第三章-线性系统的时域分析法知识交流.doc

第三章 线性系统的时域分析法一、教学目的与要求：对本章的讲授任务很重，要使学生通过本章的学习建立起分析系统特性的概念及方法，围绕控制系统要解决的三大问题，怎样从动态性能、稳态性能及稳定性三方面衡量控制系统，要求学生掌握一阶、二阶系统的典型输入信号响应，参数变化对系统性能的影响，尤其是二阶系统参数与特征根的关系，系统稳定性的概念与判据方法，精度问题，即稳态误差的分析与求法。二、授课主要内容： 本章着重讨论标准二阶系统的阶跃响应，明确系统的特征参数与性能指标的关系。通过对系统阶跃响应的分析，明确系统稳定的充要条件，掌握时域判稳方法。1系统时间响应的性能指标1） 典型输入信号2） 动态过程与稳态过程3） 动态性能与稳态性能2 一阶系统的时域分析3 二阶系统的时域分析1） 二阶系统数学模型的标准形式2） 二阶系统的瞬态响应和稳态响应3） 系统参数与特征根及瞬态响应的关系4高阶系统的时域分析1）高阶系统的单位阶跃响应2）闭环主导极点5 性系统的稳定性分析1） 系统稳定的充分必要条件2） 劳斯赫尔维茨稳定判据6线性系统的稳态误差计算1）误差与稳态误差2）系统类型与静态误差系数（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）重点：二阶系统的特点，劳斯稳定判据，稳态误差。难点： 二阶系统阶跃响应与特征根及参数和的关系。要求：1. 掌握一阶系统对典型试验信号的输出响应的推导，理解系统参数T和K的物理意义。2. 重点掌握不同二阶系统阶跃响应的特点，及阶跃响应与特征根在根平面位置之间的关系；理解系统参数和的物理意义。3. 掌握控制系统阶跃响应性能指标的含义，以及计算二阶欠阻尼系统性能指标的方法。4. 掌握劳斯稳定判据判别系统稳定性的方法。5. 理解系统稳态误差与系统的“型”及输入信号的形式之间的关系。6. 理解高阶系统主导极点的概念，以及高阶系统可以低阶近似的原理。7. 了解根据系统的阶跃和脉冲响应曲线获得系统数学模型的方法。 四、主要外语词汇时域分析法 time scale analytical method根轨迹法 root-locus plot method频域分析法 phase scale analytical method性能指标 performance specification高阶系统 higher-order system稳定性 stability劳思-赫尔维茨判据 rouths stability criterion 稳态误差 stability error误差系数 error parameter 五、辅助教学情况（见课件）六、复习思考题1 什么是时域分析法？2 什么是系统的时间响应？3 什么是瞬态响应？4 什么是稳态响应？5 什么是动态性能指标？动态性能指标有哪些？6 什么是系统的稳定性？7 判别线性定常系统稳定性的基本方法有哪些？8 什么是误差？什么是稳态误差？如何计算稳态误差？9 惯性环节在什么情况下可近似比例环节? 而在什么情况下可近似为积 分环节?10 惯性环节与二阶环节的阶跃响应曲线有何不同？11 有那些措施能增加系统的稳定程度？它们对系统的性能还有什么影响?12 将二阶系统的增益调得很大，系统是否会不稳定？13 系统时间常数的改变，对系统的动态性能和稳定性有何影响？14 控制系统的稳态误差与什么有关？15 怎样减小或消除扰动所产生的稳态误差？16 扰动作用点之后的积分环节对稳态误差有无影响？17 定值调节系统与随动调节系统其响应曲线有何区别? 在阶跃响应曲线中定义其时域指标，两种调节系统有什么异同点?七、参考教材（资料） 1自动控制原理上册 南京航空学院 西北工业大学 北京航空学院 合编 国防工业出版社参考该书第三章有关内容。2自动控制原理 东北工学院 杨自厚 冶金工业出版社参考该书第三章有关内容。八、讲稿第三章 线性系统的时域分析法在确定系统的数学模型后，便可以用几种不同的方法去分析控制系统的动态性能和稳态性能。在经典控制理论中，常用时域分析法、根轨迹法或频域分析法来分析线性控制系统的性能。显然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但是比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。本章主要研究线性控制系统性能分析的时域法。31 系统时间响应的性能指标控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。为了求解系统的时间响应，必须了解输入信号(即外作用)的解析表达式。然而，在一般情况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定，因此需要选择若干典型输入信号。1， 典型输入信号一般说来，我们是针对某一类输入信号来设计控制系统的。某些系统，例如室温系统或水位调节系统，其输入信号为要求的室温或水位高度，这是设计者所熟知的。但是在大多数情况下，控制系统的输入信号以无法预测的方式变化。例如，在防空火炮系统中，敌机的位置和速度无法预料，使火炮控制系统的输入信号具有了随机性，从而给规定系统的性能要求以及分析和设计工作带来了困难。为了便于进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行比较，我们需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。所谓典型输入信号，是指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。控制系统中常用的典型输入信号有：单位阶跃函数、单位斜坡(速度)函数、单位加速度(抛物线)函数、单位脉冲函数和正弦函数，这些函数都是简单的时间函数，便于数学分析和实验研究。实际应用时究竟采用哪一种典型输入信号，取决于系统常见的工作状态；同时，在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。这种处理方法在许多场合是可行的。例如，室温调节系统和水位调节系统，以及工作状态突然改变或突然受到恒定输入作用的控制系统，都可以采用阶跃函数作为典型输入信号；跟踪通信卫星的天线控制系统，以及输入信号随时间逐渐变化的控制系统，斜坡函数是比较合适的典型输入；加速度函数可用来作为宇宙飞船控制系统的典型输入；当控制系统的输入信号是冲击输入量时，采用脉冲函数最为合适；当系统的输入作用具有周期性的变化时，可选择正弦函数作为典型输入。同一系统中，不同形式的输入信号所对应的输出响应是不同的，但对于线性控制系统来说，它们所表征的系统性能是一致的。通常以单位阶跃函数作为典型输入作用，则可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。应当指出，有些控制系统的实际输入信号是变化无常的随机信号，例如定位雷达天线控制系统，其输入信号中既有运动目标的不规则信号，又包含有许多随机噪声分量，此时就不能用上述确定性的典型输入信号去代替实际输入信号，而必须采用随机过程理论进行处理。为了评价线性系统时间响应的性能指标，需要研究控制系统在典型输入信号作用下的时间响应过程。2 动态过程与稳态过程在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。 (1)动态过程动态过程又称过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦以及其它一些原因，系统输出量不可能完全复现输入量的变化。根据系统结构和参数选择情况，动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。显然，一个可以实际运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是稳定的。动态过程除提供系统稳定性的信息外，还可以提供响应速度及阻尼情况等信息。这些信息用动态性能描述。(2)稳态过程稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现力式。稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能描述由此可见，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能和稳态性两部分组成。3动态性能与稳态性能稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。(1)动态性能通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其它形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零。对于大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。对于图31所示单位阶跃响应h(t)，其动态性能指标通常如下：延迟时间t 指响应曲线第一次达到其终值一半所需的时间。上升时间 指响应从终值10%上升到终值90%所需的时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快。峰值时间t 指响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。调节时间 指响应到达并保持在终值土5%内所需的最短时间。超调量% 指响应的最大偏离量h（）与终值h()的差与终值A()比的百分数，即 %= （3-1）若h()0的情况下，如果所有的顺序赫尔维茨行列式为正，则劳思表中第一列的所有元素必大于零。值得指出，对于高阶系统特征方程，可以采用递推劳思表来判断系统的稳定性。4，劳思稳定判据的特殊情况当应用劳思稳定判据分析线性系统的稳定性时，有时会遇到两种特殊情况，使得劳思表中的计算无法进行到底，因此需要进行相应的数学处理，处理的原则是不影响劳思稳定判据的判别结果。(1)劳思表中某行的第一列项为零，而其余各项不为零，或不全为零此时，计算劳思表下一行的第一个元时，将出现无穷大，使劳思稳定判据的运用失效。例如，特征方程为D(s)=(2)劳斯表中出现全零行这种情况表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根。例如，两个大小相等但符号相反的实根和(或)一对共轭纯虚根，或者是对称于实轴的两对共轭复根。当劳思表中出现全零行时，可用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程F(s)=0，并将辅助方程对复变量s求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元，便可按劳思稳定判据的要求继续运算下去，直到得出完整的劳思计算表。辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同但符号相反的根数。所有那些数值相同但符号相异的根，均可由辅助方程求得。5劳思稳定判据的应用在线性控制系统中，劳思判据主要用来判断系统的稳定性。如果系统不稳定，则这判据并不能直接指出使系统稳定的方法；如果系统稳定，则劳思判据也不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳思判据不能表明系统特征根在s平面上相对于虚轴的离。由高阶系统单位阶跃响应表达式(366)可见，若负实部特征方程式的根紧靠虚轴，由于或的值很小，系统动态过程将具有缓慢的非周期特性或强烈的振荡特性。了使稳定的系统具有良好的动态响应，我们常常希望在s左半平面上系统特征根的位与虚轴之间有一定的距离。为此，可在左半s平面上作一条s=-a的垂线，而a是系统征根位置与虚轴之间的最小给定距离，通常称为给定稳定度，然后用新变量代原系统特征方程，得到一个以为变量的新特征方程，对新特征方程应用劳思稳定判据，36 线性系统的稳态误差计算控制系统的稳态误差，是系统控制准确度(控制精度)的一种度量，通常称为稳态性能。在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。对于一个实际的控制系统由于系统结构、输入作用的类型(控制量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或加速度：不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致或相当，也不可能在任伺形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。此外，控制系统中不可避免地存在磨擦、间隙、不灵敏区、零位输出等非线性因素，都会造成附加的稳态误差。可以说，控制系绍的稳态误差是不可避免的，控制系统设计的任务之一，是尽量减小系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某一容许值。显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。有时，把在阶跃函数作用下没有原性稳态误差的系统，称为无差系统；而把具有原理性稳态误差的系统，称为有差系统。本节主要讨论线性控制系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差即原理性稳态误差的计算方法，其中包括系统类型与稳态误差的关系，同时介绍定量描述系统误差的两类系数，即静态误差系数和动态误差系数。至于非线性因素所引起的系统稳态误差，则称为附加稳态误差，或结构性稳态误差。1误差与稳态误差设控制系统结构图如图328所示。当输入信号R(s)与主反馈信号B(s)不等时，比较装置的输出为E(s)=R(s)-H(s)C(s) (380)此时，系统在E(s)信号作用下产生动作，使输出量趋于希望值。通常，称E(s)为误差信号简称误差(亦称偏差)。误差有两种不同的定义方法：一种是式(380)所描述的在系统输入端定义误差的：法；另一种是从系统输出端来定义，它定义为系统输出量的希望值与实际值之差。前者义的误差，在实际系统中是可以量测的，具有一定的物理意义；后者定义的误差，在系统能指标的提法中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般只有数学意义。上述两种定义误差的方法，存在着内在联系。1 系统类型由稳态误差计算通式(384)可见，控制系统稳态误差数值，与开环传递函数G(s)H(s)的结构和输入信号R(s)的形式密切相关。对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统结构。因此，按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。在一般情况下，分子阶次为m，分母阶次为n的开环传递函数可表示为 G(s)H(s)=式中，K为开环增益；和为时间常数；为开环系统在s平面坐标原点上的极点的重数。现在的分类方法是以的数值来划分的：，称为0型系统；称为型系统；称为型系统。当时，除复合控制系统外，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外，型及型以上的系统几乎不采用。这种以开环系统在s平面坐标原点上的极点数来分类的方法，其优点在于：可以根据已知的输入信号形式，迅速判断系统是否存在原理性稳态误差及稳态误差的大小。它与按系统的阶次进行分类的方法不同，阶次m与n的大小与系统的大小与系统的型别无关，且不影响稳态误差的数值。为了便于讨论，令 必有时，。因此，式(385)可改写为系统稳态误差计算通式则可表示为3，阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数在图328所示的控制系统中，若r(t)=R，其中R为输入阶跃函数的幅值，则R(s)=。由式(387)可以算得各型系统在阶跃输入作用下的稳态误差为对于0型单位反馈控制系统，在单位阶跃输入作用下的稳态误差图示，可参见图31。显然，其稳态误差是希望输出1与实际输出K(1十K)之间的位置误差。习惯上常采用静态位置误差系数K，表示各型系统在阶跃输入作用下的位置误差。根据式(384)，当时，有 式中 称为静态位置误差系数。由式（3-89）及（3-86）知，各型系统的静态位置误差系数为 如果要求系统对于阶跃输入作用不存在稳态误差，则必须选用I型及I型以上的系统。习惯上常把系统在阶跃输入作用下的稳态误差称为静差。因而，0型系统可称为有(静)差系统或零阶无差度系统，I型系统可称为一阶无差度系统，型系统可称为二阶无差度系统，依此类推。4，斜坡输人作用下的稳态误差与静态速度误差系数。将R(s)代入式(387)，得各型系统在斜坡输入作用下的稳态误差为 通常，式(390)表达的稳态误差称为速度误差。必须注意，速度误差的含意并不是指系统稳态输出与输入之间存在速度上的误差，而是指系统在速度(斜坡)输入作用下，系统稳态输出与输入之间存在位置上的误差。此外，式(390)还表明：0型系统在稳态时不能跟踪斜坡输入；对于I型单位反馈系统，稳态输出速度恰好与输入速度相同，但存在一个稳态位置误差，其数值与输入速度信号的斜率R成正比，而与开环增益K成反比；对于型及型以上的系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差。如果系统为非单位反馈系统，其H(s)为常数，那么系统输出量的希望值为，系统输出端的稳态位置误差为 上式表示的关系，对于下面即将讨论的系统在加速度输入作用下的稳态误差计算问题，同样成立。5加速度输人作用下的稳态误差与静态加速度误差系数在图328所示的控制系统中，若，其中R为加速度输入函数的速度变率，则R(s)=。将R(5)代入式(387)，算得各型系统在加速度输入作用下的稳态误差型单位反馈系统在加速度输入作用下的稳态误差图示，可参见图333。7. 扰动作用下的稳态误差控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。例如：负载转矩的变动，放大器的零位和噪声，电源电压和频率的波动，组成元件的零位输出，以及环境温度的变化等。因此，控制系统在扰动作用下的稳态误差值，反映了系统的抗干扰能力。在理想情况下，系统对于任意形式的扰动作用，其稳态误差应该为零，但实际上这是不能实现的。 由于输入信号和扰动信号作用于系统的不同位置，因此即使系统对于某种形式输入信号作用的稳态误差为零，但对于同一形式的扰动作用，其稳态误差未必为零。设控制系统如图335所示，其中N(s)代表扰动信号的拉氏变换式。由于在扰动信号N(s)作用下系统的理想输出应为零，故该非单位反馈系统响应扰动n(t)的输出端误差信号为 (3102)式中，G(s)=H(s)为非单位反馈系统的开环传递函数，(s)为以n(t)为输入，(t)为输出时非单位反馈系统前向通道的传递函数。为系统对扰动作用的误差传递函数，并将其在s=0的邻域展成泰勒级数，则式(3103)可表示为设系统扰动信号可表示为n(t)=则将式(3104)代入式(3102)，并取拉氏反变换，可得稳定系统对扰动作用的稳态误差表达式式中 称为系统对扰动的动态误差系数。将的分子多项式与分母多项式按s的升幂排列，然后利用长除法，可以方便的求得。当在s右半平面及虚轴上解析时，同样可以采用终值定理法计算系统在扰动作用下的稳态误差。8减小或消除稳态误差的措施为了减小或消除系统在输入信号和扰动作用下的稳态误差，可以采取以下措施，(1)增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益由表3-5可见，增大系统开环增益K以后，对于。型系统，可以减小系统在阶跃输入时的位置误差；对于I型系统，可以减小系统在斜坡输入时的速度误差；对于型系统，可以减小系统在加速度输入时的加速度误差。由例3-15可见，增大系统开环增益之前的比例控制器增益Kl，可以减小系统对阶跃扰动转矩的稳态误差。式(3108)表明，系统在阶跃扰动作用下的稳态误差与K2无关。因此，增大扰动点之后系统的前向通道增益，不能改变系统对扰动的稳态误差数值。(2)在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节(3)采用串级控制抑制内回路扰动当控制系统中存在多个扰动信号，且控制精度要求较高时，宜采用串级控制方式，可以显著抑制内回路的扰动影响。(4)采用复合控制方法如果控制系统中存在强扰动，特别是低频强扰动，则一般的反馈控制方式难以满足高稳态精度的要求，此时可以采用复合控制方式。