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二次根式辅导讲义同步知识梳理一：二次根式的概念二次根式的定义形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义二：二次根式的性质 1. 非负性：是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正数 （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式与的区别与联系 （1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数 （2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数（3）和的运算结果都是非负的三：最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；(分母中不含根号2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。四：二次根式计算分母有理化1分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 最后结果必须化成最简二次根式或有理式。五：二次根式计算二次根式的乘除1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 =（a0，b0）2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 （a0，b0） 3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=（a0，b0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式六：二次根式计算二次根式的加减需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值 1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_（填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的个数有_个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 来源:学*科*网Z*X*X*K举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3且x42、 使代数式有意义的x的取值范围是 【例3】若y=+2009，则x+y= 举一反三：1、若，则xy的值为（ ）A1 B1 C2 D32、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。1、 若的整数部分是a，小数部分是b，则 。 2、若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.专题二、二次根式的性质【例4】若则 举一反三：1、若，则的值为 。2、若与互为相反数，则。 （公式的运用）【例5】 化简：的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三：1、 化简：2、 已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为 （公式的应用）【例6】已知,则化简的结果是A、 B、C、D、 举一反三：1、根式的值是( )A-3 B3或-3 C3 D92、已知a0，那么2a可化简为（ ） Aa Ba C3a D3a3、若，则等于（ ）A. B. C. D. 4、若a30，则化简的结果是（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 2a7 (D) 72a5、化简得（ ）（A）2（B）（C）2（D）6、当al且a0时，化简 7、已知，化简求值：【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+ 的结果等于（ ） A2b B2b C2a D2a举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）（A）x为任意实数 （B）x4 （C） x1 （D）x1举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（ ）或【例9】如果，那么a的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a1 举一反三：1、如果成立，那么实数a的取值范围是（ ）2、若，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【例10】化简二次根式的结果是（A） (B) (C) (D)1、把二次根式化简，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 2、把根号外的因式移到根号内：当0时， ； 。专题三：最简二次根式和同类二次根式【例11】在根式1) ，最简二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)举一反三：1、下列根式不是最简二次根式的是()A.B.C.D.2、把下列各式化为最简二次根式： (1) (2) (3)【例12】下列根式中能与是合并的是( )A. B. C.2 D. 举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）A、 B、 C、 D、2、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式, 则a=_.专题四：二次根式计算分母有理化【例13】 把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例14】把下列各式分母有理化（1） （2） 【例15】把下列各式分母有理化：（1） （2） （3）举一反三：1、 已知，求下列各式的值：（1）（2）专题五：二次根式计算二次根式的乘除【例16】化简(1) (2) (3)() (4) 【例17】计算（1）（2）（3） （4） （5） （6）（7） （8）【例18】化简： (1) (2) (2) (4) 【例19】计算：(1) (2) (3) （4）【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、无解专题六：二次根式计算二次根式的加减【例20】计算（1）； （2）；【例21】 （1） （2）专题七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值1、 2、 (2+43)3、 （-4） 4、5、 ） 6、 【例21】 1已知：，求的值2 已知，求的值。3 已知：，求的值课后作业一、选择题1使有意义的的取值范围是（ ）2一个自然数的算术平方根为，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）（A）（B）（C）（D）3若，则等于（ ）（A）0 （B） （C） （D）0或4若，则化简得（ ）（A） （B） （C） （D）5若，则的结果为（ ）（A） （B） （C） （D）6已知是实数，且，则与的大小关系是（ ）（A） （B） （C） （D）7已知下列命题：； ； 其中正确的有（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个8若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）9当时，化简等于（ ）（A）2 （B） （C） （D）010化简得（ ）（A）2 （B） （C） （D）二、填空题11若的平方根是，则12当时，式子有意义13已知：最简二次根式与的被开方数相同，则14若是的整数部分，是的小数部分，则，15已知，且，则满足上式的整数对有_16若，则17若，且成立的条件是_ 18若，则等于_ 三、解答题1 9计算（1）；（2）20 已知，求的值 21 已知是实数，且，求的值.22 若与互为相反数，求代数式的值.23若满足，求的最大值和最小值.