， xi (t = a0 + a1t + a2t 2 / 2 ， 输 出 量 的 稳 态 误 差 应 是 它 们 分 别 作 用 时 稳 态 误 差 之 和 ， 即 ε ss = a0 a a + 1 + 2 1 + K p Kv Ka 对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。 (4对于单位反馈系统，稳态偏差等于稳态误差。 四、与干扰有关的稳态偏差 28