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关于HERTZ点接触理论适用范围的探讨
发表时间：2007-8-28  作者: 吴飞科 罗继伟 张 磊 王东峰    来源: 万方数据
关键字: 滚动轴承 Hertz接触理论 有限元分析 
通过对ANSYS有限元分析解和Hertz理论解比较，可以确定ANSYS软件对接触问题分析的计算结果是能够满足需要的。通过实例分析求解，指出Hertz点接触理论的适用范围是沟曲率半径系数f≥0.54（或者密合度Φ≤0.92599）。
    Hertz接触理论是一个经典解，利用该理论可以解决大部分滚动轴承的应力、应变计算问题。但是现实中有很多问题不符合Hertz理论的基本假设。例如有限长滚子与沟道接触问题，滚子倾斜接触，滚子凸度设计等问题，在这些情况下，如果仍然按照Hertz接触理论计算，其结果会和实际情况有很大出入，不能满足工程需要，目前此类问题的分析更倾向于数值求解。
    一般情况下，认为Hertz点接触理论是适合球轴承计算的，但是当钢球与沟道之间的密合度很高时，接触区域与钢球半径之比就不是一个小量，此时Hertz点接触理论是否合理是值得怀疑的。另外，从直观理解上讲，当密合度由低到高变化时，Hertz点接触理论的误差会越来越大，但是，当变化到什么程度时，该理论的误差会超出工程允许的范围，这些问题并未引起人们的关注。本文试图对这一问题进行探讨。
1 Hertz点接触理论
    Hertz点接触理论适用于非密合接触（non-conforming）问题，该理论的基本假设就是接触区域应该很小。球轴承的设计计算都是在这个假定下进行的。Hertz点接触理论的基本假设有3条。
    （1）接触体是线性弹性体，服从广义胡克（Hooke）定律。
    （2）光滑表面，只有法向作用力，不存在切向摩擦力。
    （3）接触面尺寸与接触体表面的曲率半径相比是小量。
    Hertz点接触理论的计算公式归结为

式中：为曲率和；F(ρ)为曲率差函数；a、b为接触椭圆长短半轴；V1,V2为材料泊松比；E1,E2为材料弹性模量；a*,b*为与F(ρ)有关的无量纲量；σmax为最大应力值；Q为法向载荷。
2 球轴承沟曲率半径系数与密合度
    球轴承沟曲率半径系数是一个重要的设计参数，其定义为

    式中:r为沟道曲率半径；Dw为钢球直径。
    钢球与沟道的密合度定义为

    从理论上讲，Φ的取值范围在0~1之间Φ越接近1，密合度就越高。在通用球轴承设计中，f的值一般在0.515~0.525之间，此时Φ接近1。
    为了探讨密合度Φ（或f）对Hertz点接触理论的影响，以球和球窝轴对称接触问题为例，分别用有限元分析软件ANSYS和Hertz点接触理论对此问题进行计算，并比较其误差，以确定Hertz点接触理论的适用范围。
3 用ANSYS有限元分析软件求解
    3.1 用ANSYS分析软件求解Hertz问题
    假设两个球体1和2接触，它们的半径分别为：R1=10mm,R2=15mm;弹性模量E1=220GPa,E2=69Gpa;泊松比为V1=0.27,V2=0.3;球1顶部施加集中载荷Q=8000N。
    根据轴对称关系，按照轴对称平面接触模型进行计算，见图1。

    对接触体进行四边形有限元划分，在接触区域附近其节点编号如图2所示。

应当注意，在划分单元之前，一定要预先估算加载后接触区域的大小，否则可能使划分的单元大于接触区域尺寸，从而不能精确计算出（甚至无法计算出）接触区的尺寸。一般情况下，单元尺寸尽可能小，应使其为接触椭圆半径的1/3左右。当然也不能无限制地细化单元，以免导致计算机的计算时间增加。适宜的单元大小划分过程要经过反复调试。
    有限元接触应力求解结果见图3。ANSYS求解结果和Hertz理论解的比较列于表1中。在提取节点载荷时，如果节点载荷Fy>0,则该点处于接触状态（在模型最上端施加了负y向的力），否则处于非接触状态。最大法向应力则应该是所有接触点应力的最大值。接触区域的半径应为最远的那个接触点的x坐标值与该点x方向位移值之和的绝对值，即R=|X+Ux|.

    结果比较在表1中列出。其中aA,σA是接触半径和最大接触应力的ANSYS解，ah和σh是其Hertz理论解。
    比较的结论是，两者求解的结果非常接近，接触尺寸误差仅为1.52%，而最大应力误差也仅为3.09%。因此可以说，用ANSYS软件求解接触问题有足够的精度，是可靠的。

    3.2 Hertz 点接触理论的适用范围以球和球窝接触为例，分别用Hertz理论和ANSYS求解。如图4所示，钢球直径Dw=2mm,球窝的曲率半经为r（给定一系列数据），小球顶点施加集中载荷Q=20N；两接触体物理参数为E=207GPa。同上面的例子一样，建模、划分网格、设置参数和接触对。ANSYS解和Hertz理论解的接触半径与最大应力结果比较见表2。由于材料是轴承钢，故在本例中Hertz点接触理论公式可用

    从表2可以看出，当f≥0.54时，Hertz理论解和ANSYS解基本一致，接触尺寸误差和最大应力误差分别为2.40%与4.63%；当f<0.54时，误差会越来越大；当f=0.52时，两者的误差分别为4.99%与8.41%。此时Hertz理论的结果已不十分可靠了，而球轴承的情况正好与此相似。当f更小时，Hertz理论已基本失效。

4 结束语
    （1）用ANSYS分析软件求解接触问题是可靠的，控制好网格划分，ANSYS分析结果是有足够精度的。
    （2）对于球轴承而言，当沟曲率半径系数f≥0.54时，Hertz点接触理论是适用的，但当f<0.54时，Hertz点接触理论的误差会越来越大，甚至不能使用。