三角函数期末难题复习-教师版.doc

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三角函数参考答案与试题解析

1．（2010•嘉祥县校级模拟）已知函数（ω＞0），，且f（x）在区间单调递减，则ω的值为（　　）
A．2 B．
C． D．
【考点】正弦函数的单调性；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】通过，推出，结合f（x）在区间单调递减，推出ω的范围，然后求出ω．
【解答】解：，
又f（x）在区间单调递减，，∴且，∴0＜ω≤2．∴ω=2．
故选A．
【点评】本题是中档题，考查三角函数的图象以及性质，正弦函数的单调性，考查计算能力，逻辑推理能力．

2．（2006•奉贤区一模）函数，则集合{x|f（f（x））=0}元素的个数有（　　）
A．、2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】三角函数的化简求值．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；分类讨论．
【分析】根据分段函数f（x）解析式，我们结合集合元素要满足的性质f[f （x）]=0，易通过分类讨论求了所有满足条件的x的值，进而确定集合中元素的个数．
【解答】解：当x≤0时，f（x）=0可得x=0
当0＜x≤π时，若f（x）=4sinx=0，则sinx=0，则x=π
当x≤0时，若f（x）=x2=π，则x=﹣，
当0＜x≤π时，若f（x）=4sinx=π，则sinx=
，则x=，
又∵f[f （x）]=0
∴f （x）=0，或f （x）=π
∴x=﹣，或x=0，或x=，或 ，或x=π
故选：D
【点评】本题考查的知识点是集合中元素的个数及分段函数的函数值，其中根据分段函数的解析式，利用分类讨论的思想构造关于x的方程是解答本题的关键

3．（2015秋•广东月考）若0＜x＜，0＜y＜，且sinx=xcosy，则（　　）
A． B． C． D．x＜y
【考点】任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】三角函数的求值．
【分析】由于0＜x，y＜，可得0＜sinx＜x＜tanx，由sinx=xcosy，可得cosy=＞=cosx，即y＜x，再利用倍角公式可得cosy=＜cos，即可得出．
【解答】解：∵0＜x，y＜，
∴0＜sinx＜x＜tanx，
又∵sinx=xcosy，
∴cosy=＞=cosx，
故y＜x，
又∵sinx=xcosy，即=xcosy
∴cosy=＜cos，
故y＞，
综上所述，，
故选：C．
【点评】本题考查了“0＜x，y＜，可得0＜sinx＜x＜tanx”性质及其三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

4．（2014秋•武侯区校级月考）已知三角函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b同时满足以下三个条件：
①定义域为R；
②对任意实数x都有f（x）≤f（3）；
③f（x+2）=+，
则f（x）的单调区间为（　　）
A．[4k﹣1，4k+3]，k∈Z B．[4k+1，4k+3]，k∈Z
C．[8k﹣2，8k+2]，k∈Z D．[8k+2，8k+6]，k∈Z
【考点】正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】依题意，知f（x）max=f（3）与f（1+2）=+取得最大值，可知在X=3时，f（3）取到最大值，在X=1时，取得最小值，故其周期为4，从而可得答案．
【解答】解：∵对任意实数x都有f（x）≤f（3），
∴f（x）max=f（3）；
又f（x+2）=+，
由f（x）﹣f2（x）≥0得：0≤f（x）≤1，即f（x）max=1=f（3），f（x）min=0，
又当x=1时，f（3）=f（1+2）=+=1，即+=1，
解得：f（1）=；
又f（3+2）=+，即f（5）=+0=，即f（1+4）=f（1），同理可得f（7）=f（3）=1，
由正弦函数的性质可知，其周期为4，
∴f（x）的单调区间为[4k+1，4k+3]，k∈Z．
故选：B．
【点评】本题考查正弦函数的单调性，对关系式f（x+2）=+的理解与应用是难点，分析得到其周期为4是关键，属于难题．

5．（2013•和平区校级二模）函数f（x）在R上既是奇函数又是减函数，且当θ∈（0，）时，f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2m﹣2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是　　．
【考点】复合三角函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
【专题】压轴题；函数的性质及应用．
【分析】根据函数是奇函数原不等式化简为f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2），再借助于函数的单调性可得1﹣2sin2θ+2msinθ＜2m+2，利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）在R上是奇函数，f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2m﹣2）＞0
∴f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2）
∵y=f（x）是减函数，
∴cos2θ+2msinθ＜2m+2恒成立．
∴1﹣2sin2θ+2msinθ＜2m+2恒成立．
设t=sinθ∈（0，1），等价于2t2﹣2mt+2m+1＞0在t∈（0，1）恒成立．
只要g（t）=2t2﹣2t+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．
（1）当m＜0时，最小值为g（0）=2m+1≥0，所以可得：0＞m≥﹣
（2）当0≤m≤1时，最小值为g（）=﹣m2+2m+1≥0，所以可得：0≤m≤1
（3）当m＞1时，最小值为g（1）=2≥0恒成立，得：m＞1，
综之：m≥﹣为所求的范围．
故答案为：m≥﹣．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

6．（2012•安徽模拟）函数的一个零点为，且，对于下列结论：
①；②；③
④f（x）的单调减区间是；
⑤f（x）的单调增区间是．
其中正确的结论是　①②⑤　．（填写所有正确的结论编号）
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】由题意可得f（x）=sin（x+φ），由f（）=0，，可确定φ，从而对①②③④⑤逐个判断即可．
【解答】解：由题意可得：f（x）=sin（x+φ），
∵f（）=0，
∴sin（+φ）=0，
∴φ=kπ﹣（k∈Z）．不妨取φ=﹣或φ=；
又，即sin（×+φ）＜sin（×+φ）＜0，
∴φ=．
∴f（x）=sin（x+），
对于①，f（）=sin（×+）=sin3π=0，故①正确；
对于②f（）=sin（×+）=sin=﹣．
∴f（x）=sin（x+）≥﹣=f（），即②正确；
对于③，∵f（）=sin（×+）=sin=﹣sin．
f（）=sin（×+）=sin=﹣sin≠f（）．故③错误；
对于④，由2kπ+≤x+≤2kπ+，（k∈Z）得其单调递减区间为：x∈[4k﹣，4k+]．故④错误．
对于⑤，由2kπ+≤x+≤2kπ+，（k∈Z）得其单调递增区间为：x∈[4k+，4k+]．故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查辅助角公式的应用及正弦函数的性质，考查学生综合分析与转化运用知识解决问题的能力，属于难题．

7．（2014•陕西校级一模）方程在区间[0，π]内的所有实根之和为　2　．（符号[x]表示不超过x的最大整数）．
【考点】正弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据[x]的定义分别讨论x的取值，利用条件求出方程sinπx=[﹣[]+]在区间[0，π]内的所有实数根，即可得到结论．
【解答】解：①若0≤x＜1，则0≤＜，[]=0，，则﹣[]+=+∈（），∴[﹣[]+]=0．
此时方程sinπx=[﹣[]+]=0，此时x=0．
②若1≤x＜2，则≤＜1，[]=0，1≤，则﹣[]+=+∈[1，），∴[﹣[]+]=1．
此时方程sinπx=[﹣[]+]=1，在[1，2）上无解．
③若2≤x＜3，则1≤＜，[]=1，﹣[]=﹣1=∈[），∴[﹣[]+]=0．
此时方程sinπx=[﹣[]+]=0，在[2，3）上，x=2．
④若3≤x≤π，则≤≤，[]=1，﹣[]=﹣1=∈[1，]，∴[﹣[]+]=1．
此时方程sinπx=[﹣[]+]=1，在[3，π）上，方程无解．
综上：x=0或x=2是方程的根，
∴方程sinπx=[﹣[]+]在区间[0，π]内的所有实数根之和为0+2=2．
故答案为：2．

【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，正确理解[x]的意义是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．

8．（2009•静安区一模）（理）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是　a≥2　．
【考点】三角函数的化简求值；函数的定义域及其求法；同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】令t=sinx﹣cosx，则y=f（t）=，由已知t∈[﹣1，1]，，转化成g（t）=﹣t2﹣（a﹣4）t+a+1≥0在[﹣1，1]上恒成立去解决．
【解答】解：令t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），由已知，，∴t∈[﹣1，1]，f（t）=，∴g（t）=﹣t2﹣（a﹣4）t+a+1≥0在[﹣1，1]上恒成立．
∴∴解得a≥2．
故答案为：a≥2
【点评】本题考查三角换元，二次函数的性质，不等式恒成立问题．考查分析解决、计算、转化的思想方法．

9．（2014秋•宿豫区校级期中）已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=Asin（x﹣）（A≠0）．
（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；
（2）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解？
【考点】正弦函数的定义域和值域；根的存在性及根的个数判断．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）用换元法，设t=sinx，x∈[0，]，化为求关于t的函数在闭区间上的最大值即可；
（2）用换元法，设t=sinx，化为t∈[﹣1，1]上讨论方程2t2﹣2t+1=a解的情况，从而求出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1，
设t=sinx，x∈[0，]，则0≤t≤1；
∴，
∴当t=0时，y取得最大值ymax=1；…（6分）
（2）方程2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化为
2sin2x﹣2sinx+1=a，
该方程在[0，2π]上有两解，
设t=sinx，则方程2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情况如下：
①当在（﹣1，1）上只有一个解或相等解，x有两解，
（5﹣a）（1﹣a）＜0或△=0；
∴a∈（1，5）或；
②当t=﹣1时，x有惟一解，
③当t=1时，x有惟一解，
综上，当a∈（1，5）或时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解．…（16分）
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，解题时应利用换元法，把三角函数化为研究普通函数在某一区间上的性质问题，是中档题．

10．（2013春•下城区校级期中）已知函数f（x）=，x∈[0，）
（1）若g（x）=f（x）+，求g（x）的最小值及相应的x值
（2）若不等式（1﹣sinx）•f（x）＞m（m﹣sinx）对于恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】三角函数的最值；同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有
【专题】计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．
【分析】（1）化简函数g（x）分离常数，得到﹣2+，由x的范围，得到sin2x∈[0，1），即可得到函数的最小值和自变量x的值；
（2）将不等式化简得到（m+1）sinx﹣m2+1＞0，令sinx=t，求得t∈[，]．即不等式（m+1）t﹣m2+1＞0对于恒成立，代入，得到两个二次不等式，解出它们，再求交集即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=，x∈[0，），
∴g（x）=f（x）+=+===﹣2+，
∵sinx∈[0，1），∴sin2x∈[0，1），
故当sin2x=0时，即x=0时，g（x）取最小值﹣2+4=2；
（2）不等式（1﹣sinx）•f（x）＞m（m﹣sinx）即为1+sinx＞m2﹣msinx，
即有（m+1）sinx﹣m2+1＞0，
令sinx=t，由于，则t∈[，]．
由于不等式（m+1）t﹣m2+1＞0对于恒成立，
则（m+1）﹣m2+1＞0，（m+1）﹣m2+1＞0．
解得﹣1＜m＜且﹣1＜m＜1+，
则m的取值范围是：（﹣1，）．
【点评】本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的最值和单调性，考查二次不等式的解法，考查转化思想的运用，属于中档题．

练习1．（2011•安徽）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（　　）
A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ，kπ+]（k∈Z）
C．[kπ+，kπ+]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ]（k∈Z）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由若对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．
【解答】解：若对x∈R恒成立，
则f（）等于函数的最大值或最小值
即2×+φ=kπ+，k∈Z
则φ=kπ+，k∈Z
又
即sinφ＜0
令k=﹣1，此时φ=，满足条件
令2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z
解得x∈
故选C
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值，是解答本题的关键．
练习2．（2015春•湖南校级月考）已知ω＞0，函数f（x）=cos（﹣ωx）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（　　）
A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]
【考点】余弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数的单调性求出0＜ω≤2，然后求出当x∈（，π）时，ωx﹣的取值范围，利用余弦函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：f（x）=cos（﹣ωx）=cos（ωx﹣），
若函数f（x）在（，π）上单调递减，
则T=≥2（）=π，
∴0＜ω≤2，
若＜x＜π，则ω＜ωx＜ωπ，
ω﹣＜ωx﹣＜ωπ﹣，
∵0＜ω≤2，
∴﹣＜ω﹣＜，
∴﹣＜ωπ﹣＜，
∴若函数f（x）在（，π）上单调递减，
则满足，
即，
即≤ω≤，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据函数的单调性和周期之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
练习3．（2014•大庆一模）已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（　　）
A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z B．[6k﹣3，6k]，k∈Z
C．[6k，6k+3]，k∈Z D．[6kπ﹣3，6kπ]，k∈Z
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据交点横坐标求出最小正周期，进而可得w的值，再由当x=3时函数取得最大值确定φ的值，最后根据正弦函数的性质可得到答案．
【解答】解：∵函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8
∴T=6=∴w=，且当x=3时函数取得最大值
∴×3+φ=∴φ=﹣
∴f（x）=Asin（πx﹣）
∴﹣πx﹣≤
∴6k≤x≤6k+3
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和基本性质，三角函数的图象和性质的熟练掌握是解题的关键．
练习4．（2012•淮北二模）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则
①f（）=0；
②|f（）|＜|f（）|；
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是　①②③⑤　（写出所有正确结论的编号）．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】综合题；压轴题；三角函数的求值．
【分析】化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f（） 是三角函数的最大值，得到x= 是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+，求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．
【解答】解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=±sin（2x+θ）
由f（x）≤|f（）|可得f（）为函数f（x）的最大值或最小值，
∴2×
∴
∴f（x）=asin2x+bcos2x=±sin（2x+）
对于①f（）=sin（2×+）=0；故①对
对于②，|f（）|=|sin（+）|=|sin（）|，
|f（）|=|sin（）|=|sin|，
分析易得|sin（）|＜|sin|，
∴|f（）|＜|f（）|，故②正确
对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故③正确
对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对
对于⑤要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|＞，b2＞a2+b2这不可能，矛盾，故不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤正确
故答案为：①②③⑤
【点评】本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．
　练习5．设α∈（0，），则+的最小值为　1　．
【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】导数的综合应用；三角函数的求值．
【分析】令f（α）=+，利用同角三角函数间的关系及二倍角的正弦，化简得：f（α）=﹣sin2α，利用导数法可求得α=时，f（α）取得极小值，也是最小值，从而可得答案．
【解答】解：∵f（α）=+===﹣sin2α，
∴f′（α）=﹣2（sin2α）﹣2•2cos2α﹣2cos2α=2cos2α（﹣﹣1），
∴当α∈（0，）时，cos2α＞0，f′（α）＜0，f（α）=+在（0，）内单调递减；
当α∈（，）时，cos2α＜0，f′（α）＞0，f（α）=+在（，）内单调递增；
∴α=时，f（α）取得极小值，也是最小值，
即f（α）min=f（）=﹣sin（2×）=2﹣1=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查三角函数的最值，考查同角三角函数间的关系及二倍角的正弦，考查导数法求函数的极值，属于难题．
练习6．已知x∈R，则函数f（x）=max的最大值与最小值的和等于　1﹣　．
【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数定义，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：，
作出三个函数在一个周期内的图象如图：
则f（x）对应的图象为三个图象中最上面的部分．
则由图象可知当x=0时，函数f（x）取得最大值1，
当x=时，函数f（x）取得最小值，
故最大值和最小值之和为，
故答案为：．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．

　练习7．（2010春•湖北校级期末）已知函数f（x）=sin（2x+）
（1）若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于点（，0）对称，求实数a的最小值；
（2）若函数y=f（x）在[，π]（b∈N*）上为减函数，试求实数b的值．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）求出函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的解析式，利用x=时函数值为0，求出a的表达式，然后求出最小值．
（2）求出函数的单调减区间，[，π]是减区间的子集，得到不等式组，求出实数b的值．
【解答】解：（1）将函数的图象，
向左平移a个单位长度得到函数
=的图象．（2分）
∵函数的图象关于点对称，
∴，∴．
∵a＞0∴．
∵k∈Z，∴当k=1时，．（6分）
（2）∵
在（b∈N*）上为减函数，
又的递减区间为
k∈Z，
∴．（8分）
∴．
由，得k≤．
又b∈N*，∴k只能取0．∴，b=1．（12分）
【点评】本题是中档题，考查三角函数的基本性质，函数图象的平移，奇偶性、单调性，考查分析问题解决问题的能力，集合的基本关系．

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把每一个孩子，当做自己的孩子。