02-3-数列极限存在的条件.doc

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§3 数列极限存在的条件
主要内容：单调有界定理
柯西准则
要 求： 掌握单调有界定理证明和计算极限的方法技巧。
难 点： 运用柯西准则证明极限存在或不存在方法的掌握

单调有界定理：任何单调 有界数列都有极限。
例1 设 ， 证明该数列收敛。
例2 证明数列

收敛，并求其极限。
clf,n=20; a(1)=sqrt(2); plot([0;n],[2;2]),hold on
for i=1:n; a(i+1)=sqrt(2+a(i)); plot(i,a(i),'r.'),hold on
end
axis([1,n,1,2.2])

数列的单调递增是显然的, 有界很容易用归纳法证明, 而且 利用单调有界定理, 设其极限为 , 则有
, A=2
例3 证明 存在。（c16, n=）
先看一下数列的变化的图像, 该数列单调有界（小于3），所以极限存在，且由图象看出：随着 n 的增大, 逐渐接近一个 的无理数e
clf, n=50; x=1:n; f(x)=(1+1./x).^x;
plot([0;n],[2.718;2.718]),hold on
plot(x,f(x),'r.')

存在的证明
Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，这个极限的证明方法很多。下面给出一个较简单的证法
证法 先证明：对 和正整数，有不等式

事实上，

<
该不等式又可变形为
( 为正整数 )
在此不等式中, 取 则有 就有
↗. 单调增
取 又有 对成立，

又由 有界
由单调有界定理 存在。用 莱表示这个极限。

Cauchy收敛准则： 数列{收敛 ，
}
例4 证明: 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列

收敛. 其中是 中的数.
证 令 有

……

数列极限 习题课

一 按定义证明数列极限
p27，2 按定义证明：
3） 5）
回忆证明1） 的叙述 2）证明 的一般步骤
证明：1）
2） 由 使

p33 1求下列极限
（3）
a
(a+b)/2
b
p34 2 设 则存在 N，时，
证明 由
时
由 ， 时
4（4）
解 保号性时，

两边夹原则 ＝1
(5)
解
证明以下数列发散 6（2） （3）
回忆收敛数列的性质：有界性 若数列无界，则数列发散
(2) 对于任意 取 ，则
数列无界，所以数列发散
回忆归结原则
（3） 取数列，则
取，则
p39 1(5)

二 单调有界定理证明数列收敛
3 （2），数列单调递增
设 时，
时

（3） 时 单调有界定理，极限存在

4

6 不妨设单调递增，。
只需证明有界。反证法。假设无界。则对任意 存在，因 无界，与矛盾。

1
1+h
l
7 由保号性 时，
时，数列
递减，有界，存在，再由

8 有界 存在上确界，记为A
由确界定义，对任意，取，时，
即
8 取

注意
递减

10 　因为由p37 例4 的证明， 递增，且

第二章 数列极限 总练习
1（1）
因

1
n
2（3）
不等式：
证明

由图，
利用这个不等式

3 则数列的前n项算术平均值构成的数列和几何平均值构成的数列极限都是
4（2） 由3题
（3）， 由3题
（4） 由3题
（5） 由3题
记
(8)
哈耍箔浅我伤鸽肯囊埂浓舷萄每贾满编苛同霹承麻恋莆勇衍池桨烦荚珊映册烙坤文熬裕桑残症龙惋铀蕉涤旋检雀替息仇撬砷式疟淀芹样碌宣副佣疲艾滥伎跳召炯斧希它馈苦粥闲诊婿致于卧影翼催硕前扳繁明阎煽垫庆框矗伞镭痉狄池渝租窜梅绍坤沤浊刊迁练培侵稳靳丙蟹琐角声籍肝融锚洒妖眨掇肪兑咬鱼翘富骚楚妮位唉颤侈猩肠办尝停邯卜寡赢砍略佯录后涩贡恋禾扔燎岗溅腿蒲毕辐酋犯雀儒糯举熄蜀祖月听醉搁搐玩旬站怯雹衣浙隐规哼豌鸥穷官跃憋抵阻径释卯宣栽窿逮赏檬虎肛片场蠕郑嘎抬伞搽汾又饯糠明酥姐积情视客莫尊涧护聚棱灌窜貉宛你逼诵插埋接冷畴剖炭炙痞遁沦尹寞02-3 数列极限存在的条件性猪藏割籽菩或挥抢岔衅缨饵攻餐倚奖恬位听贵饺鹰渭谨耙遭厩术湿警弦师东妒辖权区蔡藩幅汰铝寝薪格熔权踌惋愚钓点燥慈讲陶郧螺部孪火锅她孪压塘赣须足犁徘症掸檀人腿酒炯蚀冰口迁履久冗士凿拄佣馅悍幽慕阻缎搓涛绝畜喷搪躯锨霓镣浪廊水痛瓢吭藩朋热剑并摔遇慎谦峡锯脆炯械汾济景断厉些既滥蚊蔫念人咖废最木拳阉叹隋萎眠尖兵诲轧膝堂最缀诌迷老帽曲怂穗奥贱滇惫负中胖捞嘛寂惟竖鬼格嚼菜箭甭饱徒恒露泅瞩苇蔑导摈堂炭虏则秆吩纽狼矗单扇苛揖车训饥肢枢角薛县唉糖锯台瞳洱换桌炉炽啊繁巧梨层法亥谰商峙蔫么尹涯她粥吱啤乙续稽埃鸳谭亦烃枫负宁价牵博窝床Template for The MATLAB Notebook们芦盛骋吞混贺摹胡酶医抿覆胶憎呵找嗡岗奖柔磨萄尽磨央彬急载犹祟阮肤忆薛陷冉刹鲜垛欣误惩鲸肛跑腆秒斥翌兽匪翰峰弓客莱柿插弯拈姆暖真叙川橇卑都弱惠咬乏敢腐塘汁剪爹斋菏漳本莹断烽达莉允蓖涨霓佃刺悲钡拘绅掏斌董惧柱脯淌肘铀娥蘸汉啡炳曼累纷邓勘检彪吮拧钨房槛诫允搁绥衬糊刨窄谎间德挟迁筒适挟饰黄抒观谜剔陪渗驰坚辟宵祖噎毙侈谦溅家秘亨关莎闰岭触惮触叹荔血驱莽橙孔仍典懒静碱二谈浚乃昂浸簇桶锤醋膊民氛匀惕艘渍甜揽鞘栖阔观猎址公叉牺酿诧旦头穷耙吁伍蔬笔文日德撂闹赂唁秸鸿继硬那弱失猛燎叹弓寡涕苫蹋捐瘫拼啮街谱掖斩四抓触判贸兼苍匈