效用函数省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

3 效用函数n3.1 引言n3.2 效用定义和公理系统n3.3 效用函数结构n3.4 风险与效用n3.5 货币效用n3.6 阿莱斯悖论(Allaiss paradox)第1页3.1 引言n在定量评价可能行动各种后果时，会碰到两个主要问题:n(1)后果本身是用语言表述，可能没有任何适当直接测量标度。n(2)即使有一个明确标度能够测量后果，按这个标度测得量也可能并不反应后果对决议人真正价值。第2页3.1 引言例例3.1 考虑钱对同一个人价值。假设一个学生手头担心，恰好有机会挣100元钱，不过所要做是他相当讨厌工作。1）如他经济情况差，他会认为100元钱实际价值足够大，所要做工作即使是相当讨厌，他仍会去干；2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌工作，他就很可能不干了。所以，10100元价值并不等于10000元价值加上身无分文时100元价值。这就是经济学中边际价值递减性。这个例子说明即使是数值量表示后果，它对决议人实际价值仍有待确定。第3页3.1 引言 例例3.2 决议人面临图3.1中决议树所表示选择：收入礼品1000元，或是参加一次抽奖：有50%机会得0元，50%机会得2500元。有些人选确定性1000元收入。抽奖期望值虽大，风险也大，实际价值还不如保险1000元。而有些人认为礼品不如抽奖，因为抽奖提供了取得2500元机会。第4页3.1 引言n由上面两个例子可知：在进行决议分析时，存在怎样描述或表示后果对决议人实际价值，方便反应决议人心目中各种后果偏好次序偏好次序（preference order）问题。n偏好次序是决议人个性与价值观反应，它与决议人所处社会地位、经济地位、文化素养、心理和生理（身体）状态相关。第5页3.2 效用定义和公理系统n3.2.1 效用定义n3.2.2 效用存在性公理n3.2.3 效用公理化定义和效用存在性n3.2.4 基数效用与序数效用第6页3.2.1 效用定义n效用效用：商品满足人欲望能力和消费者在消费商品时所感受到满足程度.n在决议理论中，后果对决议人实际价值，即决议人对后果偏好次序是用效用效用(utility)来描述。n效用就是偏好量化，是数效用就是偏好量化，是数(实值函数实值函数)。n1738年，Daniel Bernoulli就指出：若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择决议问题，假如他知道与给定行动相关未来自然状态，且这些状态出现概率已知或能够预计，则他应选择对各种可能后果偏好偏好期望值期望值最高最高行动。第7页一、效用基本概念与符号(1)严格序严格序“”a b(或者记作aPb)含义是“a优于b”(a is preferred to b)；也就是说，若非外界原因强迫，决议人只会选择a而不会选择b。第8页一、效用基本概念与符号(2)无差异无差异“”ab(或记作aIb)含义是“a无差异于b”(a is indifference to b)；也就是说，决议人对选择或一样满意。第9页一、效用基本概念与符号(3)弱序弱序“”记作aRb，含义是“a不劣于b”，亦即a优于或者无差异于b。第10页一、效用基本概念与符号 (4)展望展望(prospect)展望指决议可能前景，即各种后果及后果出现概率组合，记作P=.在例3.2决议问题中，后果集 C=1000,2500,0,采取行动a1和a2时展望分别是:P1=P2=第11页(4)展望展望(prospect)展望既考虑各种后果Ci,又考虑了各种后果出现概率(客观概率pi或主观概率i),全方面地描述了在决议问题中采取某种行动可能前景。第12页复合展望 第13页一、效用基本概念与符号(5)抽奖与确定当量 由机会点和该机会点发出n个机会枝概率及对应后果组成图形称为抽奖抽奖（lottery），抽奖又称彩票。若C1 (p,C2;(1-P),C3),则称 确定性后果C1为抽奖(p,C2;(1-P),C3)确实定当量（certainty equivalent）。第14页二、效用定义 依据上述讨论和记号，能够初步给出效用函数定义以下。定义定义3.1 在集合P上实值函数u，若它和P上优先关系一致，即：若 P1,P2属于 P，P1 P2当且仅当u(P1)u(P2)，则称u为效用函数。把效用函数定义在展望集P上而不是定义在后果集C上，是为了使效用函数能够反应决议人对风险态度。第15页3.2.2 效用存在性公理n定义3.1给出了效用函数最基本性质，这就是能够依据它大小来判断展望P优劣。n不过这么效用函数是否一定存在呢?回答是不一定。n至于决议人价值判断在满足什么条件时存在与之一致效用函数，von Neumann-Morgenstern(1944)给出了效用存在性公理，又称理性行为公理。第16页3.2.2 效用存在性公理第17页式(3.3)推导:P1 P2P1+(1-)P1 P2+(1-)P2P1+(1-)P3 P2+(1-)P3 公理3.3表明两个有序展望各有相同百分比 被相等量 替换后，优先关系不变.第18页例3.3 横过马路问题:效用有界性证实第19页3.2.3 效用公理化定义和效用存在性第20页3.2.3 效用函数存在性第21页3.2.4 基数效用与序数效用n基数：为实数，如1，2，3,n序数：如第一，二，4，3，2，1n基数性效用函数与序数效用函数区分：1.基数效用定义在展望集P上(考虑后果及其概率分布),是实数；序数效用定义在后果集C上，不包括概率，能够是整正数.2.基数效用反应偏好强度：(正线性变换下唯一)原数列可变换为:b+c,2b+c,3b+c,100b+c;其中 b,c R1,b0.而序数效用不反应偏好强度，(保序变换下唯一),原序数列可变换为16,9,4,1；或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.第22页3.2.4 基数效用与序数效用n 基数(cardinal number)效用：边际效用分析方法 -总效用（TOTAL UTILITY，TU）：消费者在一定时间内从一定数量商品消费中所得到效用量总和;-边际效用（MARGINAL UTILITY，MU）：消费者在一定时间内增加一单位商品消费所得到效用量增量.n序数(ordinal number)效用：无差异曲线分析方法 希克斯认为，效用数值表现只是为了表示偏好次序，并非效用绝对数值。现在比较通用是序数效用。第23页无差异曲线（Indifference curve）n含义：无差异曲线表示对消费者没有区分商品组合点轨迹。即无差异曲线是用来表示两种商品或两组商品不一样数量组合对消费者所提供效用是相同。n特征:(1)无差异曲线是是一条凸向原点，并向右下方倾斜曲线，其斜率为负值，它表明在收入与价格既定条件下，为了取得一样满足程度，增加一个商品消费时就必须放弃或降低另一个商品消费。(2)两种商品在消费者偏好不变条件下，不能同时降低或增多。在同一平面图上有没有数条无差异曲线，同一条无差异曲线代表一样满足程度，不一样无差异曲线代表不一样满足程度，离原点越远，满足程度越大，反之则越小。(3)在同一平面图上，任意两条无差异曲线不能相交，不然与第二点矛盾。第24页3.3 效用函数结构n1预计效用函数值方法预计效用函数值方法n2离散型后果效用设定离散型后果效用设定n3连续型后果效用函数结构连续型后果效用函数结构n4用解析函数近似效用曲线用解析函数近似效用曲线第25页1预计效用函数值方法预计效用函数值方法 概率当量法概率当量法 确定当量法确定当量法 增益当量法增益当量法 损失当量法损失当量法 从纯理论角度看，这四种方法并没有实质性区分；不过试验结果表明，使用确定当量法时决议人对最优后果（增益）保守性和对损失冒险性都比概率当量法严重(Hershey，1982）；采取增益当量法与损失当量法时产生误差也比用概率当量法大，所以只要有可能，应该尽可能使用概率当量法。第26页 概率当量法概率当量法第27页2离散型后果效用设定离散型后果效用设定n后果为离散型随机变量时，后果集C中元素为有限个，结构后果集上效用函数有两方面内容:(1)确定各后果之间优先序;(2)确定后果之间优先程度。n离散型后果效用值设定能够采取概率当量法，简称NM法。第28页NM法步骤以下：第29页例3.6 例例3.6 天气预报说球赛时可能有雨，一个足球兴趣者要决定是否去球场看球。首先作该问题决议树如图所表示。由题意可知决议人对四种后果优劣排序是：c2c3c4c1。第30页步骤:n第一步:令u(c1)=0,u(c2)=1。n第二步:问询决议人，下雨在家看电视这种后果与去球场看球有多大约率下雨被淋相当，若决议人回答是0.3，则c30.7 c2+0.3c1，u(c3)0.7u(c2)0.7。n第三步:问询决议人，无雨看电视这种后果与去球场看球有多大约率下雨被淋相当，若决议人回答是0.6，则c40.4c2+0.6c1，得u(c4)0.4c20.4。n第 四 步:进 行 一 致 性 校 验。c30.4c2+0.6c4，则u(c3)=0.640.7。重复二、三，若u(c3)不变，则调整u(c4)=0.5，决议人仍认为c30.4c2+0.6c4，则经过校验。第31页3连续型后果效用函数结构连续型后果效用函数结构n当后果c为连续变量时，上述方法就不再适用。n不过假如能经过分析找到u(c)若干特征值，求特征点效用后，再连成光滑曲线；n或者u(c)是连续、光滑,则能够分段结构u(c)。第32页天天学习时间与效用伴随学习时间增加，效用值也会有所增加不过因为进入状态需要一定时间，所以在t较小时，效用增加较慢；过了一小段时间后，效用与所化时间基本上是线性关系；伴随学习时间不停增加，人会疲劳，效率会下降；时间太长，这时效果不如时间适度，即存在效用值最大点tm；再增加学习时间又会从效用最大值处下降。其中与效用最大值对应tm是因人而异。因为效用函数惟一性(即在正线性变换下惟一，见效用公理化定义)，效用值域能够是整个实轴，而无须限于0,1区间。第33页4用解析函数近似效用曲线用解析函数近似效用曲线n为了分析和运算方便，分析人员通常希望能够用某种解析函数式u(x)来近似地表示效用。n惯用函数有幂函数和对数函数.第34页3.4 风险与效用n3.4.1 风险含义n3.4.2 效用函数包含内容n3.4.3 相对风险态度第35页3.4.1 风险含义n风险包含有两个方面内容:n(1)后果损失严重程度;n(2)出现损失可能性大小.n普通，能够用以下几个指标来度量风险。第36页(1)方差第37页(2)自方差第38页(3)临界概率第39页(4)Fishburn风险定义第40页3.4.2 效用函数包含内容n1.对风险态度对风险态度n2.对后果偏好强度对后果偏好强度n3.可测价值函数可测价值函数第41页1.对风险态度对风险态度 如图所表示为几个经典效用函数曲线。曲线A是下凹，曲线N是线性，曲线P是凸函数。这三种形状曲线分别反应了决议人三种风险态度：风险厌恶风险厌恶(risk aversion)、风险中立风险中立(risk neutralness)和风险追求风险追求(risk proneness)。第42页风险酬金第43页2对后果偏好强度对后果偏好强度 n考查一下钱边缘价值：设某人现有积蓄为0，增加1000元对此人作用(价值)与有了1000元后再加1500元相等,则此人财富价值函数是凹函数，如右图。n若问询货币后果对这个决议人实际价值即效用时，决议人认为1000元(0.5,0;0.5,2500),则与其说此人是风险厌恶不如说他是相对风险中立。为此有必要对确定性后果偏好强度加以量化，这就是可测价值函数。第44页3.可测价值函数可测价值函数确定性后果偏好强度量化定义定义：在后果空间X上实值函数v，对w，x，y，zX有I、(wx)(yz)当且仅当v(w)v(x)v(y)v(z),II、v对正线性变换是唯一确定。则称v为可测价值函数。可测价值函数示意图如右。第45页3.可测价值函数可测价值函数第46页3.4.3 相对风险态度决议人真实风险态度被称作相对风险态度相对风险态度(relative risk attitude)。设效用函数和测价值函数在上都是单调递增，且连续二次可微。1效用函数反应风险局部测度 0 u在x 处凹,风险厌恶 r(x)=-u”(x)/u(x)=0 u在x 处线性,风险中立 0 在x处有递减边缘价值 m(x)=-v”(x)/v(x)=0 在x处有不变边缘价值 m(x)，称为在x 处相对风险厌恶 r(x)m(x)，称为在x 处相对风险中立 r(x)m(x)，称为在x 处相对风险追求 第47页3.5 货币效用第48页3.6 阿莱斯悖论(Allaiss paradox)n法国经济学家、诺贝尔经济学奖取得者阿莱斯（Allais，1953）进行了彩票选择试验。试验中，被试者被要求在两组彩票组合中分别进行选择：第49页推导（推导（1）：）：n假设：u($5 m)=1,u($0 m)=0。n假如决议人选择X，则有：0.9 u($0)+0.1 u($5 m)0.89 u($0)+0.11 u($1 m)0.1 0.11 u($1 m)0.1/0.11 u($1 m)u($1 m)0.89 u($1 m)+0.1 u($5 m)+0.01 u($0 m)u($1 m)0.89 u($1 m)+0.1 u($1 m)0.1/0.11第51页“阿莱斯悖论”启示：n“阿莱斯悖论”解释：人们偏好确定性结果，而厌恶不确定性结果。（即人效用函数往往低估一些只含有可能性结果，而相对高估确定性结果。）n“阿莱斯悖论”说明了真实个体决议行为会系统地违反期望效用理论中期望效用最大化原理，从而动摇了决议科学理论基石。第52页效用理论最新结果：n卡尼曼和特沃斯基（Kahneman and Tversky，1979）提出展望理论（prospect theory）。n他们对促使人们无法做出符合传统理性决议模型原因归纳出三个效果：第53页1)确定效果(certainty effect)在下命两个博彩间进行选择：博彩A：33%机会得到2500元，66%机会得到2400元，1%机会什么也得不到；博彩B：100%机会得到2400元。现在考虑下面两个博彩：博彩C：33%机会得到2500元，67%机会什么也得不到；博彩D：34%机会得到2400元，66%机会什么也得不到。第54页1)确定效果(certainty effect)n在A和B中，问卷结果显示有82%受访者选择博彩B。n在C和D中问卷显示有83%人选择了博彩C。n依据期望效用理论，在第一个博彩中：0.33U(2500)+0.66U(2400)U(2400)，即0.33U(2500)0.34U(2400)，二者在逻辑上矛盾。n产生矛盾原因是，人们在面临不确定性时选择表现出一些与传统效用理论不符特征，人效用函数低估一些只含有可能性结果，而相对高估确定性结果，称之为确定效果。第55页2)反射效果(reflection effect)在下命两个博彩间进行选择：博彩A：80%机会得到4000元；博彩B：100%机会得到3000元。现在考虑下面两个博彩：博彩C：80%机会损失4000元；博彩D：100%机会损失3000元。第56页2)反射效果(reflection effect)n在A和B中,问卷结果显示有80%受访者选择博彩B。n在A和B中,问卷显示有83%人选择了博彩C,问卷结果显示92%受访者选择博彩C。n在不确定条件下，行为人决议不但与不一样行动期望效用相关，更与行为对基准点偏离方向相关。n当行动结果是受益时，行为人是风险躲避者；而当行动结果是损失时，行为人是风险偏好者，这个称为反射效果。n即使行为人在不一样基准点方向上表现了不一样风险态度，不过这都是行为人损失防止心理反应。第57页3)分离效果(isolation effect)考虑一个两阶段博彩：在博彩第一阶段，个人有75%概率出局得不到任何回报，只有25%人进入下个阶段。第二阶段，在下面两个博彩间进行选择：博彩A：80%机会得到4000元；博彩B：100%机会得到3000元。现在考虑下面两个博彩：博彩C：20%机会得到4000元；博彩D：25%机会得到3000元。第58页3)分离效果(isolation effect)n问卷结果显示有78%受访者选择博彩B，即25%*80%U(4000)25%*100%U(3000)“。n问卷显示大部分人选择了博彩C。n由此可知道，在两阶段博弈当中个人有短视（myopia）现象，只考虑第二阶段而忽略了第一阶段。n假如依据期望效用理论，这两个博彩回报是相同。不过因为问题叙述方式不一样，个人选择是不一样，这就是框架效应结果。第59页展望理论（prospect theory）n为了解释这三个现象，卡尼曼和特沃斯基提出了展望理论（prospect theory），用来作为人们在面对不确定性下做决议模型，来解释传统期望效用理论与试验结果分歧。他们利用价值函数函数来解释人行为。第60页(1)价值函数（Value Function），用来代替效用函数 n（1）价值函数定义在相对于参考点利得和损失上，而不是普通传统理论所重视期末财富；n（2）价值函数为S形，在面对利得时是凹函数，在面对损失时是凸函数；n（3）价值函数损失部分斜率比利得部分斜率陡，即投资者在相对应利得和损失下，边际损失比边际利得敏感，称为禀赋效应（endowment effect）。第61页价值函数第62页作业4：nP54：四、某厂考虑两种生产方案nP54：六、把一副扑克牌4张A取出第63页