三角函数期末难题复习-教师版.doc

博翰教育，专注于数学教育 罗老师 三角函数参考答案与试题解析1（2010嘉祥县校级模拟）已知函数（0），且f（x）在区间单调递减，则的值为（）A2BCD【考点】正弦函数的单调性；y=Asin（x+）中参数的物理意义菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】通过，推出，结合f（x）在区间单调递减，推出的范围，然后求出【解答】解：，又f（x）在区间单调递减，且，02=2故选A【点评】本题是中档题，考查三角函数的图象以及性质，正弦函数的单调性，考查计算能力，逻辑推理能力2（2006奉贤区一模）函数，则集合x|f（f（x）=0元素的个数有（）A、2个B3个C4个D5个【考点】三角函数的化简求值菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；分类讨论【分析】根据分段函数f（x）解析式，我们结合集合元素要满足的性质ff （x）=0，易通过分类讨论求了所有满足条件的x的值，进而确定集合中元素的个数【解答】解：当x0时，f（x）=0可得x=0当0x时，若f（x）=4sinx=0，则sinx=0，则x=当x0时，若f（x）=x2=，则x=，当0x时，若f（x）=4sinx=，则sinx=，则x=，又ff （x）=0f （x）=0，或f （x）=x=，或x=0，或x=，或 ，或x=故选：D【点评】本题考查的知识点是集合中元素的个数及分段函数的函数值，其中根据分段函数的解析式，利用分类讨论的思想构造关于x的方程是解答本题的关键3（2015秋广东月考）若0x，0y，且sinx=xcosy，则（）ABCDxy【考点】任意角的三角函数的定义菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】由于0x，y，可得0sinxxtanx，由sinx=xcosy，可得cosy=cosx，即yx，再利用倍角公式可得cosy=cos，即可得出【解答】解：0x，y，0sinxxtanx，又sinx=xcosy，cosy=cosx，故yx，又sinx=xcosy，即=xcosycosy=cos，故y，综上所述，故选：C【点评】本题考查了“0x，y，可得0sinxxtanx”性质及其三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题4（2014秋武侯区校级月考）已知三角函数f（x）=Asin（x+）+b同时满足以下三个条件：定义域为R；对任意实数x都有f（x）f（3）；f（x+2）=+，则f（x）的单调区间为（）A4k1，4k+3，kZB4k+1，4k+3，kZC8k2，8k+2，kZD8k+2，8k+6，kZ【考点】正弦函数的单调性菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】依题意，知f（x）max=f（3）与f（1+2）=+取得最大值，可知在X=3时，f（3）取到最大值，在X=1时，取得最小值，故其周期为4，从而可得答案【解答】解：对任意实数x都有f（x）f（3），f（x）max=f（3）；又f（x+2）=+，由f（x）f2（x）0得：0f（x）1，即f（x）max=1=f（3），f（x）min=0，又当x=1时，f（3）=f（1+2）=+=1，即+=1，解得：f（1）=；又f（3+2）=+，即f（5）=+0=，即f（1+4）=f（1），同理可得f（7）=f（3）=1，由正弦函数的性质可知，其周期为4，f（x）的单调区间为4k+1，4k+3，kZ故选：B【点评】本题考查正弦函数的单调性，对关系式f（x+2）=+的理解与应用是难点，分析得到其周期为4是关键，属于难题5（2013和平区校级二模）函数f（x）在R上既是奇函数又是减函数，且当（0，）时，f（cos2+2msin）+f（2m2）0恒成立，则实数m的取值范围是【考点】复合三角函数的单调性；奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】压轴题；函数的性质及应用【分析】根据函数是奇函数原不等式化简为f（cos2+2msin）f（2m+2），再借助于函数的单调性可得12sin2+2msin2m+2，利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案【解答】解：函数f（x）在R上是奇函数，f（cos2+2msin）+f（2m2）0f（cos2+2msin）f（2m+2）y=f（x）是减函数，cos2+2msin2m+2恒成立12sin2+2msin2m+2恒成立设t=sin（0，1），等价于2t22mt+2m+10在t（0，1）恒成立只要g（t）=2t22t+2m+1在0，1的最小值大于0即可（1）当m0时，最小值为g（0）=2m+10，所以可得：0m（2）当0m1时，最小值为g（）=m2+2m+10，所以可得：0m1（3）当m1时，最小值为g（1）=20恒成立，得：m1，综之：m为所求的范围故答案为：m【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题6（2012安徽模拟）函数的一个零点为，且，对于下列结论：；f（x）的单调减区间是；f（x）的单调增区间是其中正确的结论是（填写所有正确的结论编号）【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由题意可得f（x）=sin（x+），由f（）=0，可确定，从而对逐个判断即可【解答】解：由题意可得：f（x）=sin（x+），f（）=0，sin（+）=0，=k（kZ）不妨取=或=；又，即sin（+）sin（+）0，=f（x）=sin（x+），对于，f（）=sin（+）=sin3=0，故正确；对于f（）=sin（+）=sin=f（x）=sin（x+）=f（），即正确；对于，f（）=sin（+）=sin=sinf（）=sin（+）=sin=sinf（）故错误；对于，由2k+x+2k+，（kZ）得其单调递减区间为：x4k，4k+故错误对于，由2k+x+2k+，（kZ）得其单调递增区间为：x4k+，4k+故正确故答案为：【点评】本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，着重考查辅助角公式的应用及正弦函数的性质，考查学生综合分析与转化运用知识解决问题的能力，属于难题7（2014陕西校级一模）方程在区间0，内的所有实根之和为2（符号x表示不超过x的最大整数）【考点】正弦函数的图象菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】根据x的定义分别讨论x的取值，利用条件求出方程sinx=+在区间0，内的所有实数根，即可得到结论【解答】解：若0x1，则0，=0，则+=+（），+=0此时方程sinx=+=0，此时x=0若1x2，则1，=0，1，则+=+1，），+=1此时方程sinx=+=1，在1，2）上无解若2x3，则1，=1，=1=），+=0此时方程sinx=+=0，在2，3）上，x=2若3x，则，=1，=1=1，+=1此时方程sinx=+=1，在3，）上，方程无解综上：x=0或x=2是方程的根，方程sinx=+在区间0，内的所有实数根之和为0+2=2故答案为：2【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，正确理解x的意义是解决本题的关键，综合性较强，难度较大8（2009静安区一模）（理）已知函数的定义域为，则实数a的取值范围是a2【考点】三角函数的化简求值；函数的定义域及其求法；同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【专题】计算题【分析】令t=sinxcosx，则y=f（t）=，由已知t1，1，转化成g（t）=t2（a4）t+a+10在1，1上恒成立去解决【解答】解：令t=sinxcosx=sin（x），由已知，t1，1，f（t）=，g（t）=t2（a4）t+a+10在1，1上恒成立解得a2故答案为：a2【点评】本题考查三角换元，二次函数的性质，不等式恒成立问题考查分析解决、计算、转化的思想方法9（2014秋宿豫区校级期中）已知函数f（x）=2x23x+1，g（x）=Asin（x）（A0）（1）当0x时，求y=f（sinx）的最大值；（2）问a取何值时，方程f（sinx）=asinx在0，2）上有两解？【考点】正弦函数的定义域和值域；根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质【分析】（1）用换元法，设t=sinx，x0，化为求关于t的函数在闭区间上的最大值即可；（2）用换元法，设t=sinx，化为t1，1上讨论方程2t22t+1=a解的情况，从而求出a的取值范围【解答】解：（1）y=f（sinx）=2sin2x3sinx+1，设t=sinx，x0，则0t1；，当t=0时，y取得最大值ymax=1；（6分）（2）方程2sin2x3sinx+1=asinx化为2sin2x2sinx+1=a，该方程在0，2上有两解，设t=sinx，则方程2t22t+1=a在1，1上解的情况如下：当在（1，1）上只有一个解或相等解，x有两解，（5a）（1a）0或=0；a（1，5）或；当t=1时，x有惟一解，当t=1时，x有惟一解，综上，当a（1，5）或时，方程f（sinx）=asinx在0，2）上有两解（16分）【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，解题时应利用换元法，把三角函数化为研究普通函数在某一区间上的性质问题，是中档题10（2013春下城区校级期中）已知函数f（x）=，x0，）（1）若g（x）=f（x）+，求g（x）的最小值及相应的x值（2）若不等式（1sinx）f（x）m（msinx）对于恒成立，求实数m的取值范围【考点】三角函数的最值；同角三角函数基本关系的运用菁优网版权所有【专题】计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用【分析】（1）化简函数g（x）分离常数，得到2+，由x的范围，得到sin2x0，1），即可得到函数的最小值和自变量x的值；（2）将不等式化简得到（m+1）sinxm2+10，令sinx=t，求得t，即不等式（m+1）tm2+10对于恒成立，代入，得到两个二次不等式，解出它们，再求交集即可【解答】解：（1）f（x）=，x0，），g（x）=f（x）+=+=2+，sinx0，1），sin2x0，1），故当sin2x=0时，即x=0时，g（x）取最小值2+4=2；（2）不等式（1sinx）f（x）m（msinx）即为1+sinxm2msinx，即有（m+1）sinxm2+10，令sinx=t，由于，则t，由于不等式（m+1）tm2+10对于恒成立，则（m+1）m2+10，（m+1）m2+10解得1m且1m1+，则m的取值范围是：（1，）【点评】本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的最值和单调性，考查二次不等式的解法，考查转化思想的运用，属于中档题练习1（2011安徽）已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若f（x）|f（）|对xR恒成立，且f（）f（），则f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k（kZ）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由若对xR恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角的值，结合，易求出满足条件的具体的值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案【解答】解：若对xR恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2+=k+，kZ则=k+，kZ又即sin0令k=1，此时=，满足条件令2x2k，2k+，kZ解得x故选C【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（x+）的图象变换，其中根据已知条件求出满足条件的初相角的值，是解答本题的关键练习2（2015春湖南校级月考）已知0，函数f（x）=cos（x）在（，）上单调递减，则的取值范围是（）A，B，C（0，D（0，2【考点】余弦函数的图象菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据函数的单调性求出02，然后求出当x（，）时，x的取值范围，利用余弦函数的单调性建立不等式关系进行求解即可【解答】解：f（x）=cos（x）=cos（x），若函数f（x）在（，）上单调递减，则T=2（）=，02，若x，则x，x，02，若函数f（x）在（，）上单调递减，则满足，即，即，故选：A【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据函数的单调性和周期之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大练习3（2014大庆一模）已知函教f（x）=Asin（x+）（A0，0）的图象与直线y=b（0bA）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）A6k，6k+3，kZB6k3，6k，kZC6k，6k+3，kZD6k3，6k，kZ【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】先根据交点横坐标求出最小正周期，进而可得w的值，再由当x=3时函数取得最大值确定的值，最后根据正弦函数的性质可得到答案【解答】解：函教f（x）=Asin（x+）（A0，0）的图象与直线y=b（0bA）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8T=6=w=，且当x=3时函数取得最大值3+=f（x）=Asin（x）x6kx6k+3故选C【点评】本题主要考查三角函数的图象和基本性质，三角函数的图象和性质的熟练掌握是解题的关键练习4（2012淮北二模）设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，bR，ab0若f（x）|f（）|对一切xR恒成立，则f（）=0；|f（）|f（）|；f（x）既不是奇函数也不是偶函数；f（x）的单调递增区间是k+，k+（kZ）；经过点（a，b）的所有直线均与函数f（x）的图象相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）【考点】正弦函数的单调性；三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；三角函数的求值【分析】化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f（） 是三角函数的最大值，得到x= 是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于k+，求出辅助角，再通过整体处理的思想研究函数的性质【解答】解：f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）由f（x）|f（）|可得f（）为函数f（x）的最大值或最小值，2f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）对于f（）=sin（2+）=0；故对对于，|f（）|=|sin（+）|=|sin（）|，|f（）|=|sin（）|=|sin|，分析易得|sin（）|sin|，|f（）|f（）|，故正确对于，f（x）不是奇函数也不是偶函数，故正确对于，由于f（x）的解析式中有，故单调性分情况讨论，故不对对于要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|，b2a2+b2这不可能，矛盾，故不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故正确故答案为：【点评】本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法练习5设（0，），则+的最小值为1【考点】三角函数的最值菁优网版权所有【专题】导数的综合应用；三角函数的求值【分析】令f（）=+，利用同角三角函数间的关系及二倍角的正弦，化简得：f（）=sin2，利用导数法可求得=时，f（）取得极小值，也是最小值，从而可得答案【解答】解：f（）=+=sin2，f（）=2（sin2）22cos22cos2=2cos2（1），当（0，）时，cos20，f（）0，f（）=+在（0，）内单调递减；当（，）时，cos20，f（）0，f（）=+在（，）内单调递增；=时，f（）取得极小值，也是最小值，即f（）min=f（）=sin（2）=21=1故答案为：1【点评】本题考查三角函数的最值，考查同角三角函数间的关系及二倍角的正弦，考查导数法求函数的极值，属于难题练习6已知xR，则函数f（x）=max的最大值与最小值的和等于1【考点】三角函数的最值菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据函数定义，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：，作出三个函数在一个周期内的图象如图：则f（x）对应的图象为三个图象中最上面的部分则由图象可知当x=0时，函数f（x）取得最大值1，当x=时，函数f（x）取得最小值，故最大值和最小值之和为，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键练习7（2010春湖北校级期末）已知函数f（x）=sin（2x+）（1）若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a0）个单位长度得到的图象恰好关于点（，0）对称，求实数a的最小值；（2）若函数y=f（x）在，（bN*）上为减函数，试求实数b的值【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）求出函数y=f（x）的图象向左平移a（a0）个单位长度得到的解析式，利用x=时函数值为0，求出a的表达式，然后求出最小值（2）求出函数的单调减区间，是减区间的子集，得到不等式组，求出实数b的值【解答】解：（1）将函数的图象，向左平移a个单位长度得到函数=的图象（2分）函数的图象关于点对称，a0kZ，当k=1时，（6分）（2）在（bN*）上为减函数，又的递减区间为kZ，（8分）由，得k又bN*，k只能取0，b=1（12分）【点评】本题是中档题，考查三角函数的基本性质，函数图象的平移，奇偶性、单调性，考查分析问题解决问题的能力，集合的基本关系第 15 页 共 15 页把每一个孩子，当做自己的孩子。