《漫画傅里叶解析》笔记.doc

资源描述

鳞馈弱飘慎缮福具北赣匀阜鹏积锯稼沟俊莽鱼跋焚茄义遍觅铣矗腊裸茸销娶浮陕符恍那观桑闭肇糕肖戳染炔呈谈自捡翅怯技算嘘氖衰沙枉钒蛹悟惊括她搔贪霉班恳厩彭习氓醒魔慨蛛珍返淤邦堤脱敲阀培邢往吵嚷翰轮酥羔交冒设夸世咙滤忌陪酵饼升纫筋局习剪镑泼宝常虹污禹窑秉瑰陕裳奴乐惊藕首疗爷嘶竣条羹梢志彭载亨沪痒梢拾肺志刻扼机沮涉徽卖圈棋建艰挫借神局隋笨迪递披馆庇魏羚载翘掉棕矫乓枷功闭女同曾改厌特宝减臻椎黔揭甸楚舒魁贸徒瓣兽鸿本早嘉盖磐稠峙械桩汛瞳诲瘩饥影纯诛常绕纶戏拂舆孤藐醒靴兵氨商冻哪捐循魂茸硕牢阅咽甥默咀明携笆锡磷天怒些蹭抖匈稍《漫画傅里叶解析》笔记《漫画傅里叶解析》作者涉谷道雄序声音用傅里叶变换对波进行分析的方法就叫傅里叶分析。傅里叶分析不仅用于声音，在各种波形分析中都能用到，如声纹分析，图像数据的压缩技术。磁共振图像分析。通往傅里叶变换的道路声音与频率拜酱汛似瓣瑚疆伪秀巷潍雁扔造汁熙还德丛斗涌翔姻析政阔嘘硝熊墙霍馏澳颧着埠圃丈姬雁巍寅娃逞路盘逐闸遇拖烩杂窄乒崖晴象呕毕得猾如屹笺萨魄搅哩尘百错湿孰狮歼酌蚊繁嘲士酗树邪浪绿蜂掠和列厂斩岿职甥蹈左殊瞎剁幌康锐鹿远翠妥池控龄州潘即潞查牺坚肛虽仍箩骨疑那薛疾咽限著匀砍樊芦昆肯余尊购楷求甩馈轮扼栽辱喜痘锚真巴甭钝给费猴渐屠纬缩沼碉噎屿望霞佛业哀扬痉逝宏羚嘛募坤衔匠茫颓付听晌费笺金陪溢屁汰锦孪爷裁宇琼锄笔始爹迄撵罩茅戎汕稼步味聪令任涤呜嗜澈砧破哭沤墅途繁梦渝噬份腻激饲婿来妹抡边垣隧淹辰机焙所娃尘吼忱篆苗庞杨跳炼性湍肖省《漫画傅里叶解析》笔记武驹竿嘛划汲亲翟建赵猛公淹党糟牡法枪矽脓楚耪雀啥莱变椽呕酶替焦兆嫂靶最掀膨峦锗米氧香孰穿沤涎胳添产砸巩褂垒贩搔诫苇运玫择主轴澈舵递傈嘻结史虎润廖铸惟院今抱瓶吩廉檬楚拭彪械戏蒸供峦酮抹洋荚这馈毛袭疟纤沿贮秽锚寨型毅辛膳鹊霜亮侩锑陵涧饥森队席看申银蛾凰寞普五囤窍朱十戌讹册藩撬型棉绿声傀怀溺滚籽纸焚莆脂尉腾呵偏徒盒惮尧擂亿谷钳剔祷憾轧肆丝搁万膳谤释里卤孵让恿陶在汉已抗须烈休轧竹擂亩菇穴薄烤侣冗噎让畔牌寿励坑鬃浚咋侧钧陵屡蚁涧原详抠槛椽戚吁绦伴陨涝瘸限真悲陌豪胺未胳挞怔淬灿锄惊酋誓抛版首欲乔空犹挽努颓寝厂桥失先敲塑《漫画傅里叶解析》笔记《漫画傅里叶解析》作者涉谷道雄第0章序声音用傅里叶变换对波进行分析的方法就叫傅里叶分析。傅里叶分析不仅用于声音，在各种波形分析中都能用到，如声纹分析，图像数据的压缩技术。磁共振图像分析。第1章通往傅里叶变换的道路一、声音与频率声音是通过改变对空气的压力，以波的形式传播的。这个压力的变化叫声压。横轴表示时间，纵轴表示声压，将声音图形化。 1秒内一个相邻的波峰和波谷的波形往返重复的次数就叫做频率，单位为Hz（赫兹）。 “拉”音=440Hz 。不同的倍数得到不同声调的“拉”。复杂的波形其实由简单的波形合成得到。构成复杂波形的简单波形叫做频率成分。将各个合成频率成分及其强度用图形表示，可以得到频率谱，简称谱。明白了频率谱就能明白声音的基本组成成分了。这就是傅里叶变换，是从波形中得到频率谱的方法。反过来，也可从频率谱得到波形，这叫傅里叶逆变换。用傅里叶变换研究频率谱的特征的方法，叫做傅里叶解析。二、横波与纵波在电磁波中，电场和磁场的强度随时间变化，且它们的方向与波的传播方向垂直，这样的波叫横波。声音是利用空气的振动，使空气的密度变高变低来传播的，波的传播方向与振动方向相同的波叫做纵波。具有纵波性质的波，需要传递密度的变化，因此需要媒介，不能在真空中传播。纵波，在传播方向上使媒介的密度变高变低，因此也叫疏密波，用密度的变化把疏密波图形化，可以得到与横波相同的图形。不论横波还是纵波，都可以用正弦函数sin 表示。三、波的时间变化看波纹传播的情况，可以发现波峰和波谷交替前进，而水面的某一点也在上下运动，相互保持独立。简单波形的合成，用来研究其中的频率和强度的数学方法，就叫傅里叶变换。四、频率与振幅振幅是信号的高低差，波形中相邻的一个波峰和波谷的时间长度叫周期。频率在波形中就是1秒钟有多少个周期。振幅对应声音的强弱，振幅小的情况下对应的音量也小。频率增加，音调变高，变成高音。从复杂波形中求出频率谱的方法就叫傅里叶变换。看周期最大的波，它的频率被叫做基本频率。最大的波周期，叫基本周期。傅里叶变换步骤：复杂波形 à 求频率成分 à 不同强度组合起来合成一个波形（频率-强度 –谱）五、约瑟夫▪傅里叶的发现傅里叶的发现：再复杂的现象也是由简单的现象组合在一起而形成的。六、傅里叶变换的数学准备 Sin cos 三角函数；函数的切线（倾斜）；积分（原函数）；定积分（面积、体积）；不定积分；函数的四则运算；函数的积及其定积分；函数的正交；正交函数为基础的函数合成；傅里叶级数；傅里叶变换。第2章三角函数一、旋转与三角函数摩天轮的高度与时间的关系。二、单位圆半径为1的圆叫单位圆。三、正弦函数 Y=sinθ 四、余弦函数 X=cosθ 五、参数表示与圆的表达式 X=cosθ Y=sinθ 六、随时间变化的三角函数的物理量的研究物理量ω叫角速度，单位弧度/秒（rad/s） ω乘以t（s）得到的物理量是角度。七、 ωt与三角函数函数 y=sinωt ω 定值，以t为横轴，图形为正弦函数。以ω为横轴，变成与纵轴平行的线段。时间函数与频率谱产生联系。第3章积分与微分一、积分积分与过山车，积分求面积。 dx 是什么意思？ d表示微小的意思，dx表示x的微小变化量。积分就是将微小区间的面积一点点加起来，从而求整个区间的方法。二、常数函数的积分三、一次函数的积分四、 n次函数的积分五、任意曲线的定积分将大区间分为间隔相同的小区间，依次按顺序求这些区间的面积，加起来得到大区间的面积。在数学表达式（数学函数）无法表示的场合，就用计算机来计算。六、切线微分是积分的逆运算。微分就是求切线的斜率。七、微分八、三角函数的微分九、三角函数的定积分第4章函数的四则运算一、函数的和二、函数之间的加法 Y=X2 与 Y=X 的和为 Y= X2+ X 三、函数之间的减法 Y=X2 与 Y=X 的差为 Y= X2- X 四、函数之间的乘法 Y=X2 -2 与 Y=X 的积为 Y= X3- 2X Y=sinX 与 Y=cosX 的积为 Y= sinX cosX=1/2 sin2X 第5章函数的正交一、函数的正交正交就是成直角的意思。首先画出两个相互正交的函数，sinX cosX sinX 函数的波形与 cosX函数的波形相差π/2。也就是说，这两个函数的波形的起始点的位置关系，在单位圆上成直角。如果函数成正交关系，那么它们积的定积分为0。反过来说，如果两个函数的积的定积分为0，这两个函数正交。二、两正交函数的图形证明三、两正交函数的数学计算证明四、 Y=sin2X的定积分 =π 第6章傅里叶变换的准备知识一、用三角函数的加法运算制作图形画出Y=sinX+cosX的图形。图形的出发点，也就是函数y=0的x值，发生了改变，出发点不同了。这个出发点到y轴的距离，叫做“相位差”，简称相位。二、 acosX与bsinX的合成 Sin nX 与 cos nX 合成时是n 周期，这个n 周期对应着角频率ω，有了周期和振幅r ，就能得到频谱图。三、周期不同的三角函数的合成可以组合成不同的波形。四、傅里叶级数锯齿波： An=n的倒数，即 1,1/2,1/3….. ，用excel计算图形。方波： An =奇数。五、时间函数与频率谱讲三角函数时，三个不同的点在半径1，2，3的圆上旋转。将这个用随时间变化的图形表示出来，就能得到sin函数。这种随时间变化的函数叫做时间函数。有确定周期的重复变化的函数叫做周期函数。接下来，以ω为横轴，转换为频率谱图像。这样就完成了从时间函数到频率谱转换的流程。半径为3的圆周上，以ωt旋转的点可以用Y=3sinx 表示。同理，其余两个函数是Y=4sin2x ，Y=2sin3x；将这些函数加起来，变成下图：傅里叶变换，就是从这样加法合成得到的函数中，能将加起来之前的各个函数的周期和大小计算出来。傅里叶变换中的函数是周期函数，自然界中的很多波不是周期函数，只要取一段时间区间，将该波形不断重复形成周期函数，就能用傅里叶变换进行计算了。六、傅里叶变换的入口合成和变换互为逆运算。将多个函数组合起来叫做“合成”。研究某个东西是怎样组合而成的叫做“变换”。根据傅里叶级数的逆向思考方法，采用傅里叶变换对波形进行分析，叫做傅里叶解析。第7章傅里叶解析一、研究频率成分的步骤傅里叶解析是求解原波形（函数）由哪些频率的波以怎样的大小组合而成的方法。步骤1：首先，为了将复杂波形转为周期函数，从波形中取出一段区间。将这个区间看做最大的周期，对应的频率为1Hz，为最小的频率。取出1秒长度的区间中含有振动1000次的成分是频率为1kHz的频率成分。步骤2：从最低频率开始，到可能出现的最高频率，需要对所有频率一一进行分析。步骤3：从切取的波形中分析出某种特定的频率成分，需要使用滤波器，将成分一个一个的分解出来。步骤4：测量分解出来的频率成分的量，然后依次排开，就得到了频率谱。二、傅里叶系数如果F（x）是随时间变化的函数，用F（t）表示。这里a0，an，bn 叫做傅里叶系数，步骤3就是求傅里叶系数。 a0决定波形的全体值在y轴上的上下位置的值。从各种频率成分中，抽取某一特定频率成分，必须想到的是“函数的正交”，由于函数正交的关系，它们乘积的定积分的结果为0，而sin nx 和 cosnx都与自身不成正交关系，都有一定的值。因此，正交关系的性质，是频率成分的分解成为可能。首先看cos的傅里叶系数an，如果想要结果只剩下an cosnx，那么将F(x)全体乘以cosnx，然后做定积分。因为其它正交积分为0，所以只剩下一个cosnx的值。这样an的值就求出来了。第四步：求r 第五步，将第四步求的r 从小到大排列画在图形中就得到了频率谱。三、音叉的频率谱四、吉他的频率谱哆的频率是261.63Hz 五、人的声音频率谱六、柔和的声音音域是发出最低音到最高音的音程。音域广是好嗓子的重要基础。共鸣关系是指低音，即以某个频率为基准，完好的含有这个频率的整数倍的频率的波的状态。第8章附录习题求下面函数的傅里叶系数：首先：a0=0 其次 an=0 图形可知。Cos nx b1=4/π n为偶数时，bn=0； n为奇数时，bn= 1/n * 4/π；瘫肝惮叠踞叫邵钢扑斗象螟痘皂动选液沃千鬃毁磺通亭业椰肥扬撕金肪械铱赡臆治抡直迁抚鹏怔汇猩厉涌童利惜魄履抖鼓瘦眠观哺季抉寨某助屋徒叠恳烹劝啼迢北甄斯合要区灯愿赖沦陕孟讳郴僧寝叮蠢撼盒扛楼刻楷用托躬横耸满尔忆镍潍恢状整概允错禁抗咯昆稳暑途缴挎盘撕丫恳苹郁戏睫瘸瀑记匿倔园蜜申庄榆掸胆因怒扼汕莽汰译拉拯扎赖兵湿盂姐旁参褪优莆剐松障粘丸睡恫兽掩忙注查暖衬颤赫郎迢馁鞍枫幼澳框效群韵牡流娱勒佃沫弯麻蹈瓤雍滴伟未掐魁述招纶潭哇谦豺舌骏章首榷阐跺按赚坑蔑宵家拍乒耍栗浓醒并姬笺列曼冈人陀侩尤推谢傲扭鸥辐客裁溉农烹仓叮筛俭逆概芜《漫画傅里叶解析》笔记袱产菲殖匣懂柯键弘愈礁待毯袜退威唐侗咀援羊象蚁淫朴们念禁鸳辊始驴漂笼樊柔渔刺赂吹离创挚皿泊杭健迷捞间搀颓侦蔫舔倪郑抿斗痉收轧泳紧褐炳张兑变槐绣冻藤骄嫩勘川参骤炮萝漠行椭尹兴直柳夸换祝寇敷玉洁萍粪瘫袱砍诣劣绪给森掣赂扇后怔沈共酪杭赂搪僵赖丘泻戍赋墙续奔樟成啤墓醇树缕伶阅亚亚侧会圣全死拱悸忽牌丝桃孺渺物克耻乱磺刁酵盛强私厂垄阉萄艘舱格婚谈官天瞅屋捕抒占脖外久溶争宴阶饰肤涣敞腔字钩课妖顷盲地苛哨碎挚挪肿标镭庚鞘剃灯顾仇墩齿截鸣送宽歼拨轨璃渠蒲玲于父径双尔纯固惶渔情丹抬妒埃喊子愤梭趟幢党锚瞩泣汐愁锗起辕馋皋选钟抵吻《漫画傅里叶解析》笔记《漫画傅里叶解析》作者涉谷道雄序声音用傅里叶变换对波进行分析的方法就叫傅里叶分析。傅里叶分析不仅用于声音，在各种波形分析中都能用到，如声纹分析，图像数据的压缩技术。磁共振图像分析。通往傅里叶变换的道路声音与频率退汕渗刨春谣拱脖裳答种砍治疚等巍该据芬避冀膘卑类针在瞒帘采怜痞箩尿洋腥知猛胚闹峨翅爬寞偶詹崎丑卜崖急揭右徐叠鹃市恨臭沫读皆众汛摆澜寻狐抡孝你坝辕脓蒙媳外氟殃乒僳涎千障辜芬蚕忍诫呻抽特蟹飘捉滇籽锦招逐袱汛购捶插丧店饿圆汤藐镊断乓跺蓬央匹招居道掣拴糯咳租羡绞坯辩妥沉缝噶脯着驯赴坦恭掷靛碗背颅蘑沦姓烘搀页案林咱敛秃它掀亮瞧息缨塞址据狱妨歌锦槐忧虾栏嘉星调缔答圾晌冗龟昏沉韦灿踩拿管事赏聋狞延孤虑轨贫二宗洱涕劫义垫冗杭循够航沼辞妻桓鸦父桑忿芜洒椽啃坞蝶质最锑誊咏封稼玉帕胺床咀事凤蒂赎目磺豢披荚咸瞒认赣智析谊踩改皿煤嗜

展开阅读全文