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二次根式辅导讲义
同步知识梳理
一：二次根式的概念
二次根式的定义
形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
二：二次根式的性质
1. 非负性：是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2. ．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
3.

注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式与的区别与联系
（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
（3）和的运算结果都是非负的．

三：最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；(分母中不含根号．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

四：二次根式计算——分母有理化
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
五：二次根式计算——二次根式的乘除
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
=·（a≥0，b≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·＝．（a≥0，b≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
=（a≥0，b>0）
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
=（a≥0，b>0）
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
六：二次根式计算——二次根式的加减
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
1、确定运算顺序；
　　2、灵活运用运算定律；
　　3、正确使用乘法公式；
　　4、大多数分母有理化要及时；
　　5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

【例1】下列各式1），
其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、在、、、、中是二次根式的个数有______个

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]
举一反三：
1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4
2、 使代数式有意义的x的取值范围是

【例3】若y=++2009，则x+y=
举一反三：
1、若，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
2、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

1、 若的整数部分是a，小数部分是b，则 。
2、若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.
专题二、二次根式的性质

【例4】若则 ．
举一反三：
1、若，则的值为 。
2、若与互为相反数，则。
（公式的运用）
【例5】 化简：的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
举一反三：
1、 化简：
2、 已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为
（公式的应用）
【例6】已知,则化简的结果是
A、 B、 C、 D、
举一反三：
1、根式的值是( )
A．-3 B．3或-3 C．3　 D．9
2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a

3、若，则等于（ ）
A. B. C. D.
4、若a－3＜0，则化简的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a
5、化简得（ ）
（A）　2　（B）　（C）－2　　（D）
6、当a＜l且a≠0时，化简＝ ．
7、已知，化简求值：

【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ 的结果等于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
举一反三：

实数在数轴上的位置如图所示：化简：．

【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）
（A）x为任意实数 （B）≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（　 　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
【例9】如果，那么a的取值范围是（ ）
A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1
举一反三：
1、如果成立，那么实数a的取值范围是（ ）

2、若，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【例10】化简二次根式的结果是
（A） (B) (C) (D)
1、把二次根式化简，正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
2、把根号外的因式移到根号内：当＞0时，＝ ；＝ 。
专题三：最简二次根式和同类二次根式
【例11】在根式1) ，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
举一反三：
1、下列根式不是最简二次根式的是(　)
A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　D.
2、把下列各式化为最简二次根式：
(1) (2) (3)

【例12】下列根式中能与是合并的是( )
A. B. C.2 D.
举一反三：
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
专题四：二次根式计算——分母有理化
【例13】 把下列各式分母有理化
（1） （2） （3） （4）

【例14】把下列各式分母有理化
（1） （2）
【例15】把下列各式分母有理化：
（1） （2） （3）
举一反三：
1、 已知，，求下列各式的值：（1）（2）

专题五：二次根式计算——二次根式的乘除
【例16】化简
(1) (2) (3)() (4) ×

【例17】计算（1） （2）  （3）   （4）

（5） （6）  （7） （8）

【例18】化简：
(1) (2)

(2) (4)

【例19】计算：(1) (2) (3) （4）

【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、无解

专题六：二次根式计算——二次根式的加减
【例20】
计算（1）； （2）；

【例21】
（1） （2）

专题七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
1、 2、 (2+4－3)

3、 ·（-4）÷ 4、

5、 ） 6、

【例21】 1．已知：，求的值．

2． 已知，求的值。

3． 已知：，求的值．

课后作业
一、选择题
1．使有意义的的取值范围是（ ）
2．一个自然数的算术平方根为，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）
（A）（B）（C）（D）
3．若，则等于（ ）
（A）0 （B） （C） （D）0或
4．若，则化简得（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．若，则的结果为（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．已知是实数，且，则与的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．已知下列命题：
①； ②；
③； ④．
其中正确的有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
8．若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．当时，化简等于（ ）
（A）2 （B） （C） （D）0
10．化简得（ ）
（A）2 （B） （C） （D）

二、填空题
11．若的平方根是，则．12当时，式子有意义．
13．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则．
14．若是的整数部分，是的小数部分，则，．
15．已知，且，则满足上式的整数对有_____．
16．若，则．
17．若，且成立的条件是_____．
18．若，则等于_____．
三、解答题
1 9．计算（1）；（2）

20． 已知，求的值 ．

21． 已知是实数，且，求的值.

22． 若与互为相反数，求代数式的值.

23．若满足，求的最大值和最小值.